第6章 几何图形初步 专题二 “双角平分线”模型 讲义 2025--2026学年人教版七年级数学上册

初中数学几何模型研究大讲堂（修正版） 专题二：双角平分线模型 2-1 角中的双角平分线模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) AD为∠BAC内一条射线，AE、AF分别平分∠BAD，∠CAD. （双角平分线和型） 1.. AD为∠AOB内一条射线，AE、AF分别平分∠BAD，∠BAC. （双角平分线差型） 1.. AD为∠BAC外一条射线，AE、AF分别平分∠BAD，∠CAD. （双角 平分线周角型） 1.. 点O在直线上，平分，平分. （双角平分线邻补角型） 1.=90°. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 根据“双角平分线”模型角度 求角 1.在选择题或填空题或解答题中考查. 角平分线的定义 PART 2——模型思路. 这是一种常考的模型，难度有所提升，学生必须要掌握该模型，还是注意一定要学会推模型结论，看懂证明过程，学会逆向思维，可结合前面的双中点模型类比学习，特别注意要能够举一反三，答好七年级上学期压轴题. PART 3——模型练习. 1.（2025·山东烟台期中）如图，已知平分平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2.（2024·湖南长郡中学月考）如图，O是直线上一点，过O作任意射线，平分，平分，则的度数是（    ）    A． B． C． D．不能确定 3.（2024·江苏南京）如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ． 4.（2024·广东清远期中）如图，已知，，平分，平分，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5.（2025·江苏南京期末）如图，是内的一条射线，、分别平分、，若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6.（2025·四川泸州校级期末）如图，是平角，是射线，平分，平分，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 7.（2024·四川绵阳校级月考节选）如图，O是直线上一点，为一条射线，平分，平分．若，求． 8.（2023·天津南开期末）如图所示，平分，平分，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9.（2023·广东佛山期末）在同一平面内已知，，、分别是和的平分线，则的度数是 ． 10.（2023·海南临高期末）已知，在同一平面内，∠AOB=30°，射线OC在∠AOB的外部，OD平分∠AOC,若∠BOD=40°，则∠AOC的度数为_______. 11.（2023·陕西汉中期末）已知OC为一条射线，OM平分，ON平分． （1）如图1，当，OC为内部任意一条射线时， ； （2）如图2，当，OC旋转到的外部时， ； （3）如图3，当，OC旋转到（）的外部时，求，请借助图3填空． 解：因为OM平分，ON平分 所以（依据是 ） 所以 ． 12.（2025·四川广安期末）如图，为直线上一点，为直角，平分平分平分．有以下结论：①与互余；②；③与互补；④．其中结论正确的是（    ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 13.（2023·广东深圳校级入学）如图，绕点O逆时针在的内部旋转，其中平分平分，在从与重合时开始到与重合为止，以每秒的速度旋转过程中，下列结论： （1）射线的旋转速度为每秒；（2）当时间为15秒；（3）的大小为；（4）在整个过程中在内部持续时长为45秒． 其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 14.（2023·重庆秀山期末）已知，与互为余角，与互为补角，平分，平分， (1)如图，当时，求的度数； (2)请你补全图形，并求的度数． 15.（2024·湖北武汉校级月考）如图1，A、O、B三点在一条直线上，且，射线、分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点O逆时针旋转，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为t秒． (1)运动开始前，如图1，______，______； (2)旋转过程中，当t为何值时，射线平分？ (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出t的值为______． 【变式1】（2024·重庆南岸期末）如图，，是内任意一条射线，，分别平分，，下列结论错误的是（    ）. A． B． C． D． 【变式2】（2025·北京昌平校级月考）根据题意，补全解题过程：如图，已知射线，，在内部，平分，平分．若，，求的度数． 解：∵平分， ∴______．（理由：___________） ∵， ∴______ ∵______，， ∴______ ∵平分， ∴______＝______． 【变式3】（2023·湖南雅礼中学期末）补全推导过程，如图，已知，平分，平分，求的度数． 解：∵， ∴__________°， ∵平分， ∴________________°， ∵平分， ∴________________°， ∴________________________°． 【变式4】（2025·安徽马鞍山校级期末）如图，已知，射线在的内部，射线平分，射线平分    (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【变式5】（2025·山东淄博校级期中）如图，已知，，平分，平分，求和的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初中数学几何模型研究大讲堂（修正版） 专题二：双角平分线模型 2-1 角中的双角平分线模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) AD为∠BAC内一条射线，AE、AF分别平分∠BAD，∠CAD. （双角平分线和型） 1.. AD为∠AOB内一条射线，AE、AF分别平分∠BAD，∠BAC. （双角平分线差型） 1.. AD为∠BAC外一条射线，AE、AF分别平分∠BAD，∠CAD. （双角 平分线周角型） 1.. 点O在直线上，平分，平分. （双角平分线邻补角型） 1.=90°. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 根据“双角平分线”模型角度 求角 1.在选择题或填空题或解答题中考查. 角平分线的定义 PART 2——模型思路. 这是一种常考的模型，难度有所提升，学生必须要掌握该模型，还是注意一定要学会推模型结论，看懂证明过程，学会逆向思维，可结合前面的双中点模型类比学习，特别注意要能够举一反三，答好七年级上学期压轴题. PART 5——模型解析. 1.（2025·山东烟台期中）如图，已知平分平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差和角平分线的意义，熟练掌握知识点是解题的关键．先由角的和差求出，再根据角平分线的意义得出，最后根据求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， 故选：D． 2.（2024·湖南长郡中学月考）如图，O是直线上一点，过O作任意射线，平分，平分，则的度数是（    ）    A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义进行求解是解决本题的关键．根据角平分线的定义得出，，再根据平角定义求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， 又 ∴． 故选：B． 3.（2024·江苏南京）如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，先求解，可得，可得，可得，再进一步结合角的和差运算可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ， ∴； 故答案为： 4.（2024·广东清远期中）如图，已知，，平分，平分，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了基本几何图形中的角度计算，角平分线的含义，掌握角度的运算法则是解题的关键．根据题意计算出，，的度数，再根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵平分，平分， ∴ ∴， 故答案为：B． 5.（2025·江苏南京期末）如图，是内的一条射线，、分别平分、，若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线定义得出∠DOA=∠AOB，∠EOA=∠AOC，求出∠DOE=∠DOA-∠EOA=∠BOC，代入求出即可． 【详解】解：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，∠AOC=m°，∠BOC=n°， ∴∠DOA=∠AOB，∠EOA=∠AOC， ∴∠DOE=∠DOA-∠EOA=∠AOB-∠AOC=（∠AOB-∠AOC）=∠BOC=， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，主要考查学生的推理能力，数形结合思想的运用． 6.（2025·四川泸州校级期末）如图，是平角，是射线，平分，平分，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算问题，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握角平分线的有关计算是解题的关键． 由平分，可得，进而可得，由平分可得，据此即可求出的度数． 【详解】解：平分，， ， ， 平分， ， 故选：． 7.（2024·四川绵阳校级月考节选）如图，O是直线上一点，为一条射线，平分，平分．若，求． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据角平分线的定义及互为补角的和等于，即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． 8.（2023·天津南开期末）如图所示，平分，平分，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由∠MON−∠BOC求出∠CON＋∠BOM的度数，根据OM，ON分别为角平分线，得到两对角相等，进而确定出∠COD＋∠AOB度数，根据∠COD＋∠BOC＋∠AOB即可求出∠AOD的度数． 【详解】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD， ∴∠CON＝∠DON，∠BOM＝∠AOM， ∵∠CON＋∠BOM＝∠MON−∠BOC＝（m−n）°， ∴∠COD＋∠AOB＝2（∠CON＋∠BOM）＝2（m−n）°， 则∠AOD＝∠COD＋∠AOB＋∠BOC＝（2m−2n＋n）°＝（2m−n）°． 故选C． 【点睛】此题考查了角平分线定义，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键． 9. （2023·广东佛山期末）在同一平面内已知，，、分别是和的平分线，则的度数是 ． 【答案】30°或50° 【分析】根据题意，画出图形，分两种情况讨论：∠BOC在∠AOB内部和外部，求出∠MOB和∠BON，即可求出答案. 【详解】解：∠BOC在∠AOB内部时， ∵∠AOB=80°，其角平分线为OM， ∴∠MOB=40°， ∵∠BOC=20°，其角平分线为ON， ∴∠BON=10°， ∴∠MON=∠MOB-∠BON=40°-10°=30°； ∠BOC在∠AOB外部时， ∵∠AOB=80°，其角平分线为OM， ∴∠MOB=40°， ∵∠BOC=20°，其角平分线为ON， ∴∠BON=10°， ∴∠MON=∠MOB+∠BON=40°+10°=50°， 故答案为30°或50°. 【点睛】本题主要考查角平分线的计算，知道∠BOC在∠AOB内部和外部两种情况是解题的关键. 10. （2023·海南临高期末）已知，在同一平面内，∠AOB=30°，射线OC在∠AOB的外部，OD平分∠AOC,若∠BOD=40°，则∠AOC的度数为_______. 【答案】或 【分析】根据“射线OC在的外部”得：OC与的位置关系有如图（见解析）所示的2种，先求出的度数，再根据角平分线的定义即可得. 【详解】如图，由题意知OC与的位置关系有如下所示的2种： （1）如图1， 又平分 （2）如图2， 又平分 故答案为：或. 11.（2023·陕西汉中期末）已知OC为一条射线，OM平分，ON平分． （1）如图1，当，OC为内部任意一条射线时， ； （2）如图2，当，OC旋转到的外部时， ； （3）如图3，当，OC旋转到（）的外部时，求，请借助图3填空． 解：因为OM平分，ON平分 所以（依据是 ） 所以 ． 【答案】 30° 30° 角平分线定义 ∠CON 【分析】对于（1），根据角平分线定义得，，再结合，可得答案； 对于（2），仿照（1），根据求解； 对于（3），仿照（2）解答即可． 【详解】（1）因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， 所以，， 所以． 故答案为：30°． （2）因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， 所以，， 所以． 故答案为：30°． （3）因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， 所以，（依据的角平分线定义）， 所以． 故答案为：角平分线定义，∠CON，，． 【点睛】本题主要考查了角的和差的计算，角平分线定义，掌握角平分线定义是解题的关键． 12.（2025·四川广安期末）如图，为直线上一点，为直角，平分平分平分．有以下结论：①与互余；②；③与互补；④．其中结论正确的是（    ） A． ②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查余角和补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据角平分线的定义，互为余角，互为补角的定义逐个进行判断，最后得出答案做出选择． 【详解】解：∵平分平分平分， ， ， ， ∴，故①正确，②错误， ， ， ， ∴与互补，故③正确， ， ∴．故④正确． 故选：D． 13.（2023·广东深圳校级入学）如图，绕点O逆时针在的内部旋转，其中平分平分，在从与重合时开始到与重合为止，以每秒的速度旋转过程中，下列结论： （1）射线的旋转速度为每秒；（2）当时间为15秒；（3）的大小为；（4）在整个过程中在内部持续时长为45秒． 其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】（1）根据角平分线的意义来分析射线的速度；（2）先假定时间为15秒，然后来分析A、C的位置的变化情况；（3）根据角平分线的性质来求即可；（4）用除以2即可判断． 【详解】解：（1）∵以每秒的速度旋转， ∴角平分线的旋转速度为每秒， 故（1）是错误的； （2）设转了t秒，， 则， ， 当秒时，， 故（2）正确； （3）∵， 设，则， ∴； ∴，即， 故（3）是正确的； （4）∵秒， ∴在整个过程中在内部持续时长为45秒， 故（4）错误． ∴正确的是（2）（3）， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了角的计算和角平分线的定义，正确根据角平分线的性质得出是解题关键． 14.（2023·重庆秀山期末）已知，与互为余角，与互为补角，平分，平分， (1)如图，当时，求的度数； (2)请你补全图形，并求的度数． 【答案】(1) (2)补全图形见解析；的度数为或或 【分析】（1）根据求出，根据角平分线的定义求出即可； （2）根据，求出，，根据角平分线的定义求出，，分三种情况在外，在内，且，在内，且，分别画出图形，求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：当在外时，如图所示： ∵，与互为余角，与互为补角， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴ ； 当在内，且时，如图所示： ∵，与互为余角，与互为补角， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴ ； 当在内，且时，如图所示： ∵，与互为余角，与互为补角， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴ ； 综上分析可知，的度数为或或． 【点睛】本题主要考查了补角、余角的有关计算，角平分线的有关计算，解题的关键是数形结合，熟记余角、补角的定义，注意分类讨论． 15.（2024·湖北武汉校级月考）如图1，A、O、B三点在一条直线上，且，射线、分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点O逆时针旋转，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为t秒． (1)运动开始前，如图1，______，______； (2)旋转过程中，当t为何值时，射线平分？ (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出t的值为______． 【答案】(1)90，25 (2)当时，射线平分． (3)当或56时， 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、角平分线的定义、角的运算等知识点，根据角的关系列方程求解是解题的关键． （1）根据角平分线、平角的定义求解即可； （2）先用t表示出，，，，进而得到，然后根据角平分线的定义列方程求解即可． （3）分当在上方、下方以及停止运动后三种情况，分别根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵射线、分别平分和， ， ； ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：90，25． （2）解：如图2，将射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点O逆时针旋转，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为t秒． ∴，， ，， ∴， ∵平分， ∴，即， ∴，解得：． ∴当时，射线平分． （3）解：存在某一时刻使得，理由如下： ∵， ∴， ∵将以每秒的速度绕点O逆时针旋转，当射线与射线重合时，停止运动． ∴，即； ①当在上方，此时有：， 即：，解得：，符合题意； ②当在下方，此时有：， 即：，解得：，符合题意； ③当停止运动后，、重合，继续旋转，当旋转时，， ∴． 综上所述：当或56时，． 【变式1】（2024·重庆南岸期末）如图，，是内任意一条射线，，分别平分，，下列结论错误的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查角平分线的定义、互为余角的意义，根据角平分线的定义，互余的意义和等量代换，逐个结论进行判断即可得出答案． 【详解】解：∵，分别平分，， ∴， ∴， 即：，因此A正确，不符合题意； ，因此B正确，不符合题意； ∵， ∴，因此C正确，不符合题意； ∵是内任意一条射线， ∴ 不一定会等于，即 不一定会等于，因此D不正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（2025·北京昌平校级月考）根据题意，补全解题过程：如图，已知射线，，在内部，平分，平分．若，，求的度数． 解：∵平分， ∴______．（理由：___________） ∵， ∴______ ∵______，， ∴______ ∵平分， ∴______＝______． 【答案】；角平分线的定义；，，，， 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 利用角平分线的定义可得，从而利用角的和差关系可得，然后再利用角平分线的定义进行计算即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴（理由：角平分线的定义）， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：；角平分线的定义；，，，，. 【变式3】（2023·湖南雅礼中学期末）补全推导过程，如图，已知，平分，平分，求的度数． 解：∵， ∴__________°， ∵平分， ∴________________°， ∵平分， ∴________________°， ∴________________________°． 【答案】150，，75，，30，，，45 【分析】首先计算出的度数，再根据角平分线的性质可得，的度数，进而根据角的和差关系推出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ， ∵平分， ， ∴， 故答案为：150，，75，，30，，，45． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质以及有关角的计算，熟练利用角平分线的定义求出角的度数是解题的关键． 【变式4】（2025·安徽马鞍山校级期末）如图，已知，射线在的内部，射线平分，射线平分    (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角的计算，根据图形得出所求角与已知角的关系是解题的关键． （1）根据角平分线的概念得到，，然后整体求解即可； （2）首先得到，，然后根据与互余得到，求出，进而求解即可． 【详解】（1）∵射线平分，射线平分 ∴， ∴； （2）∵ ∴ ∵射线平分 ∴ ∵与互余 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【变式5】（2025·山东淄博校级期中）如图，已知，，平分，平分，求和的度数． 【答案】； 【分析】本题主要考查了角平分线的定义及角的计算，根据已知条件，平分，可得，再根据，由角平分线的定义可得，由即可得出答案． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$