21.3实际问题与一元二次方程同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.3实际问题与一元二次方程 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．某渔具店销售一种鱼饵，每包成本价为10元，经市场调研发现：售价为20元时，每天可销售40包，售价每上涨1元，销量将减少3包．如果想获利480元，设这种鱼饵的售价上涨x元，根据题意可列方程为（    ）． A． B． C． D． 2．某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加，这两年平均每年绿地面积的增长率是（  ） A． B． C． D． 3．某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：．若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？经过计算，你的结论是：长比宽多(   ) A．12步 B．24步． C．36步 D．48步 5．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（    ） A． B． C． D． 6．从正方形的铁片上截去宽的一条长方形，余下面积是，设原来正方形边长为，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹！某贫困村从2018年开始大力发展乡村民宿旅游产业，据统计，该村2018年乡村民宿旅游收入约为2000万元，2020年该村乡村民宿旅游收入达到3380万元，则该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为（    ） A．20% B．25% C．30% D．35% 8．某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 9．某工厂一月份生产机器100台，计划二、三月份共生产机器240台，设二、三月份的平均增长率为x，则根据题意列出方程是（　　） A．100（1+x）2=240 B．100（1+x）+100（1+x）2=240 C．100+100（1+x）+100（1+x）2=240 D．100（1﹣x）2=240 10．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（　　） A．7m B．8m C．9m D．10m 11．九（1）班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，则九（1）班的人数是（　　） A．39 B．40 C．50 D．60 12．两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（    ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 二、填空题 13．如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为，则道路的宽为 ． 14．近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎流感．现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有人感染，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 ． 15．如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，若此长方形以2cm/s的速度沿着A→D方向移动，经过 秒平移后的长方形与原来长方形重叠部分的面积为24cm2． 16．某企业的年产值三年内从1000万元增加到1331万元，如果这三年中每年的增长率相同，在求这三年中每年的增长率时，如果设这三年中每年的增长率为x，那么可以列出的方程是 ． 17．某超市销售一种水果，若每千克盈利10元，则每天可销售500千克经市场调查，若每千克涨价1元，日销售量减少20千克，现超市要保证每天盈利6000元．设每千克涨价x元，可列方程为 ． 三、解答题 18．某餐馆推出特色小吃，推出了“堂食”和“外卖”两种销售方式．当特色小吃以“外卖”方式售出时，餐馆需额外支付网络平台服务费，服务费为“外卖”销售额的20%．（注：收入＝销售额﹣服务费）根据以上信息，解决下列问题： （1）10月份，该餐馆需额外支付的服务费为 　 　元，该月收入为 　 　元； （2）经调研，该餐馆在10月份“堂食”600份销量的基础上，“堂食”价格每提高1元，“堂食”的销量就减少5份，但提高后的价格不能超过30元/份；“外卖”价格始终保持不变．该餐馆计划11月份只做800份特色小吃，预计全部售完．问“堂食”如何定价，11月份的收入是10760元？ 19．教育局召开中学校长控流会，到会的所有校长两两握手共握了300次，同学们你能算出参会校长有多少人吗？ 20．如图，一条水渠的断面为梯形，已知断面的面积为，上口比渠底宽，渠深比渠底少，求渠深． 21．一桶油漆可刷的面积为，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 22．广饶牛奶草莓远近闻名，果农小李将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售．为了优惠广大顾客，小李将对价格进行两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售． (1)如果每次价格下调的百分率相同，求小李每次价格下调的百分率； (2)王明准备到小李处购买3吨该草莓，因数量多，小李准备再给予两种优惠方案供选择： 方案一：打九折销售； 方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问王明选择哪种方案最优惠？请说明理由． 23．2025年6月26日−28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）． 24．某种进价为100元的服装，当售价为130元时，每天可售出70件，每涨价1元，日销量就减少5件，若设每件涨价元． (1)根据题意，填表： 每件盈利（元） 销售量（件） 每天盈利（元） 涨价前 30 70 ___________ 涨价后 ___________ ___________ / (2)由于所剩服装不多，商家决定涨价，但仍希望每天盈利1815元，则每件应涨价多少元？ 《21.3实际问题与一元二次方程》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A A A C C A B A 题号 11 12 答案 B D 1．C 【分析】设这种鱼饵的售价上涨x元，则每包的销售利润为（20+x﹣10）元，每天可销售（40﹣3x）包，利用每天的销售利润＝每包的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设这种鱼饵的售价上涨x元，则每包的销售利润为（20+x﹣10）元，每天可销售（40﹣3x）包， 依题意得：（20+x﹣10）（40﹣3x）＝480． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，列代数式，找准等量关系每天的销售利润＝每包的销售利润×每天的销售量，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．A 【分析】可设这两年平均每年的增长率为x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加44%，则有（1+x）2=1+44%，解这个方程即可求出答案． 【详解】设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得， （1+x）2=1+44%， 解得x1=-2.2（舍去），x2=0.2． 答：这两年平均每年绿地面积的增长率为20%． 故选A． 【点睛】本题考查了增长率的问题，一般公式为：原来的量×（1±x）2=现在的量，增长用+，减少用-．但要注意解的取舍，及每一次增长的基础． 3．A 【分析】一天的利润（售价进价）销售量，把相关数值代入即可． 【详解】解：每件商品的利润为元，可售出件， 根据每天的利润为200元可列的方程为， 故选：A． 【点睛】本题考查列一元二次方程；得到一天的利润的等量关系是解决本题的关键． 4．A 【分析】设矩形田地的长为x步（x＞30），则宽为（60-x）步，由矩形的面积=长×宽，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其代入x-（60-x）中，即可求出结论． 【详解】设矩形田地的长为步，则宽为步， 根据题意得，， 整理得，， 解得或(舍去)， 所以． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及矩形的面积，根据矩形的面积公式，列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 5．A 【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1-x），第二次后的价格是168（1-x）2，据此即可列方程求解． 【详解】解：设每次降价的百分率为x，根据题意得： 168（1-x）2=108． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可． 6．C 【分析】可设正方形的边长是xcm，根据“余下的面积是48cm2”，余下的图形是一个矩形，矩形的长是正方形的边长，宽是x-2，根据矩形的面积公式即可列出方程． 【详解】解：设正方形的边长是xcm，根据题意得x（x-2）=48， 故选：C． 【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．解题过程中要注意根据实际意义进行值的取舍． 7．C 【分析】设该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率为x，根据2018年到2020年得年收入可列得一元二次方程，根据实际情况可求得答案． 【详解】解：设该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率为x， 由题意得：，即， 解得，（舍去）， 答：该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率为30%， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用—平均增长率问题，根据题意列出一元二次方程，并根据实际情况取解是解题的关键． 8．A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用比赛的总场数七年级班级数七年级班级数，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：依题意得：． 故选：A． 9．B 【分析】设二、三月份的平均增长率为x，则二月份的生产量为100×（1+x），三月份的生产量为100×（1+x）（1+x），根据二月份的生产量+三月份的生产量=240台，列出方程即可． 【详解】设二、三月份的平均增长率为x，则二月份的生产量为100×（1+x），三月份的生产量为100×（1+x）（1+x）， 根据题意，得100（1+x）+100（1+x）2=240． 故选B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，设出未知数，正确找出等量关系是解决问题的关键． 10．A 【详解】试题解析：本题主要考查一元二次方程，设原正方形空地的边长为 m，则剩余的面积可以表示为 ，即，解得 （不符合题意）.所以原正方形的边长为7 m，故选A. 11．B 【详解】设九（1）班共有x人，根据题意得： x（x-1）=780， 解得x1=40，x2=-39（舍去）， 即九（1）班共有40名学生， 故选B． 12．D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设这两个奇数分别为，由题意得方程，求得n的值，即可求得这两个奇数的和． 【详解】解：设这两个奇数分别为， 由题意得：， 即， 解得：， 而， 故两个奇数和为：或28； 故选：D． 13．1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设道路的宽为，则剩余空地可合成长为，宽为的矩形，根据种植花苗的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设道路的宽为，则剩余空地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴道路的宽为． 故答案为：1． 14．12 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有人被传染，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数是12人， 故答案为：12． 15．3 【分析】先用时间表示重叠部分矩形的长度，以长方形面积公式作为等量关系列关于x的方程求解即可. 【详解】解：设经过x秒平移后的长方形与原来长方形重叠部分的面积为24cm2，根据题意得 6（10-2x）=24 解得，x=3， 即经过3秒平移后的长方形与原来长方形重叠部分的面积为24cm2. 故答案为3 【点睛】本题考查了平移的性质和一元一次方程的应用，运用方程思想求解是解答此题的关键. 16．1000（1+x）2=1331 【详解】由于某企业的年产值三年内从1000万元增加到1331万元，如果这三年中每年的增长率相同，在求这三年中每年的增长率时设这三年中每年的增长率为x，那么第二年变为1000（1+x），然后依此类推即可列出方程． 解：∵企业的年产值三年内从1000万元增加到1331万元，这三年中每年的增长率相同， ∴设这三年中每年的增长率为x，那么可以列出的方程是 1000（1+x）2=1331． 17．(10+x)(500-20x)=6000/(500-20x)(10+x)=6000 【分析】设每千克水果涨了x元，那么就少卖了20x千克，能够卖出(500-20x)千克，根据公式“总利润6000元=单个商品利润×数量”可列方程． 【详解】解：设每千克水果涨了x元，那么就少卖了20x千克，能够卖出(500-20x)千克， 1千克的利润为：(10+x)元， ∴列出方程为：(10+x)(500-20x)=6000， 故答案为：(10+x)(500-20x)=6000． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识及理解题意的能力，熟记公式：单个商品的利润=售价-成本，总商品的利润=单个商品的利润×数量． 18．（1）900；9600；（2）14元 【分析】（1）根据“服务费为“外卖”销售额的20%”和收入＝销售额﹣服务费进行计算； （2）设11月份“堂食”价格提高x元，则11月份的“堂食”的价格为（10+x）元，销量为（600﹣5x）份，根据“11月份的收入是10760元”列出方程并解答． 【详解】解：（1）根据题意，得 300×15×20%＝900（元）． （600×10+300×15）﹣900＝9600（元）． 故答案是：900；9600； （2）设11月份“堂食”价格提高x元，则11月份的“堂食”的价格为（10+x）元，销量为（600﹣5x）份， 由题意知：（600﹣5x）（10+x）+15×[800﹣（600﹣5x）]＝10760． 整理，得x2﹣122x+472＝0． 解得x1＝4，x2＝118． ∵x2＝118＞30， ∴不合题意，舍去． ∴10+x＝14． 答：“堂食”价格定为14元时，11月份的收入是10760元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找准等量关系列出方程是解本题的关键． 19．25人 【分析】设这次参会的校长有人，则每人应握次手，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设这次参会的校长有人，则每人应握次手， 由题意得：， 即：， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：这次参会的校长有25人． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． 20． 【分析】设渠深是，根据梯形面积公式列出方程，求解即可． 【详解】解：设渠深是， 根据题意，得， 解得：，（舍）， 答：渠深为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据梯形面积公式列出方程是解本题的关键． 21．盒子的棱长为． 【分析】设其中一个盒子的棱长为，则这个盒子的表面积为．根据一桶油漆可刷的面积，列出方程，然后求解即可． 【详解】解：设其中一个盒子的棱长为，则这个盒子的表面积为．根据一桶油漆可刷的面积，列出方程： ① 整理，得， 解得， 即（不符合题意，舍去）． 答：盒子的棱长为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 22．(1)20% (2)方案一，理由见解析 【分析】（1）设小李每次价格下调的百分率为x，利用经过两次下调价格后的价格＝原价×（1﹣每次价格下调的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）王明选择方案一购买更优惠，利用总价＝单价×数量，结合两种优惠方案的优惠政策，即可分别求出选择两方案所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）设小李每次价格下调的百分率为x， 依题意得：15（1﹣x）2＝9.6， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）． 答：小李每次价格下调的百分率为20%． （2）王明选择方案一购买更优惠，理由如下： 选择方案一所需费用为9.6×0.9×3000＝25920（元）； 选择方案二所需费用为9.6×3000﹣400×3＝27600（元）． ∵25920＜27600， ∴王明选择方案一购买更优惠． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．5 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解日历表的中数与数的关系，正确列式求解是关键． 设这个最小数为，则最大数为，由此列方程求解即可． 【详解】解：设这个最小数为，则最大数为， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：这个最小数为5． 24．(1)见解析 (2)3元 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，理解题意正确列出代数式和方程是解题的关键． （1）根据题意用代数式填表即可； （2）设每件应涨价元，结合（1）中的表格，再根据题意列出方程，解出的值即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，填表如下： 每件盈利（元） 销售量（件） 每天盈利（元） 涨价前 30 70 2100 涨价后 / （2）解：设每件应涨价元， 由题意得，， 解得：，（舍去）， 答：每件应涨价3元． 学科网（北京）股份有限公司 $$