25.1.2 概率 预习讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年人教版数学九年级上册 25.1.2 概率 预习讲义 思维导图 学习目标 1. 理解概率的定义，掌握概率的计算公式。 2. 能区分概率的古典概型（等可能事件）和实际应用中的概率问题。 3. 会计算简单事件的概率，并判断其可能性大小。 4. 理解概率的取值范围（0 ≤ P(A) ≤ 1），并能解释其实际意义。 5. 能结合生活实例分析概率问题，培养数学应用能力。 知识点梳理 1. 概率的定义 · 概率：表示一个事件发生的可能性大小的数值，记作P(A)。 · 计算公式（古典概型）： · 适用范围：适用于所有可能结果等可能出现的情况（如掷骰子、抽签等）。 2. 概率的性质 · 必然事件：P(A) = 1（如“太阳从东方升起”）。 · 不可能事件：P(A) = 0（如“掷骰子出现7点”）。 · 随机事件：0 < P(A) < 1（如“掷硬币正面朝上”）。 3. 概率的计算方法 · 列举法：列出所有可能结果，计算事件A发生的概率。 · 频率估计法：在大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在概率附近（如抛硬币实验）。 4. 应用举例 · 计算掷骰子出现偶数的概率。 · 计算从扑克牌中随机抽到红桃的概率。 · 分析天气预报中“降水概率70%”的含义。 易错点提醒 1. 概念混淆 · 误认为“概率小的事件一定不发生”（如中彩票概率低，但仍可能发生）。 · 混淆“频率”与“概率”（频率是试验结果，概率是理论值）。 2. 计算错误 · 未确保所有结果等可能（如误认为“掷两枚硬币出现‘一正一反’的概率是1/3”）。 · 遗漏可能结果（如计算“掷两枚骰子点数和为7”时漏掉某些组合）。 3. 实际应用错误 · 忽略概率的理论性（如“连续掷硬币10次都是正面”的概率虽小，但仍可能发生）。 · 错误理解“P(A)=0.5”表示“一定发生一半”（概率是长期趋势，不是短期必然结果）。 知识点小结 1. 核心公式： 2. 关键性质： · 必然事件P=1，不可能事件P=0，随机事件0<P<1。 · 概率值越大，事件发生的可能性越高。 3. 解题要点： · 先明确“所有可能结果”是否等可能。 · 列举法适用于有限结果的问题（如骰子、扑克牌）。 · 频率估计法适用于大量重复试验（如投篮命中率）。 4. 注意事项： · 概率是理论值，实际试验结果可能偏离。 · 复杂问题可画树状图或列表辅助分析。 注：本节是概率学习的基础，需通过典型例题掌握计算方法，为后续学习概率的复杂应用（如几何概型、概率模型）奠定基础。 巩固练习 一、选择题 1．一个不透明的袋子里装有 3 个红球和 4 个黑球，它们除颜色外其余均相同。从袋子里任意摸出一个球是红球的概率为（ ） A． B． C． D． 2．在一个箱子里放有1个白球和2个红球，他们除颜色外其余都相同．给出下列说法：①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 3．"从一个布袋中随机摸出一个球恰是黄球的概率为五分之一" 的意思是（ ） A．摸球 5 次就一定有 1 次摸中黄球 B．摸球 5 次就一定有 4 次不能摸中黄球 C．如果摸球的次数很多， 那么平均每摸球 5 次大约就有一次摸中黄球 D．布袋中有 1 个黄球和 4 个别的颜色的球 4．如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 5．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为，，．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是 A． B． C． D． 二、填空题 6．有一只蚂蚁在右下图所示的圆上爬来爬去，两圆半径分别为1和2，则蚂蚁最终停留在白色区域的可能性　 　停留在灰色区域的可能性．(填“>”“<”或“=”) 7．将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米．如果截成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法（如：5，2，1和1，5，2），那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是　 　． 8．如图是一个正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为　 　． 9．为估计种子的发芽率，做了 10 次实验。每次种了 1000 颗种子，发芽的种子都在 950颗左右，预估该种子的发芽率为　 　。 10． 三张完全相同的卡片上分别写有函数 ， 从中随机抽取一张， 则所得卡片上函数的图象在第一象限内随 的增大而增大的概率是　 　. 三、解答题 11．计算下列事件发生的可能性大小，并将它们按可能性从小到大进行排列． （1）从写有数字的9张卡片中任取一张，其上的数字是4的倍数； （2）铁块丢入水中后，浮在水面； （3）投掷一枚硬币，落地后反面朝上． 12．一个转盘如图，让转盘自由转动两次，求两次指针都落在红色区域的概率． 13．学校开展综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月11日至5月30日，评委们把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频数分 布直方图如下，小长方形的高之比为：2：5：2：1．现已知第二组的上交作品件数是20件．求： ​ （1）此班这次上交作品共多少件？ （2）评委们一致认为第四组的作品质量都比较高，现从中随机抽取2件作品参加学校评比，小明的两件作品都在第四组中，他的两件作品都被抽中的概率是多少？（请写出解答过程） 14．现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成若干个小正方体．在这些小正方体中，求： （1）两面涂有红色的小正方体的个数； （2）任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率； （3）若将原正方体每条棱n等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数． 参考答案 1．C 2．A 3．C 4．C 5．B 6．> 7． 8． 9．95% 10． 11．（1）数字中有和两个数为4的倍数， 从写有数字的9张卡片中任取一张，其上的数字是4的倍数的可能性为； ​​​​​​ （2）铁块丢入水中后，浮在水面是不可能事件，故该事件的可能性为； （3）投掷一枚硬币，落地后反面朝上的可能性为． ， 可能性从小到大排列为（2）（1）（3）． 12．解：红、白扇形的圆心角度数之比为3：2，把转盘分成5等份，则白色扇形占2份，红色扇形占3份，如图所示： 红色区域的三份分别记为A、B、C；白色区域的两份分别记为D、E，根据题意画出树状图如下： 由图可知：所有等可能的结果总数为25，其中两次指针都落在红色区域的有9种， 所以两次指针都落在红色区域的概率为： . 13．（1） 答：此班这次上交作品共40件。 （2）设四件作品编号为1、2、3、4号，小明的两件作品分别为1、2号． 列举：（1，2）；（1，3）；（1，4）； （2，3）；（2，4）；（3，4）． 所以他的两件作品都被抽中的概率是 ． 14．（1）96 （2） （3） 学科网（北京）股份有限公司 $$