17.2 用公式法分解因式 同步讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

17.2 用公式法分解因式 讲义 新知廊 知识点1：用平方差公式分解因式 1．用平方差公式分解因式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即 ． 2．能用平方差公式分解因式的多项式的特点 多项式是二项式，每一项都能写成平方的形式，且符号相反． 知识点2：用完全平方公式分解因式 1．完全平方式：我们把和这样的式子叫作完全平方式． 2．用完全平方公式分解因式 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．即 ，． 3．能用完全平方公式分解因式的多项式的特点 多项式是三项式，其中首尾两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项符号相同，中间一项是这两个数（或这两个式子）的积的2倍，符号正负都可以． 4．公式法： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫作公式法． 知识点3：系数为1的二次三项式的因式分解 用十字相乘法分解因式 求甚解 1．因式分解的步骤 一提：有公因式的先提公因式． 二套：套用公式，两箱式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式． 三查：检查乘积中的每一个多项式因式是否分解彻底． 2．当多项式中的某一项与公因式相同时，提取公因式后，要在该项相应的位置写1，切勿遗漏． 3．先局部展开，再因式分解 当多项式不能直接因式分解，但含有单项式与多项式的乘积或多项式与多项式的乘积时，一般先将乘积项展开，合并同类项后，再根据多项式的特点选用适当的方法进行因式分解． 4．利用因式分解可以解决整除问题，拼图问题，判断三角形的形状等． （1）利用因式分解解决整除问题，就是设法将已知的代数式利用乘法公式进行因式分解，写成几个因式乘积的形式，在几个因式中凑出想要整除的那部分，即可解决问题． （2）因式分解与拼图的结合，是将几何图形与代数的解法结合起来，数形结合更利于学生对因式分解和乘法公式的理解，用图形去演绎某个代数式因式分解的结果，体现了逆向思维． （3）因式分解还可能与三角形等知识点结合进行综合考查．将等式化为右边等于0，左边（或左边的部分代数式）进行因式分解，结合题意判断三角形的形状． 练题型 题型01 平方差公式 典型例题 典例 01 （2025春•城厢区校级月考）多项式x2﹣9分解因式的结果为 　　 ． 【答案】（x+3）（x﹣3）． 【分析】利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）， 故答案为：（x+3）（x﹣3）． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•仁和区期中）下列多项式中能用平方差公式进行分解因式的是（　　） A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20mn C．x2+y2 D．﹣x2+9 【变式练2】　（2024秋•孝南区期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．x2﹣y3 D．﹣x2+y2 【变式练3】　（2025春•雁塔区期末）下列各式不能运用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．﹣a2+b2 B．﹣x2﹣y2 C．49x2﹣z2 D．16m2﹣25n2 题型02 完全平方式 典型例题 典例 02 （2025春•碧江区 校级月考）如果x2+（m﹣2）x+9是一个完全平方式，那么m的值是（　　） A．8 B．﹣4 C．﹣4或8 D．﹣8或4 【答案】C 【分析】利用完全平方公式推出x2+（m﹣2）x+9＝（x±3）2，得到（m﹣2）x＝2×x×（±3），运算求解即可． 【解答】解：由条件可知x2+（m﹣2）x+9＝（x±3）2， ∴（m﹣2）x＝2×x×（±3）， ∴m﹣2＝2×（±3）， 解得：m＝8或m＝﹣4； 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2025春•莲池区期末）已知关于x的二次三项式x2+kx+4是完全平方式，则实数k的值为（　　） A．2 B．±2 C．4 D．±4 【变式练2】　（2025春•赣榆区校级月考）如果x2﹣10x+m是一个完全平方式，那么m为（　　） A．25 B．±25 C．100 D．±100 【变式练3】　（2025•番禺区三模）如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 题型03 用平方差公式因式分解 典型例题 典例 03 （2025•宁波模拟）因式分解：4x2﹣9＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用平方差进行分解即可． 【解答】解：原式＝（2x+3）（2x﹣3）， 故答案为：（2x+3）（2x﹣3）． 即学即练 【变式练1】　（2025•常州）分解因式：x2﹣9y2＝　　 ． 【变式练2】　（2025•扬州）分解因式：a2﹣4＝　　 ． 【变式练3】　（2025•惠阳区模拟）因式分解：4a2﹣b2＝　　 ． 题型04 用完全平方公式因式分解 典型例题 典例 04 （2025•甘肃）因式分解：x2﹣6x+9＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接运用完全平方公式进行因式分解即可． 【解答】解：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2． 即学即练 【变式练1】　（2025•定西一模）因式分解：x2+4y2﹣4xy＝　　 ． 【变式练2】　（2025•翁牛特旗模拟）因式分解：9m2+6m+1＝　　 ． 【变式练3】　（2025•宁江区四模）因式分解：x2+18x+81＝　　 ． 题型05 用十字相乘法因式分解 典型例题 典例 05 （2025•海门区校级模拟）因式分解：x2﹣x﹣6＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】原式利用十字相乘法分解即可． 【解答】解：原式＝（x+2）（x﹣3）， 故答案为：（x+2）（x﹣3）． 即学即练 【变式练1】　（2025•博山区三模）因式分解：a2+2a﹣3＝　　 ． 【变式练2】　（2024秋•沂源县期末）因式分解：x2﹣2x﹣35＝ 　　 ． 【变式练3】　（2025春•大荔县校级期末）分解因式：（x﹣3）（x﹣5）+1． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.2 用公式法分解因式 讲义 新知廊 知识点1：用平方差公式分解因式 1．用平方差公式分解因式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即 ． 2．能用平方差公式分解因式的多项式的特点 多项式是二项式，每一项都能写成平方的形式，且符号相反． 知识点2：用完全平方公式分解因式 1．完全平方式：我们把和这样的式子叫作完全平方式． 2．用完全平方公式分解因式 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．即 ，． 3．能用完全平方公式分解因式的多项式的特点 多项式是三项式，其中首尾两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项符号相同，中间一项是这两个数（或这两个式子）的积的2倍，符号正负都可以． 4．公式法： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫作公式法． 知识点3：系数为1的二次三项式的因式分解 用十字相乘法分解因式 求甚解 1．因式分解的步骤 一提：有公因式的先提公因式． 二套：套用公式，两箱式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式． 三查：检查乘积中的每一个多项式因式是否分解彻底． 2．当多项式中的某一项与公因式相同时，提取公因式后，要在该项相应的位置写1，切勿遗漏． 3．先局部展开，再因式分解 当多项式不能直接因式分解，但含有单项式与多项式的乘积或多项式与多项式的乘积时，一般先将乘积项展开，合并同类项后，再根据多项式的特点选用适当的方法进行因式分解． 4．利用因式分解可以解决整除问题，拼图问题，判断三角形的形状等． （1）利用因式分解解决整除问题，就是设法将已知的代数式利用乘法公式进行因式分解，写成几个因式乘积的形式，在几个因式中凑出想要整除的那部分，即可解决问题． （2）因式分解与拼图的结合，是将几何图形与代数的解法结合起来，数形结合更利于学生对因式分解和乘法公式的理解，用图形去演绎某个代数式因式分解的结果，体现了逆向思维． （3）因式分解还可能与三角形等知识点结合进行综合考查．将等式化为右边等于0，左边（或左边的部分代数式）进行因式分解，结合题意判断三角形的形状． 练题型 题型01 平方差公式 典型例题 典例 01 （2025春•城厢区校级月考）多项式x2﹣9分解因式的结果为 　　 ． 【答案】（x+3）（x﹣3）． 【分析】利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）， 故答案为：（x+3）（x﹣3）． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•仁和区期中）下列多项式中能用平方差公式进行分解因式的是（　　） A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20mn C．x2+y2 D．﹣x2+9 【答案】D 【分析】用平方差公式分解因式的两项，首先两项都有平方，其次是符号相反． 【解答】解：A：a2+（﹣b）2＝a2+b2是两数的平方和，故A不符合题意； B：5m2﹣20mn＝5m（m﹣4n），没有平方差公式，故B不符合题意； C：x2+y2是两数的平方和，故C不符合题意； D：﹣x2+9＝（3﹣x）（3+x），故D符合题意， 故选：D． 【变式练2】　（2024秋•孝南区期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．x2﹣y3 D．﹣x2+y2 【答案】D 【分析】直接利用公式法分解因式得出答案． 【解答】解：A、x2+y2，无法分解因式，不合题意； B、﹣x2﹣y2，无法分解因式，不合题意； C、x2﹣y3，无法分解因式，不合题意； D、﹣x2+y2＝（y﹣x）（y+x），正确，符合题意； 故选：D． 【变式练3】　（2025春•雁塔区期末）下列各式不能运用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．﹣a2+b2 B．﹣x2﹣y2 C．49x2﹣z2 D．16m2﹣25n2 【答案】B 【分析】根据平方差公式的公式结构对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、﹣a2+b2符合平方差公式结构，故本选项不合题意； B、﹣x2﹣y2不符合平方差公式结构，故本选项符合题意； C、49x2﹣z2符合平方差公式结构，故本选项不合题意； D、16m2﹣25n2符合平方差公式结构，故本选项不合题意． 故选：B． 题型02 完全平方式 典型例题 典例 02 （2025春•碧江区 校级月考）如果x2+（m﹣2）x+9是一个完全平方式，那么m的值是（　　） A．8 B．﹣4 C．﹣4或8 D．﹣8或4 【答案】C 【分析】利用完全平方公式推出x2+（m﹣2）x+9＝（x±3）2，得到（m﹣2）x＝2×x×（±3），运算求解即可． 【解答】解：由条件可知x2+（m﹣2）x+9＝（x±3）2， ∴（m﹣2）x＝2×x×（±3）， ∴m﹣2＝2×（±3）， 解得：m＝8或m＝﹣4； 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2025春•莲池区期末）已知关于x的二次三项式x2+kx+4是完全平方式，则实数k的值为（　　） A．2 B．±2 C．4 D．±4 【答案】D 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值． 【解答】解：∵关于字母x的二次三项式x2+kx+4是完全平方式， ∴k＝±4． 故选：D． 【变式练2】　（2025春•赣榆区校级月考）如果x2﹣10x+m是一个完全平方式，那么m为（　　） A．25 B．±25 C．100 D．±100 【答案】A 【分析】根据x2﹣10x+m＝（x﹣5）2，进而求出m的值． 【解答】解：根据题意可知，x2﹣10x+m＝（x﹣5）2＝x2﹣10x+25， ∴m＝25． 故选：A． 【变式练3】　（2025•番禺区三模）如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 【答案】B 【分析】根据完全平方公式是和的平方加减积的2倍，可得m的值． 【解答】解：∵x2+2mx+9是一个完全平方式， ∴2m＝±6， ∴m＝±3， 故选：B． 题型03 用平方差公式因式分解 典型例题 典例 03 （2025•宁波模拟）因式分解：4x2﹣9＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用平方差进行分解即可． 【解答】解：原式＝（2x+3）（2x﹣3）， 故答案为：（2x+3）（2x﹣3）． 即学即练 【变式练1】　（2025•常州）分解因式：x2﹣9y2＝　　 ． 【答案】（x﹣3y）（x+3y）． 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：原式＝（x﹣3y）（x+3y）． 故答案为：（x﹣3y）（x+3y）． 【变式练2】　（2025•扬州）分解因式：a2﹣4＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接用公式法分解，即可得出答案． 【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）， 故答案为：（a+2）（a﹣2）． 【变式练3】　（2025•惠阳区模拟）因式分解：4a2﹣b2＝　　 ． 【答案】（2a+b）（2a﹣b）． 【分析】根据平方差公式分解因式即可； 【解答】解：4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b）； 故答案为：（2a+b）（2a﹣b）． 题型04 用完全平方公式因式分解 典型例题 典例 04 （2025•甘肃）因式分解：x2﹣6x+9＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接运用完全平方公式进行因式分解即可． 【解答】解：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2． 即学即练 【变式练1】　（2025•定西一模）因式分解：x2+4y2﹣4xy＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用完全平方公式进行分解即可． 【解答】解：原式＝x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2， 故答案为：（x﹣2y）2． 【变式练2】　（2025•翁牛特旗模拟）因式分解：9m2+6m+1＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用完全平方公式进行分解，即可解答． 【解答】解：9m2+6m+1＝（3m+1）2， 故答案为：（3m+1）2． 【变式练3】　（2025•宁江区四模）因式分解：x2+18x+81＝　　 ． 【答案】（x+9）2． 【分析】利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：x2+18x+81＝（x+9）2， 故答案为：（x+9）2． 题型05 用十字相乘法因式分解 典型例题 典例 05 （2025•海门区校级模拟）因式分解：x2﹣x﹣6＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】原式利用十字相乘法分解即可． 【解答】解：原式＝（x+2）（x﹣3）， 故答案为：（x+2）（x﹣3）． 即学即练 【变式练1】　（2025•博山区三模）因式分解：a2+2a﹣3＝　　 ． 【答案】（a+3）（a﹣1）． 【分析】根据十字相乘法将﹣3分解为3×（﹣1）即可． 【解答】解：原式＝（a+3）（a﹣1）， 故答案为：（a+3）（a﹣1）． 【变式练2】　（2024秋•沂源县期末）因式分解：x2﹣2x﹣35＝ 　　 ． 【答案】（x﹣7）（x+5）． 【分析】利用十字相乘法因式分解即可． 【解答】解：x2﹣2x﹣35＝（x﹣7）（x+5）． 故答案为：（x﹣7）（x+5）． 【变式练3】　（2025春•大荔县校级期末）分解因式：（x﹣3）（x﹣5）+1． 【答案】（x﹣4）2． 【分析】先去括号再根据完全平方公式分解因式． 【解答】解：（x﹣3）（x﹣5）+1 ＝x2﹣8x+16 ＝（x﹣4）2． 学科网（北京）股份有限公司 $$