18.5 分式方程第1课时 分式方程及其解法 课件 2025--2026学年人教版八年级数学上册

18.5 分式方程 R·八年级上册 第1课时 分式方程及其解法 知识点1 分式方程的概念 探究新知 分母中含未知数的方程叫作分式方程. 这些方程有什么共同特征？ *我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中. 练习 下列式子中，属于分式方程的是________，属于整式方程的是________(填序号). ②⑤⑦ ①④ 知识点2 分式方程的解法 如何解方程 ？ 思 考 （1）如何把它转化为整式方程？ （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？ 整式方程 转化 各个分母的最简公分母 等式的性质2 去分母 方程两边同乘各分母的最简公分母：(30 + v)(30 – v) 得 解得 v = 6 检验：将 v = 6 代入原方程中，左边 = 2.5 = 右边，因此 v=6 是原方程的解. 90(30 – v) = 60(30 + v) 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法. 结 小 纳 归 练习 解下列方程： 【教材P166练习第(1)(2)题】 最简公分母：x(x – 2) 解：去分母，得 解得 x = – 5 检验：将 x = – 5 代入原方程中，左边 = – 1 = 右边，因此 x = – 5 是原方程的解. 5(x – 2) = 7x 最简公分母：(x + 3)(x – 1) 解：去分母，得 解得 x = 5 检验：将 x = 5 代入原方程中，左边 = 0.25 = 右边，因此 x = 5 是原方程的解. 2(x – 1) = x + 3 解：在方程两边乘最简公分母_____________， 去分母，得 x + 5 = 10 解得 x = 5 (x – 5)(x + 5) x = 5是①的解吗？ 检验：将 x = 5 代入①，分母 x – 5 和 x2 – 25 的值都为 0，相应的分式无意义. 因此 x = 5 虽然是整式方程②的解，但不是分式方程①的解. 此分式方程无解. 运用“去分母化为整式方程”的方法解方程 探 究 ① ② 比较解上面两个分式方程的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？ 思 考 最简公分母 解 结论 (x – 5)(x + 5) (30 + v)(30 – v) x = 5 v = 6 所得整式方程的解不是②的解 所得整式方程的解与①的解相同 回代结果≠0 回代结果= 0 x = 5 是分式方程的增根 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验: 归纳 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 解：方程两边乘 x(x – 3)，得 2x = 3x – 9 解得 x = 9 检验： 当 x = 9时， x(x – 3) ≠ 0， 所以，原分式方程的解为 x = 9. 例1 解方程 例2 解方程 解：方程两边乘 (x – 1)(x + 2)，得 x(x + 2) – (x – 1)(x + 2) = 3 解得 x = 1 检验： 当x = 1时，(x – 1)(x + 2) = 0 所以，原分式方程无解. 因此， x = 1不是原分式方程的解. 分式方程 去分母 整式方程 解整式方程 x = m 检验 x = m 是分式方程的解 归纳 x = m 不是分式方程的解 最简公分母不为0 最简公分母为0 目标 解分式方程的一般过程： 练习 解下列方程： 【教材P166练习第(3)~(6)题】 解：方程两边乘 2x(x + 3)，得 x + 3 = 4x 解得 x = 1 检验： 当 x = 1 时， 2x(x + 3) ≠ 0， 所以，原分式方程的解为 x = 1. 解：方程两边乘 3(x + 1)，得 3x = 2x + 3x + 3 解得 x = 检验： 当 x = 时， 3(x + 1) ≠ 0， 所以，原分式方程的解为 x = . 解：方程两边乘 (x – 1)(x + 1)，得 2(x + 1) = 4 解得 x = 1 检验： 当 x = 1 时， (x – 1)(x + 1) = 0， 所以，原分式方程无解. 解：方程两边乘 x(x – 1)(x + 1) ，得 5(x – 1) – (x + 1)= 0 解得 x = 检验： 当 x = 时， x(x – 1)(x + 1) ≠ 0， 所以，原分式方程的解为 x = . 随堂练习 1. 定义一种新的运算，对于任意的非零实数 x，y， 若 x@(x – 1) = 1，则 x = ____. 解析： 解得： 检验：当 时，x(x – 1) ≠ 0. 2. 已知关于 x 的方程 的解为负数，则 a 的取值范围是_____________. 解析：方程两边乘 x(x + 1)，得 x + 1 + x = x + a 解得 x = a – 1 a – 1 < 0 且 a – 1 ≠ 0 且 a – 1 ≠ – 1. a < 1 且 a ≠ 0. a < 1 且 a ≠ 0 3. 若关于 x 的分式方程 无解，则 a 的值是（ ） B A. 1 B. 2 C. – 1 D. – 2 2x – 4 = 0 x = 2 将原分式方程去分母，得 2 + 3(2x – 4) = a 当 x = 2 时，解得 a = 2 4. 解关于 x 的方程： (a ≠ b，ab ≠ 0). 解：方程两边乘 x(x – 1)，得 ax – b(x – 1) = 0 解得 x = 检验：当 x = 时， 所以，原分式方程的解为 x = . 课堂小结 1. 分式方程：分母中含未知数的方程叫作分式方程. 2. 分式方程的解法： 分式方程 去分母 整式方程 求解 x = m x = m 是分式方程的解 目标 最简公分母不为0 检验 探究新知 你能说出实际应用中存在哪些常见的数量关系吗？ 行程问题 路程 = 速度×时间 工作量=工作效率×工作时间， 合作效率=各自单独完成任务的效率和. 工程问题 利润 = 售价 – 进价，利润 = 进价×利润率， 销售额 = 销售量×单价. 销售问题 例 3　两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成. 哪个队的施工速度快？ 探究1 工程问题 甲队工作总量 + 乙队工作总量 =“1” 问题中的哪个等量关系可以用来列方程？ 工作时间/月 工作效率 工作总量 甲队 乙队 设乙队单独完成这项工程需要 x 月. 甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一 两队又共同工作了半个月 甲队工作总量 + 乙队工作总量 =“1” 解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的 ，记总工程量为 1，根据工程的实际进度，得 方程两边乘 6x，得 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时，6x ≠ 0. 所以，原分式方程的解为 x = 1. 由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队的施工速度快. 注意：分式方程的解需要检验 2x + x + 3 = 6x. 分析：甲队1个月完成总工程的____， 那么甲队半个月完成总工程的____， 设乙队的单独施工1个月能完成总工程____， 乙队半个月完成总工程____， 两队半个月完成总工程的________. 思考 本题的等量关系还可以怎么找？ 甲队单独完成的工作量 + 两队合作完成的工作量 =“1” 工程问题中的基本关系： 解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1 常从工作量和工作时间上考虑相等关系. 工作总量 = 工作效率×工作时间 合作效率 = 各自单独完成任务的效率和 总工作量 = 各部分工作量之和 归纳 某工程队准备修建一条长 3000 m 的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加 25%，结果提前 2 天完成任务，原计划每天修建盲道多少米？ 练习 等量关系：原计划用时 – 实际用时 = 2 天 工作量/m 效率/(m/天) 工作时间/天 原计划 实际 提前 2 天完成任务 修建一条长 3000 m 的盲道 实际每天修建盲道的长度比原计划增加 25% 3000 3000 x (1 + 25%)x 设原计划每天修建盲道 x m. 原计划用时 – 实际用时 = 2 天 解：设原计划每天修建盲道 x m. 依题意，得 方程两边乘 1.25x，得 解得 x = 300. 检验：当 x = 300 时，1.25x ≠ 0. 所以，原分式方程的解为 x = 300. 答：原计划每天修建盲道 300 m. 3750 – 3000 = 2.5x. 探究2 行程问题 这里的字母 v，s 表示已知数据 例4 某次列车平均提速 v km/h. 在相同的时间内，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶 50 km，提速前列车的平均速度为多少？ 表达问题时，用字母不仅可以表示未知数(或未知量)，也可以表示已知数(或已知量) 时间/m 速度/(km/h) 路程/km 提速前 提速后 列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶 50 km 平均提速 v km/h s s + 50 x v + x 设提速前列车的平均速度为 x km/h 等量关系 解：设提速前这次列车的平均速度为 x km/h， 则提速前它行驶 s km 所用时间为 h；提速后列车的平均速度为 (x + v) km/h，提速后它行驶 (s + 50) km 所用时间为 h. 方程两边乘 x(x + v) ，得 解得 x = s(x + v) = x(s + 50). 根据行驶时间的相等关系，得 检验：当 x = 时， x(x + v) ≠ 0. 所以，原分式方程的解为 x = 答：提速前列车的平均速度为 km/h．　 用字母表示已知数据的形式，在分析问题寻找规律时经常出现. 其中根据 v，s 所表示的实际意义可知，它们是正数. 行程问题中的注意事项： 归纳 1. 注意关键词“提速”与“提速到”的区别； 2. 把两个“主人公”行程问题中的三个量用代数式表示出来； 3. 行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程. 练习 某地发生雪灾，一些电线被雪压断，供电局的维修队要到 30 km 远的郊区进行抢修，维修人员骑摩托车先行，15 min 后抢修车装载着所需材料出发，结果两车同时到达抢修点，已知抢修车的速度是摩托车速度的 1.5 倍，求这两种车的速度. 路程/km 速度/(km/h) 时间/h 摩托车 抢修车 摩托车先行，15 min 后抢修车出发，两车同时到达 设摩托车的速度为 x km/h 30 30 x 1.5x 到 30 km 远的郊区进行抢修 抢修车的速度是摩托车速度的 1.5 倍 摩托车行驶时间 = 抢修车行驶时间 + 15 min 解：设摩托车的速度为 x km/h，则抢修车的速度为 1.5x km/h. 方程两边乘 60x，得 解得 x = 40. 检验：当 x = 40 时，60x ≠ 0. 所以，原分式方程的解为 x = 40. 答：摩托车的速度为 40 km/h，抢修车的速度为 60 km/h. 1800 = 1200 + 15x. 根据题意，得 所以 1.5x = 60. 某自行车行经营的某款自行车去年销售总额为8万元，今年该款自行车每辆售价预计比去年降低 200 元. 若该款自行车的销售数量与去年相同，则今年的销售总额将比去年减少 10%. 去年该款自行车每辆售价为多少元？ 探究3 销售问题 设去年该款自行车每辆售价为 x 元 售价/元 销量/辆 销售额/元 去年 今年 今年的销售总额将比去年减少 10% 80000 80000×(1 – 10%) x x – 200 去年销售总额为 8 万元 今年该款自行车每辆售价预计比去年降低 200 元 该款自行车的销售数量与去年相同 等量关系 解：设去年该款自行车每辆售价为 x 元，则今年该款自行车每辆售价为 (x – 200) 元. 方程两边乘 x(x – 200)，得 解得 x = 2000. 检验：当 x = 2000 时， x(x – 200) ≠ 0. 所以，原分式方程的解为 x = 2000. 答：去年该款自行车每辆售价为 2000 元. 80000(x – 200) = 80000x(1 – 10%). 根据题意，得 销售问题中的基本关系： 归纳 利润 = 售价 – 进价 利润 = 进价 × 利润率 销售额 = 销售量 × 单价 1. 甲、乙两人同时从 A 地出发，骑自行车行驶 30 km到 B 地，甲比乙每小时少骑 3 km，结果乙早到 40 分钟. 若设乙每小时走 x km，则可列方程（ ） A. B. C. D. D 随堂练习 2. 甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则 a 小时后相遇；若同向而行，则 b 小时后甲追上乙. 那么甲的速度是乙的速度的 ______倍. 3. 八年级学生去距学校 30 km 的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了 5 min，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达. 已知中巴的平均速度是大巴平均速度的 1.2 倍，求大巴的平均速度. 【教材P168练习 第1题】 解：设大巴的平均速度是 x km/h，则中巴的平均速度是 1.2x km/h. 由题意，得 . 方程两边乘 60x，得 1800 – 5x = 1500 解得 x = 60. 检验：当 x = 60 时，60x ≠ 0. 所以 x = 60 是原方程的解. 答：大巴的平均速度为 60 km/h. 4. 甲、乙二人做某种机械零件. 已知甲每小时比乙多做 6 个，甲做 90 个所用的时间与乙做 60 个所用的时间相等. 求甲、乙每小时各做零件多少个. 【教材P168练习 第2题】 解：设乙每小时做 x 个零件，则甲每小时做 (x + 6) 个零件. 由题意，得 . 方程两边乘 x(x + 6)，得 90x = 60(x + 6) 解得 x = 12. 检验：当 x = 12 时， x(x + 6) ≠ 0. 所以 x = 12 是原方程的解. 所以 x + 6 = 18. 答：甲每小时做 18 个零件，乙每小时做 12 个零件. 列分式方程解决实际问题的一般步骤： 课堂小结 ①审 ②找 ③设 ④列 ⑤解 ⑥验 ⑦答 审已知和未知 找等量关系 设未知数 列方程 解方程 验证是否符合实际意义 作答 验证是否为分式方程的解 $$