16.2 整式的乘法 同步讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

16.2 整式的乘法 讲义 新知廊 知识点1：单项式与单项式相乘 （1）单项式与单项式相乘的法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． （2）拓展：对于三个及以上的单项式相乘，单项式与单项式相乘的法则同样适用． 知识点2：单项式与多项式相乘 （1）单项式与多项式相乘的法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）实质上是利用分配律将其转化为几个单项式相乘的和的形式． （3）单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，合并前，其项数与因式中多项式的项数相同． 知识点3：多项式与多项式相乘 （1）多项式与多项式相乘的法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行． 知识点4：同底数幂的除法 同底数幂的除法的性质 （1）文字语言：同底数幂相除，底数不变，指数相减． （2）符号语言：（a≠0，m，n都是正整数，m>n） （3）推导过程：当a≠0，m，n都是正整数，m>n时， ∵， ∴． 知识点5：零指数幂 同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如am÷am，根据除法的意义可知所得的商为1．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有am÷am=am-m=a0． 于是规定：a0=1（a≠0）． 文字语言：任何不等于0的数的0次幂都等于1． 知识点6：单项式除以单项式 单项式除以单项式的法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 知识点7：多项式除以单项式 多项式除以单项式的法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 求甚解 （1）单项式与单项式相乘 ①积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值． ②相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算． （2）单项式与多项式相乘 ①单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项． ②计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号． ③对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果． （3）多项式与多项式相乘 ①运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏． ②多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积． （4）零指数幂的性质 ①底数a不等于0，若a=0，则零的零次幂没有意义． ②底数a可以是不为零的单顶式或多项式，如50=1，（x2+y2+1）0=1等． ③a0=1中，a≠0是极易忽略的问题，也易误认为a0=0． （5）多项式除以单项式 ①多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号． ②多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项． ③多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验． 练题型 题型01 单项式乘单项式 典型例题 典例 01 （2025•碑林区校级模拟）计算：2xy2•（﹣3x2y）＝（　　） A．﹣6x2y2 B．﹣6x3y3 C．6x2y2 D．6x3y3 【答案】B 【分析】根据单项式乘单项式法则计算即可． 【解答】解：2xy2•（﹣3x2y）＝﹣6x3y3， 故选：B． 即学即练 【变式练1】　（2025•白城模拟）计算3a•a2的结果是（　　） A．3a2 B．3a3 C．4a2 D．4a3 【答案】B 【分析】根据单项式乘单项式法则计算即可． 【解答】解：3a•a2＝3a3， 故选：B． 【变式练2】　（2025春•普宁市月考）计算2x•3x3的结果是（　　） A．5x3 B．6x3 C．5x4 D．6x4 【答案】D 【分析】分别计算系数部分和字母部分的乘积即可． 【解答】解：根据单项式的乘法运算法则可得： 2x•3x3＝6x4， 故选：D． 【变式练3】　（2025春•盐都区期末）计算：3x2y•（﹣2y）＝　　 ． 【答案】﹣6x2y2． 【分析】根据单项式乘单项式法则计算即可． 【解答】解：3x2y•（﹣2y）＝﹣6x2y2， 故答案为：﹣6x2y2． 题型02 单项式乘多项式 典型例题 典例 02 （2025春•阳山县期末）计算：﹣a（5a﹣1）＝　　 ． 【答案】﹣5a2+a． 【分析】根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝﹣5a2+a． 故答案为：﹣5a2+a． 即学即练 【变式练1】　（2025春•福田区期末）计算：2m（m+1）＝ 　　 ． 【答案】2m2+2m． 【分析】根据单项式乘多项式法则计算即可． 【解答】解：2m（m+1）＝2m2+2m， 故答案为：2m2+2m． 【变式练2】　（2024秋•漳州期末）计算：x（x+2）＝　　 ． 【答案】x2+2x． 【分析】根据单项式乘多项式法则计算即可． 【解答】解：根据单项式乘多项式法则可得： x（x+2）＝x2+2x， 故答案为：x2+2x． 【变式练3】　（2025春•平和县校级月考）计算： 　　 ． 【答案】﹣x3y+4x2y3． 【分析】利用单项式乘多项式法则计算即可． 【解答】解：原式＝﹣x3y+4x2y3， 故答案为：﹣x3y+4x2y3． 题型03 多项式乘多项式 典型例题 典例 03 （2025春•仪征市月考）计算：（x+2）（x﹣5）＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据多项式乘多项式的法则计算即可求解． 【解答】解：（x+2）（x﹣5） ＝x2﹣5x+2x﹣10 ＝x2﹣3x﹣10． 故答案为：x2﹣3x﹣10． 即学即练 【变式练1】　（2025•杏花岭区二模）计算：（a+2）（a﹣3）＝　　 ； 【答案】见试题解答内容 【分析】根据整式的运算即可求出答案． 【解答】解：原式＝a2﹣a﹣6， 故答案为：a2﹣a﹣6 【变式练2】　（2024秋•湛江校级期末）计算：（3a+2b）（a﹣b）+（2a﹣b）（a+b）＝ 　　 ． 【答案】5a2﹣3b2． 【分析】利用多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可． 【解答】解：原式＝3a2﹣3ab+2ab﹣2b2+2a2+2ab﹣ab﹣b2 ＝5a2﹣3b2， 故答案为：5a2﹣3b2． 【变式练3】　（2023秋•普陀区期末）计算：（x﹣5y）（2x+y）＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，根据多项式乘多项式的法则计算即可． 【解答】解：（x﹣5y）（2x+y） ＝2x2+xy﹣10xy﹣5y2 ＝2x2﹣9xy﹣5y2． 故答案为：2x2﹣9xy﹣5y2． 题型04 多项式乘多项式展开式中不含某项 典型例题 典例 04 （2024春•武侯区校级期中）（x2+ax+3）（x+4）的展开式中不含x的一次项，则常数a的值为 　　 ． 【答案】 【分析】先把多项式合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可． 【解答】解：因为多项式（x2+ax+3）（x+4）＝x3+（a+4）x2+（4a+3）x+12不含x的一次项， ∴4a+3＝0， 解得a． 故答案为：． 即学即练 【变式练1】　（2025春•玄武区校级月考）若多项式（x+a）（3x﹣2）不含x的一次项，则a＝　　 ． 【答案】． 【分析】先把多项式合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可． 【解答】解：∵多项式（x+a）（3x﹣2）＝3x2+（3a﹣2）x﹣2a不含x的一次项， ∴3a﹣2＝0， 解得a． 故答案为：． 【变式练2】　（2025春•仪征市期末）已知（x﹣a）（﹣4x+1）的展开式中不含x项，则常数a的值为　　 ． 【答案】． 【分析】先把多项式展开后合并，然后令x项系数等于0，再解方程即可． 【解答】解：∵多项式（x﹣a）（﹣4x+1）＝﹣4x2+（4a+1）x﹣a不含x项， ∴4a+1＝0， 解得a． 故答案为：． 【变式练3】　（2025春•青羊区校级月考）已知（2x2+mx）（x﹣1）展开的结果中不含x2项，则m的值为　　 ． 【答案】2． 【分析】先把多项式展开后合并，然后令x2项系数等于0，再解方程即可． 【解答】解：∵多项式（2x2+mx）（x﹣1）＝2x3+（m﹣2）x2﹣mx不含x2项， ∴m﹣2＝0， 解得m＝2． 故答案为：2． 题型05 同底数幂的除法 典型例题 典例 05 （2024秋•孝南区期末）若5m＝8，5n＝4，则5m﹣n＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】逆用同底数幂的除法进行计算即可． 【解答】解：∵5m＝8，5n＝4， ∴5m﹣n＝5m÷5n＝8÷4＝2， 故答案为：2． 即学即练 【变式练1】　（2025春•仪征市期末）若4x＝9，4y＝3，则4x﹣y的值＝　　 ． 【答案】3． 【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可． 【解答】解：∵4x＝9，4y＝3， ∴4x﹣y＝4x÷4y＝9÷3＝3， 故答案为：3． 【变式练2】　（2025春•鼓楼区期末）已知xm＝6，xn＝3，则xm﹣2n的值为 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据同底数指数幂的除法和幂的乘方可得xm﹣2n＝xm÷（xn）2，将xm＝6，xn＝3代入即可求解． 【解答】解：xm﹣2n ＝xm÷x2n ＝xm÷（xn）2， ∵xm＝6，xn＝3， ∴xm﹣2n＝6÷32， 故答案为：． 【变式练3】　（2025春•淮安期末）计算：a10÷a2＝ 　　 （a≠0）． 【答案】a8． 【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可． 【解答】解：a10÷a2＝a8（a≠0）， 故答案为：a8． 题型06 单项式除以单项式 典型例题 典例 06 （2025春•武侯区校级月考）化简：9m6÷3m3＝　　 ． 【答案】3m3． 【分析】单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 【解答】解：根据单项式与单项式的除法运算法则可得： 9m6÷3m3＝3m3． 故答案为：3m3． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•城西区校级期末）计算的结果是　　 ． 【答案】﹣16x5y2． 【分析】先根据幂的乘方与积的乘方法则计算，再根据单项式除以单项式的法则计算即可． 【解答】解：16x5y2， 故答案为：﹣16x5y2． 【变式练2】　（2025春•耒阳市校级期末）计算：12a5b3÷3ab＝ 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【解答】解：12a5b3÷3ab＝4a4b2， 故答案为：4a4b2． 【变式练3】　（2025春•铁西区期末）x5y÷x2＝ 　　 ． 【答案】x3y． 【分析】利用单项式除以单项式法则计算即可． 【解答】解：原式＝x3y， 故答案为：x3y． 题型07 多项式除以单项式 典型例题 典例 07 （2025春•余江区期末）计算：（3a2+2a）÷a＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【解答】解：（3a2+2a）÷a ＝3a2÷a+2a÷a ＝3a+2． 故答案为：3a+2． 即学即练 【变式练1】　（2025春•宁化县期末）计算：（ab2﹣b）÷b＝　　 ． 【答案】ab﹣1． 【分析】根据多项式除以单项式法则计算即可． 【解答】解：（ab2﹣b）÷b＝ab﹣1， 故答案为：ab﹣1． 【变式练2】　（2024秋•文峰区期末）（3a2﹣6ab）÷3a＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【解答】解：（3a2﹣6ab）÷3a ＝3a2÷3a﹣6ab÷3a ＝a﹣2b． 故答案为：a﹣2b． 【变式练3】　（2024秋•闵行区期末）计算：（10a3﹣12a2+2a）÷2a＝　　 ． 【答案】5a2﹣6a+1． 【分析】根据多项式除以单项式的法则计算即可． 【解答】解：（10a3﹣12a2+2a）÷2a ＝10a3÷2a﹣12a2÷2a+2a÷2a ＝5a2﹣6a+1， 故答案为：5a2﹣6a+1． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.2 整式的乘法 讲义 新知廊 知识点1：单项式与单项式相乘 （1）单项式与单项式相乘的法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． （2）拓展：对于三个及以上的单项式相乘，单项式与单项式相乘的法则同样适用． 知识点2：单项式与多项式相乘 （1）单项式与多项式相乘的法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）实质上是利用分配律将其转化为几个单项式相乘的和的形式． （3）单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，合并前，其项数与因式中多项式的项数相同． 知识点3：多项式与多项式相乘 （1）多项式与多项式相乘的法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行． 知识点4：同底数幂的除法 同底数幂的除法的性质 （1）文字语言：同底数幂相除，底数不变，指数相减． （2）符号语言：（a≠0，m，n都是正整数，m>n） （3）推导过程：当a≠0，m，n都是正整数，m>n时， ∵， ∴． 知识点5：零指数幂 同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如am÷am，根据除法的意义可知所得的商为1．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有am÷am=am-m=a0． 于是规定：a0=1（a≠0）． 文字语言：任何不等于0的数的0次幂都等于1． 知识点6：单项式除以单项式 单项式除以单项式的法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 知识点7：多项式除以单项式 多项式除以单项式的法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 求甚解 （1）单项式与单项式相乘 ①积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值． ②相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算． （2）单项式与多项式相乘 ①单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项． ②计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号． ③对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果． （3）多项式与多项式相乘 ①运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏． ②多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积． （4）零指数幂的性质 ①底数a不等于0，若a=0，则零的零次幂没有意义． ②底数a可以是不为零的单顶式或多项式，如50=1，（x2+y2+1）0=1等． ③a0=1中，a≠0是极易忽略的问题，也易误认为a0=0． （5）多项式除以单项式 ①多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号． ②多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项． ③多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验． 练题型 题型01 单项式乘单项式 典型例题 典例 01 （2025•碑林区校级模拟）计算：2xy2•（﹣3x2y）＝（　　） A．﹣6x2y2 B．﹣6x3y3 C．6x2y2 D．6x3y3 【答案】B 【分析】根据单项式乘单项式法则计算即可． 【解答】解：2xy2•（﹣3x2y）＝﹣6x3y3， 故选：B． 即学即练 【变式练1】　（2025•白城模拟）计算3a•a2的结果是（　　） A．3a2 B．3a3 C．4a2 D．4a3 【变式练2】　（2025春•普宁市月考）计算2x•3x3的结果是（　　） A．5x3 B．6x3 C．5x4 D．6x4 【变式练3】　（2025春•盐都区期末）计算：3x2y•（﹣2y）＝　　 ． 题型02 单项式乘多项式 典型例题 典例 02 （2025春•阳山县期末）计算：﹣a（5a﹣1）＝　　 ． 【答案】﹣5a2+a． 【分析】根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝﹣5a2+a． 故答案为：﹣5a2+a． 即学即练 【变式练1】　（2025春•福田区期末）计算：2m（m+1）＝ 　　 ． 【变式练2】　（2024秋•漳州期末）计算：x（x+2）＝　　 ． 【变式练3】　（2025春•平和县校级月考）计算： 　　 ． 题型03 多项式乘多项式 典型例题 典例 03 （2025春•仪征市月考）计算：（x+2）（x﹣5）＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据多项式乘多项式的法则计算即可求解． 【解答】解：（x+2）（x﹣5） ＝x2﹣5x+2x﹣10 ＝x2﹣3x﹣10． 故答案为：x2﹣3x﹣10． 即学即练 【变式练1】　（2025•杏花岭区二模）计算：（a+2）（a﹣3）＝　　 ； 【变式练2】　（2024秋•湛江校级期末）计算：（3a+2b）（a﹣b）+（2a﹣b）（a+b）＝ 　　 ． 【变式练3】　（2023秋•普陀区期末）计算：（x﹣5y）（2x+y）＝　　 ． 题型04 多项式乘多项式展开式中不含某项 典型例题 典例 04 （2024春•武侯区校级期中）（x2+ax+3）（x+4）的展开式中不含x的一次项，则常数a的值为 　　 ． 【答案】 【分析】先把多项式合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可． 【解答】解：因为多项式（x2+ax+3）（x+4）＝x3+（a+4）x2+（4a+3）x+12不含x的一次项， ∴4a+3＝0， 解得a． 故答案为：． 即学即练 【变式练1】　（2025春•玄武区校级月考）若多项式（x+a）（3x﹣2）不含x的一次项，则a＝　　 ． 【变式练2】　（2025春•仪征市期末）已知（x﹣a）（﹣4x+1）的展开式中不含x项，则常数a的值为　　 ． 【变式练3】　（2025春•青羊区校级月考）已知（2x2+mx）（x﹣1）展开的结果中不含x2项，则m的值为　　 ． 题型05 同底数幂的除法 典型例题 典例 05 （2024秋•孝南区期末）若5m＝8，5n＝4，则5m﹣n＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】逆用同底数幂的除法进行计算即可． 【解答】解：∵5m＝8，5n＝4， ∴5m﹣n＝5m÷5n＝8÷4＝2， 故答案为：2． 即学即练 【变式练1】　（2025春•仪征市期末）若4x＝9，4y＝3，则4x﹣y的值＝　　 ． 【变式练2】　（2025春•鼓楼区期末）已知xm＝6，xn＝3，则xm﹣2n的值为 　　 ． 【变式练3】　（2025春•淮安期末）计算：a10÷a2＝ 　　 （a≠0）． 题型06 单项式除以单项式 典型例题 典例 06 （2025春•武侯区校级月考）化简：9m6÷3m3＝　　 ． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•城西区校级期末）计算的结果是　　 ． 【变式练2】　（2025春•耒阳市校级期末）计算：12a5b3÷3ab＝ 　　 ． 【变式练3】　（2025春•铁西区期末）x5y÷x2＝ 　　 ． 题型07 多项式除以单项式 典型例题 典例 07 （2025春•余江区期末）计算：（3a2+2a）÷a＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【解答】解：（3a2+2a）÷a ＝3a2÷a+2a÷a ＝3a+2． 故答案为：3a+2． 即学即练 【变式练1】　（2025春•宁化县期末）计算：（ab2﹣b）÷b＝　　 ． 【变式练2】　（2024秋•文峰区期末）（3a2﹣6ab）÷3a＝　　 ． 【变式练3】　（2024秋•闵行区期末）计算：（10a3﹣12a2+2a）÷2a＝　　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$