1.2.2 数轴 （讲义）2025-2026学年人教版数学七年级上册

2025-2026学年数学七年级上册人教版 第一章 有理数 1.2.2 数轴 （讲义） 思维导图 学习目标 1. 理解数轴的概念，知道数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。 2. 能正确地画出数轴。 3. 能说出数轴上已知点所表示的有理数。 4. 能将已知的有理数在数轴上表示出来。 5. 初步体会数形结合的思想。 知识点梳理 1. 数轴的定义： 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 （强调：数轴是一条特殊的直线，它必须具备以上三个要素，缺一不可。） 2. 数轴的三要素： · 原点： 在直线上取一个点表示数0，这个点叫做原点。 · 正方向： 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，用箭头表示。 · 单位长度： 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，…。 （注意：单位长度的选取要根据实际需要，一旦确定，就应保持一致。） 3. 数轴的画法： · 第一步：画一条水平的直线。 · 第二步：在直线上选取一点作为原点，用数字0表示。 · 第三步：确定正方向，通常向右为正方向，画上箭头。 · 第四步：选取适当的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…；从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…。 （要点：三要素要齐全，刻度要均匀。） 4. 数轴上的点与有理数的对应关系： · 数轴上的原点表示有理数0。 · 原点右边的点表示正数，越往右的点表示的数越大。 · 原点左边的点表示负数，越往左的点表示的数越小。 · 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 易错点提醒 1. 数轴三要素不全： 画数轴时，容易忘记标原点、正方向或单位长度，导致数轴不规范。 2. 正方向错误： 混淆正方向，例如将向左画成正方向而未明确说明，或箭头标错方向。 3. 单位长度不统一： 画数轴时，单位长度选取不一致，导致刻度不均匀，或同一数轴上前后单位长度变化。 4. 有理数表示错误： 在数轴上表示数时，正数标在了原点左边，负数标在了原点右边。 5. 忽略“任何有理数都可以用数轴上的点表示”是单向的： 目前我们只学习到有理数，要知道有理数都能在数轴上表示，但数轴上的点不都表示有理数（这个后续会学到），现阶段只需掌握前者。 知识点总结 1. 数轴是一条规定了原点、正方向、单位长度的特殊直线。 2. 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 3. 画数轴时要注意规范，三要素齐全，单位长度统一。 4. 所有的有理数都能在数轴上找到对应的点；原点表示0，正方向上的点表示正数，负方向上的点表示负数。 5. 数轴是数形结合的重要工具，它能帮助我们直观地理解数的意义和比较数的大小（后续学习）。 预习建议 1. 认真阅读教材： 仔细阅读课本中关于数轴的内容，重点理解数轴的定义和三要素。 2. 动手实践： 对照教材上的步骤，自己动手画几条数轴，体验数轴三要素的重要性。可以尝试画出不同单位长度的数轴。 3. 尝试表示： 在自己画好的数轴上，尝试表示一些简单的有理数，如 3，-2，0，1.5，-0.5 等，体会有理数与数轴上点的对应关系。 4. 思考问题： 为什么要引入数轴？数轴有什么好处？ 5. 标记疑问： 在预习过程中，如果遇到不理解的地方，做好标记，带着问题听课，效率会更高。 6. 完成课后练习： 尝试做几道教材上的课后基础练习题，检验预习效果。 巩固练习 一、选择题 1．数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（　　） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 2．在数轴上，距离表示数的点4个单位长度的点是（　　） A． B．6 C．2 D．或2 3．点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度，一只蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点，则点B表示的数是（　　） A． B．6 C．或6 D．或2 4．如图，用数轴上点M表示有理数2，则表示有理数6的点是（　　） A．A B．B C．C D．D 5．下列数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 6．下列说法，其中正确的个数为（　　） ①正数和负数统称为有理数；②一个有理数不是整数就是分数；③有最小的负数，没有最大的正数；④符号相反的两个数互为相反数；⑤﹣a一定在原点的左边． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，一动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，规定；每向左运动3秒就向右运动2秒．则动点运动到第2023秒时所对应的数是（　　） A． B． C． D． 8．数轴上A，B两点对应的数是和，则A，B两点之间表示整数的点的个数为（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 二、填空题 9．小明写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上（如图），请你判断墨迹盖住的整数有 　 　个． 10．若a和b互为相反数，a在b的右边，且表示数a的点到表示数b的点的距离为10，则　 　，　 　. 11．小虎在写作业时不小心将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨迹盖住的整数之和为　 　． 12．数轴上到原点的距离小于2个单位长度的点中，表示整数的点共有　 　 个． 13．在数轴上表示-4的点位于原点的　 　 边，与原点的距离是　 　 个单位长度． 14．根据下面给出的条件，解答下面的问题：（填空） （1）如果A表示的数是5，B表示的数是1，那么到A，B距离相等的点表示的数是　 　 ； （2）如果A表示的数是3，B表示的数是﹣1，那么到A，B距离相等的点表示的数是　 　 ； （3）如果A表示的数是a，B表示的数是b，那么到A，B距离相等的点表示的数是　 　 ； （4）如果A表示的数是a，B表示的数比a的相反数大2，那么到A，B距离相等的点表示的数是　 　 ． 15．如图，在数轴上（未标出原点及单位长度），点A是线段BC的中点，已知点A、B、C所对应的三个数a、b、c之积是负数，这三个数之和与其中一个数相等，请直接写出求，的值． 答：的值是　 　 ，的值是　 　 16．数轴上到原点的距离小于2个长度单位的点中，表示整数的点共有　 　个． 三、解答题 17．在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来． ﹣ ，0，﹣2.5，﹣3，1 ． 18．一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了2个单位长度到达点，再向右爬了3个单位长度到达点，然后向左爬了9个单位长度到达点． （1）画数轴表示点所在的位置，并写出三点表示的数； （2）根据点在数轴上的位置回答：蚂蚁实际上是从原点出发，向什么方向爬行了几个单位长度？ 19．如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒个单位． （1）若大圆沿数轴向右滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是______； （2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：，，，，，；当小圆结束运动时，小圆运动的路程是多少？（结果保留π） （3）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数． 20．某天，一辆货车从货场A出发，向东走了2千米到达批发部B，继续向东走1.5千米到达商场C，接着向西走了5.5千米到达超市D，最后回到货场A． （1）用1厘米表示1千米，以东为正方向，以货场为原点，画出数轴并在数轴上标明货场A，批发部B，商场C，超市D的位置； （2）超市D距离货场A　 　千米； （3）若货车行驶1千米耗油 升，该天共耗油多少升？（用含 的式子表示） 参考答案 1．D 2．D 3．C 4．D 5．B 6．A 7．B 8．A 9．16 10．5； 11．﹣14． 12．5 13．左；4 14．3；1；（a+b）　；1 15．3；-3 16．5 17．解：将各数用点在数轴上表示如下： 其大小关系如下：﹣3＜﹣2.5＜﹣ ＜0＜1 18．（1）解：如图所示，点表示2，点表示5，点表示 （2）解：∵点C表示，∴蚂蚁实际上是从原点出发，向左爬行了4个单位长度． 19．（1） （2）当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有 （3）①当两圆同向右滚动：，；②当两圆同向左滚动：，；③当大圆向右滚动，小圆向左滚动时：、；④当大圆向左滚动，小圆向右滚动时：、； 20．（1）解：货场A，批发部B，商场C，超市D的位置如图所示： （2）2 （3）解：∵这辆货车一天所走的路程为2+1.5+5.5+2=11km， ∴本次这辆货车共耗油为11a升． 学科网（北京）股份有限公司 $$