16.3 乘法公式 同步讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

16.3 乘法公式 讲义 新知廊 知识点1：平方差公式 （1）符号表示：． （2）文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． （3）结构特点 ①等号左边：是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同（通常变形后放在第一项），另一项互为相反数（通常变形后放在第二项）． ②等号右边：乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方． （4）推导 ①代数运算证明法 ②几何图形证明法（数形结合思想） 知识点2：完全平方公式 （1）符号表示： ， （2）文字语言：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式． （3）结构特点 两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同． （4）推导 ①代数运算证明法 ②几何图形证明法（数形结合思想） 知识点3：添括号法则 1．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 2．注意事项： （1）首先要清楚括到括号里的是哪些项． （2）括号前面是什么符号，括到括号里的项是否要改变符号，这与去括号一样，要变都变，要不变都不变． （3）添括号后是否正确，可以用去括号来检验． 求甚解 1．完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同． 2．只要符合平方差公式的结构特征，就可运用这一公式简化运算．如： （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． （6）． 3．平方差公式连用： ． 4．添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号． ①添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的． ②去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误： 如：， 练题型 题型01 平方差公式 典型例题 典例 01 （2025春•周口月考）下列式子可用平方差公式计算的是（　　） A．（3a+2b）（2a﹣3b） B．（2b+3a）（3a﹣2b） C．（3a+2b）（﹣3a﹣2b） D．（3a﹣2b）（﹣3a+2b） 【答案】B 【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2一一判断即可． 【解答】解：A、（3a+2b）（2a﹣3b）不符合平方差公式，不符合题意； B、（2b+3a）（3a﹣2b）＝（3a+2b）（3a﹣2b）＝（3a）2﹣（2b）2，符合平方差公式，符合题意； C、（3a+2b）（﹣3a﹣2b）＝﹣（3a+2b）2，不符合平方差公式，不符合题意； D、（3a﹣2b）（﹣3a+2b）＝﹣（3a﹣2b）2，不符合平方差公式，不符合题意； 故选：B． 即学即练 【变式练1】　（2025•张掖一模）计算：852﹣152＝（　　） A．70 B．700 C．4 900 D．7 000 【变式练2】　（2025春•巨野县期末）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　） A．（﹣x+3）（﹣x﹣3） B． C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（a2﹣b）（a+b2） 【变式练3】　（2024秋•南开区期末）计算（3y+2）（3y﹣2）的结果为　　 ． 题型02 平方差公式的灵活应用 典型例题 典例 02 （2025春•余江区校级月考）计算1982﹣199×197的结果为　　 ． 即学即练 【变式练1】　（2025春•宜章县期中）计算：20252﹣2027×2023＝　　 ． 【变式练2】　（2025春•广饶县期末）请你尝试计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）的结果是　　 ． 【变式练3】　（2024秋•分宜县期末）计算：　　 ． 题型03 完全平方公式 典型例题 典例 03 （2025春•平和县校级月考）计算：（﹣x+2y）2＝ 　　 ． 【答案】x2﹣4xy+4y2． 【分析】根据完全平方公式进行计算即可． 【解答】解：原式＝x2﹣2x•2y+4y2 ＝x2﹣4xy+4y2． 故答案为：x2﹣4xy+4y2． 即学即练 【变式练1】　（2025春•青白江区期末）计算：（a﹣3）2＝　　 ． 【变式练2】　（2025春•桓台县期末）已知若2a+b＝7，且ab＝3，则：（2a﹣b）2＝　　 ． 【变式练3】　（2025春•英德市期中）（x+6）2＝ 　　 ． 题型04 完全平方公式的灵活应用 典型例题 典例 04 （2025春•锦江区校级期中）已知（2x﹣2021）2+（2x﹣2025）2＝54，则（2x﹣2023）2的值是 　　 ． 【答案】23． 【分析】设y＝2x﹣2023，则原方程可化简为（y+2）2+（y﹣2）2＝54，求出y2的值即可． 【解答】解：设y＝2x﹣2023， 则原方程可化简为（y+2）2+（y﹣2）2＝54， 展开得y2+4y+4+y2﹣4y+4＝54， 合并得2y2+8＝54， 解得y2＝23， ∴（2x﹣2023）2＝23， 故答案为：23． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•陵城区期末）若5，则　　 ． 【变式练2】　（2024秋•巴南区期末）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝13，则x2+y2的值为 　　 ． 【变式练3】　（2025春•姑苏区校级月考）已知（x+y）2＝4，（x﹣y）2＝16，求下列各式的值． （1）x2+y2； （2）xy； （3）x4+y4． 题型05 乘法公式的几何背景 典型例题 典例 05 （2024秋•抚顺期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示）．根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）＝a2﹣ab C．b（a﹣b）＝ab﹣b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 【答案】D 【分析】根据图1和图2分别用作差的方法和整体方法表示出阴影部分的面积列出等式即可． 【解答】解：根据图1和图2可得阴影部分的面积为：a2﹣b2和（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：D． 即学即练 【变式练1】　（2025春•湖州期末）准备一把剪刀和一张正方形纸片，记正方形纸片的边长为a，现在进行以下操作： （1）从正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开． （2）把剪成的两张纸片拼成如图2的长方形．从上述活动中，你可以得到的代数结论是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 【变式练2】　（2025春•余江区校级月考）如图，将两个边长为b的小正方形分别放在两个边长为a的大正方形中，如果a﹣b＝3，ab＝40，那么阴影部分的面积是（　　） A．49 B．44 C．39 D．34 【变式练3】　（2025春•灞桥区校级月考）现有甲、乙两张正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知H为AE的中点，连接DH，FH．将乙纸片放到甲纸片的内部得到图2，已知甲、乙两张正方形纸片的面积之和为35，图2阴影部分的面积为6，则图1阴影部分的面积为（　　） A．3 B．19 C．21 D．28 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.3 乘法公式 讲义 新知廊 知识点1：平方差公式 （1）符号表示：． （2）文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． （3）结构特点 ①等号左边：是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同（通常变形后放在第一项），另一项互为相反数（通常变形后放在第二项）． ②等号右边：乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方． （4）推导 ①代数运算证明法 ②几何图形证明法（数形结合思想） 知识点2：完全平方公式 （1）符号表示： ， （2）文字语言：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式． （3）结构特点 两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同． （4）推导 ①代数运算证明法 ②几何图形证明法（数形结合思想） 知识点3：添括号法则 1．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 2．注意事项： （1）首先要清楚括到括号里的是哪些项． （2）括号前面是什么符号，括到括号里的项是否要改变符号，这与去括号一样，要变都变，要不变都不变． （3）添括号后是否正确，可以用去括号来检验． 求甚解 1．完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同． 2．只要符合平方差公式的结构特征，就可运用这一公式简化运算．如： （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． （6）． 3．平方差公式连用： ． 4．添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号． ①添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的． ②去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误： 如：， 练题型 题型01 平方差公式 典型例题 典例 01 （2025春•周口月考）下列式子可用平方差公式计算的是（　　） A．（3a+2b）（2a﹣3b） B．（2b+3a）（3a﹣2b） C．（3a+2b）（﹣3a﹣2b） D．（3a﹣2b）（﹣3a+2b） 【答案】B 【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2一一判断即可． 【解答】解：A、（3a+2b）（2a﹣3b）不符合平方差公式，不符合题意； B、（2b+3a）（3a﹣2b）＝（3a+2b）（3a﹣2b）＝（3a）2﹣（2b）2，符合平方差公式，符合题意； C、（3a+2b）（﹣3a﹣2b）＝﹣（3a+2b）2，不符合平方差公式，不符合题意； D、（3a﹣2b）（﹣3a+2b）＝﹣（3a﹣2b）2，不符合平方差公式，不符合题意； 故选：B． 即学即练 【变式练1】　（2025•张掖一模）计算：852﹣152＝（　　） A．70 B．700 C．4 900 D．7 000 【答案】D 【分析】先依据平方差公式进行变形，然后再进行计算即可． 【解答】解：852﹣152＝（85+15）（85﹣15）＝100×70＝7000． 故选：D． 【变式练2】　（2025春•巨野县期末）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　） A．（﹣x+3）（﹣x﹣3） B． C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（a2﹣b）（a+b2） 【答案】A 【分析】用平方差公式进行计算时，公式的特点是：两个二项式相乘，其中一项相同，另一项互为相反数，符合这个特点就能用公式进行计算，根据以上内容判断即可． 【解答】解：A、能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意； B、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； C、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； D、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式练3】　（2024秋•南开区期末）计算（3y+2）（3y﹣2）的结果为　　 ． 【答案】9y2﹣4． 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【解答】解：（3y+2）（3y﹣2）＝9y2﹣4， 故答案为：9y2﹣4． 题型02 平方差公式的灵活应用 典型例题 典例 02 （2025春•余江区校级月考）计算1982﹣199×197的结果为　　 ． 【答案】1． 【分析】根据题意，得1982﹣199×197＝1982﹣（198+1）（198﹣1），化简计算即可． 【解答】解：原式＝1982﹣（198+1）（198﹣1） ＝1982﹣1982+1 ＝1， 故答案为：1． 即学即练 【变式练1】　（2025春•宜章县期中）计算：20252﹣2027×2023＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【解答】解：原式＝20252﹣（2025+2）×（2025﹣2） ＝20252﹣（20252﹣4） ＝4． 故答案为：4． 【变式练2】　（2025春•广饶县期末）请你尝试计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）的结果是　　 ． 【答案】a8﹣b8． 【分析】利用平方差公式计算即可． 【解答】解：原式＝（a2﹣b2）（a2+b2）（a4+b4） ＝（a4﹣b4）（a4+b4） ＝a8﹣b8， 故答案为：a8﹣b8． 【变式练3】　（2024秋•分宜县期末）计算：　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】将分式的分母根据平方差公式变形得到，再约分即可求解． 【解答】解： ． 故答案为：． 题型03 完全平方公式 典型例题 典例 03 （2025春•平和县校级月考）计算：（﹣x+2y）2＝ 　　 ． 【答案】x2﹣4xy+4y2． 【分析】根据完全平方公式进行计算即可． 【解答】解：原式＝x2﹣2x•2y+4y2 ＝x2﹣4xy+4y2． 故答案为：x2﹣4xy+4y2． 即学即练 【变式练1】　（2025春•青白江区期末）计算：（a﹣3）2＝　　 ． 【答案】a2﹣6a+9． 【分析】利用完全平方公式解答即可． 【解答】解：原式＝a2﹣2×3a+32 ＝a2﹣6a+9． 故答案为：a2﹣6a+9． 【变式练2】　（2025春•桓台县期末）已知若2a+b＝7，且ab＝3，则：（2a﹣b）2＝　　 ． 【答案】25． 【分析】首先利用完全平方公式求出4a2+b2＝37，利用完全平方公式把（2a﹣b）2展开，可得：原式＝4a2+b2﹣4ab，再把已知代数式的值代入计算即可． 【解答】解：由条件可知（2a+b）2＝72， 整理得：4a2+4ab+b2＝49， ∵ab＝3， ∴4a2+4×3+b2＝49， ∴4a2+b2＝49﹣12， ∴4a2+b2＝37， ∴原式＝4a2﹣4ab+b2 ＝4a2+b2﹣4ab ＝37﹣4×3 ＝25． 故答案为：25． 【变式练3】　（2025春•英德市期中）（x+6）2＝ 　　 ． 【答案】x2+12x+36． 【分析】根据完全平方公式计算即可． 【解答】解：（x+6）2＝x2+12x+36， 故答案为：x2+12x+36． 题型04 完全平方公式的灵活应用 典型例题 典例 04 （2025春•锦江区校级期中）已知（2x﹣2021）2+（2x﹣2025）2＝54，则（2x﹣2023）2的值是 　　 ． 【答案】23． 【分析】设y＝2x﹣2023，则原方程可化简为（y+2）2+（y﹣2）2＝54，求出y2的值即可． 【解答】解：设y＝2x﹣2023， 则原方程可化简为（y+2）2+（y﹣2）2＝54， 展开得y2+4y+4+y2﹣4y+4＝54， 合并得2y2+8＝54， 解得y2＝23， ∴（2x﹣2023）2＝23， 故答案为：23． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•陵城区期末）若5，则　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据完全平方公式两边平方，然后整理即可求解． 【解答】解：∵（a）2＝a2+225， ∴a225﹣2＝23． 【变式练2】　（2024秋•巴南区期末）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝13，则x2+y2的值为 　　 ． 【答案】19． 【分析】根据完全平方公式展开得到x2+2xy+y2＝25①，x2﹣2xy+y2＝13②，①+②即可求出答案． 【解答】解：∵（x+y）2＝25， ∴x2+2xy+y2＝25①， ∵（x﹣y）2＝13， ∴x2﹣2xy+y2＝13②， ①+②，得2x2+2y2＝38， ∴x2+y2＝19， 故答案为：19． 【变式练3】　（2025春•姑苏区校级月考）已知（x+y）2＝4，（x﹣y）2＝16，求下列各式的值． （1）x2+y2； （2）xy； （3）x4+y4． 【答案】（1）10； （2）﹣3； （3）82． 【分析】（1）根据（x+y）2+（x﹣y）2＝2x2+2y2，然后代入数值计算，即可作答； （2）由（1）得x2+y2＝10，再结合2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2），然后代入数值计算，即可作答； （3）由（2）得xy＝﹣3，得（xy）2＝9，则x4+y4＝（x2﹣y2）2+2x2y2或x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2，分别代入数值计算，即可作答． 【解答】解：（1）依题意，（x+y）2+（x﹣y）2＝4+16＝20， 则x2+2xy+y2+x2﹣2xy+y2＝2x2+2y2＝20 即x2+y2＝20÷2＝10． （2）由（1）得x2+y2＝10， ∵（x+y）2＝4， 则2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝4﹣10＝﹣6， ∴xy＝﹣6÷2＝﹣3； （3）由（2）得xy＝﹣3， ∴（xy）2＝x2y2＝9， x4+y4 ＝（x2﹣y2）2+2x2y2 ＝82+2×9 ＝82． 或x4+y4 ＝（x2+y2）2﹣2x2y2 ＝[（x+y）2﹣2xy]2﹣2x2y2 ＝[4﹣2×（﹣3）]2﹣2×9 ＝100﹣18 ＝82． 题型05 乘法公式的几何背景 典型例题 典例 05 （2024秋•抚顺期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示）．根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）＝a2﹣ab C．b（a﹣b）＝ab﹣b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 【答案】D 【分析】根据图1和图2分别用作差的方法和整体方法表示出阴影部分的面积列出等式即可． 【解答】解：根据图1和图2可得阴影部分的面积为：a2﹣b2和（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：D． 即学即练 【变式练1】　（2025春•湖州期末）准备一把剪刀和一张正方形纸片，记正方形纸片的边长为a，现在进行以下操作： （1）从正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开． （2）把剪成的两张纸片拼成如图2的长方形．从上述活动中，你可以得到的代数结论是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 【答案】A 【分析】根据两个图形面积相等，即可得出结果． 【解答】解：S图1＝a2﹣b2，S图2＝（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故A正确． 故选：A． 【变式练2】　（2025春•余江区校级月考）如图，将两个边长为b的小正方形分别放在两个边长为a的大正方形中，如果a﹣b＝3，ab＝40，那么阴影部分的面积是（　　） A．49 B．44 C．39 D．34 【答案】A 【分析】由图可得阴影部分面积为4个直角三角形面积的和，列出代数式，结合完全平方公式即可求解． 【解答】解：∵a﹣b＝3，ab＝40， ∴（a﹣b）2＝9，2ab＝80， ∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝9， ∴a2+b2＝9+2ab＝89， ∴阴影部分面积为， 故选：A． 【变式练3】　（2025春•灞桥区校级月考）现有甲、乙两张正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知H为AE的中点，连接DH，FH．将乙纸片放到甲纸片的内部得到图2，已知甲、乙两张正方形纸片的面积之和为35，图2阴影部分的面积为6，则图1阴影部分的面积为（　　） A．3 B．19 C．21 D．28 【答案】B 【分析】设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则AD＝x，EF＝y，x2+y2＝35，结合已知条件可得出（x﹣y）2＝6，进而可得出2xy＝29，进一步求出x+y＝8，最后根据图1阴影部分的面积为两个正方形的面积之和减去两个三角形的面积代入计算即可． 【解答】解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y， 则AD＝x，EF＝y，x2+y2＝35， 图2阴影部分的面积为（x﹣y）2＝6， 即（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝6， ∴2xy＝29， ∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝35+29＝64， ∴x+y＝8， ∴AE＝8， ∵H为AE的中点， ∴AH＝HE＝4， ∴甲、乙两张正方形纸片的面积之和为35，图2阴影部分的面积为6时， 图1阴影部分的面积为：， 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $$