18 .1.2分式的基本性质第1课时分数的基本性质　课件　 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

18.1.2 分式的基本性质 R·八年级上册 第1课时 分数的基本性质 探究新知 类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？ 下列分式的变形成立吗？ 其中 A，B，C (C ≠0) 是整式. 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变. 文字语言 符号语言 分式的基本性质： 解：（1）分式 的分子与分母乘同一个不等于 0 的整式 c，分式的值不变，即 例2 下列等式，从左到右是如何运用分式的基本性质变形的？ ×c ×c （2）分式 的分子与分母除以同一个不等于 0 的整式 x，分式的值不变，即 ÷x ÷x 练习 下列从左到右的变形一定正确的是（ ） × ×，c可能为0 √ × 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变． 乘（或除以） 不等于 0 同一个 C 例3 填空： ÷x2 分母如何变化，分子也应做同样的变化 x ÷3x 2x 解：（1）因为 所以括号中应填 x . （2）因为 所以括号中应填 2x . ×a a ×b 2ab – b2 （3）因为 所以括号中应填 a . （4）因为 所以括号中应填 2ab – b2 . 分子分母同时进行； 分子、分母只能同乘或同除，不能进行同加或同减； 分子、分母同乘或同除以同一个整式； 除式是不等于零的整式. 运用分式的基本性质的注意事项： 方法 练习 1. 填空： ÷x 9y ÷3xy 3y ×(x + y) 10a2b ×5a x2 – y2 2. 不改变分式的值，把下列各式中分子与分母的各项系数化为整数： 随堂练习 1. 若把分式 中的 x 和 y 都扩大为原来的 5 倍，则分式的值（ ） 扩大为原来的 5 倍 不变 缩小为原来的 扩大为原来的 25 倍 A 2. 等式 成立的条件是_________. a ≠ ±1 a + 1 ≠ 0，a – 1 ≠ 0 解：（1）分式 的分子与分母乘同一个不等于 0 的整式 x，分式的值不变，即： 3. 下列等式，从左到右是如何运用分式的基本性质变形的？ ×x ×x 【教材P141练习 第1题】 （2）分式 的分子与分母除以同一个不等于 0 的整式 x – y ，分式的值不变，即： ÷(x – y) ÷(x – y) 4. 填空： ÷a b ÷b a + 1 ×2y xy ×x 2y 【教材P141练习 第2题】 5. 不改变分式的值，把下列各式中分子与分母的各项系数化为整数： 【教材P142练习 第3题】 课堂小结 其中 A，B，C (C ≠ 0) 是整式. 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变. 文字语言 符号语言 分式的基本性质： 课堂小结 分式的 基本性质 内容 注意 (1) 分子分母同时进行 (2) 分子分母只能同乘或同除，不能进行同加或同减 (3) 分子分母只能同乘或同除以同一个非零的数或式 其中 A，B，C (C ≠ 0) 是整式 1. 把下列分数化为最简分数或整数： = ( )， = ( ) ， = ( ) ； 复习导入 2 2. 因式分解：(1) x2 + xy = ________； (2) 4m2 – n2 = _______________. 3. 填空： x(x + y) (2m + n)(2m – n) 12a2bc2 2x 探究新知 知识点1 分式的约分、最简分式 想一想：分数约分关键的是什么？ 约去分子分母的最大公因数 约去分子分母的最大公因式 联想分数的约分，由前面的练习，你能想出如何对分式进行约分吗？ 思 考 像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分. ÷x2 ÷3x 分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式．　 例4 约分： 分析： 当分子、分母都是单项式时，先看系数； –25 15 5 再找相同字母的最低次幂. a bc ab c abc 当分子或分母中有系数为小数或分数时，需先化为整数； 没有公因式，是最简分式 分式的约分，一般要约去分子和分母的所有的公因式，使所得结果成为最简分式或整式. 分析： 当分子或分母是多项式时，先分解因式； 再找公因式. x + 3 x + 3 x – y x – y 2 3 3 约分的步骤： 若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂； 1 2 若分子或分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式. 注意： （1）约分前后分式的值要相等； （2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式； （3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式. 归纳 练习 约分： 知识点2 分式的通分 想一想：分数通分的关键是什么？ 确定分母的最小公倍数 找最简公分母 分数的通分：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值. 12 联想分数的通分，由下面的式子，你能想出如何对分式进行通分吗？ 思 考 像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分. 一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,它叫作最简公分母. 通分的步骤 确定各分式的最简公分母. 1 3 用所得的商去乘原各分式的分子、分母 2 用这个最简公分母除以各分式的分母. 通分的依据 分式的基本性质 方法 例5 通分： 最简公分母： 当各分母是单项式时， 整数系数的最小公倍数 2 3 相同字母的最高次幂 a2 b2 单独出现的字母(连同其指数) c × × 6 a2b2 c 用最简公分母除以各分式的分母： 1 2 (6a2b2c)÷(2a2b) = _____ (6a2b2c)÷(3ab2c) = ____ 3bc 2a 先分解因式： 当各分母中有多项式时， 再按单项式的方法求最简公分母： 2(x + 5)(x – 5) 练习 1. 通分： 解：（1）最简公分母是 (n + 2)(n – 2). （2）最简公分母是 3(x – y)2 . 约分 通分 分数 找分子与分母的 _____________ 找所有分母的 ____________ 分式 找分子与分母的 _____________ 找所有分母的 ____________ 依据 分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？ 思 考 最大公因数 最小公倍数 公因式 最简公分母 分数/分式的基本性质 随堂练习 1. 将分式 通分时，需要将分式 的分子与分母同时乘______，将分式 的分子与分母同时乘______. 4xy 3z 2. 当 x = – 2 时，分式 的值是________. – 15 当 x = – 2 时，原式 = = – 15 3. 约分： 【教材P144练习 第1题】 4. 通分： 【教材P144练习 第2题】 解：(1) 最简公分母是 abc . (2) 最简公分母是 4b2d . (3) 最简公分母是 ab(x + 2) . (4) 最简公分母是 (x + y)2(x – y) . 5. 已知 (m + 5)2 与 |7 – n| 互为相反数，则分式 的值为 ________. 当 m = – 5，n = 7 时，原式 (m + 5)2 + |7 – n| = 0 m + 5 = 0，7 – n = 0 m = – 5，n = 7 6. 已知 ，求 的值. 则 x = 2k，y = 3k，z = 4k . $$