高斯函数图像及性质与典型问题 讲义-2026届高三数学一轮复习

高斯函数图像及性质与典型问题 一、高斯函数及其性质 [x]表示不大于x的最大整数，如[3.9]=3，[0]=0，[-1.2]=-2，[6]=6 记{x}=x-[x]，如{3.9}=0.9，{0}=0，{-1.2}=0.8，{6}=0；将函数f(x)=[x] (x)叫做高斯函数，又称为取整函数。从定义出发，不难得到 [x]及{x}如下的一些性质: (1) 对x, x-1 <[x] ≤x<[x]+1； 特别地，[n]=n(nZ)。 (2)对x, 函数y={x}的值域为[0,1)；该结论可由(1)得到,特别地，{n}=0(nZ); (3) nZ,x,则有[x+n]=[x]+n, {x+n}={x}; 事实上，[x+n]=[([x]+n)+{x}]=[x]+n, {x+n}=x+n-[x+n]=x+n-[x]-n=x-[x]={x}; ∴函数y={x}是周期函数，最小正周期T=1. (4) x,y,则有[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1; 事实上，[x+y]=[([x]+{x})+([y]+{y}]=[([x]+[y])+({x}+{y})]=[x]+[y]+[{x}+{y}] ∵0≤{x}<1,0≤{y}<1,∴0≤{x}+{y}<2, ∴[{x}+{y}]的可能取值为0或1， 得[x+y]=[x]+[y]或[x]+[y]+1， 即[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1; (5) n N+,x,则有[nx]≥n[x]; [nx]≤n[x]+n-1； 事实上，由(4)得[x+y]≥[x]+[y]得 ≥ 即[nx]≥n[x]; (6) 函数f(x)=[x](x)是一个不减函数，即x1≤x2,则[x1]≤[x2]; 事实上，当x1 ，x2[n,n+1)时，则[x1]=[x2]=n； 当x1 [n,n+1)，x2≥n+1时，[x1]=n，[x2]≥n+1，则[x1]≤[x2]. 综上所述当x1≤x2时，则[x1]≤[x2]. (7) nN+x，则[1,x]内，恰好有[]个整数是n的倍数; 方法一、事实上， [] ≤ <[]+1, 即n[] ≤x<n([]+1)， ∴[1,x]内，不超过x且是n的倍数的所有整数为: []n ，([]-1)n，([]-2)n，……，n；共计[]个。 方法二、设[1,x]内，恰好有k个整数是n的倍数。 则这些整数为n,2n,3n,……，kn; x满足kn≤x<(k+1)n, ∴<k≤ ; 又 -1 <[] ≤ ，且（，]内的整数有且只有一个，∴k=[]； ∴[1,x]内，不超过x且是n的倍数的所有整数共计[]个。 (8) x,y , {x+y} ≤{x}+{y}; 事实上，{x+y} =x+y-[x+y] {x}+{y}=x-[x]+y-[y]=x+y-([x]+[y]) ∵[x]+[y]≤[x+y], ∴ {x+y} ≤{x}+{y}. (9) nN+,x,则有{nx}≤n{x}; 事实上，∵n N+,x,得[nx]≥n[x]; ∴nx-{nx}≥n(x-{x})=nx-n{x}, 即{nx}≤n{x}; (10) x,y，[xy]≥[x][y]; 由{x}{y}.，得x≥[x]>0, y≥[y]>0, xy≥[x][y]>0, ∴[xy]≥[x][y]。 备注： x,y，{xy}≤ {x} {y}不一定成立. 如取x=2.1,y=3.1,则xy=6.51，{xy}=0.51，{x}{y}=0.10.1=0.01， 此时{xy}>{x}{y}. 如取x=0.7,y=0.6,则xy=0.42，{xy}=0.42，{x}{y}=0.70.6=0.42， 此时{xy}={x}{y}. 如取x=5,y=6,则xy=30，{xy}=0，{x}{y}=00=0，此时{xy}={x}{y}. 如取x=y=1.9,则xy=3.61，{xy}=0.61，{x}{y}=0.90.9=0.81， 此时{xy}<{x}{y}. 2、 高斯函数及相关函数的图像 （1）函数f(x)=[x](xR)的图像 对函数f(x)=[x](xR)进行列表（nZ） x … [-3,-2) [-2,-1) [-1,0) [n,n+1) f(x) … -3 -2 -1 0 1 2 3 n 画出函数f(x)=[x](xR)的图像，如图。 （2）函数y={x}(xR)的图像 对函数y={x}(xR)进行列表（nZ） x … [-3,-2) [-2,-1) [-1,0) [n,n+1) y … x+3 x+2 x+1 x x-1 x-2 x-3 x-n 画出函数y={x}(xR)的图像，如图。 （3）函数h(x)=[x]+[2x](xR)的图像 先分析函数h(x)=[x]+[2x](x) h(x)= 由于h(x+1)=[x+1]+[2x+2]=[x]+1+[2x]+2=h(x)+3， 得出函数h(x)=[x]+[2x](xR)的图像，如图： （4）函数m(x)=[x]+[2x]+[3x](xR)的图像 先分析函数m(x)=[x]+[2x]+[3x](x) 由于m(x+1)=[x+1]+[2x+2]+[3x+3]=[x]+1+[2x]+2+[3x]+3=h(x)+6， 得出函数m(x)=[x]+[2x]+[3x](xR)的图像，如图： （5）函数f(x)={x}+{2x}(xR)的图像 函先分析数f(x)={x}+{2x}(x)的图像 f(x)= 事实上，时，{x}=x, 0≤2x<1,∴{2x}=2x, 得f(x)={x}+{2x}=x+2x=3x; 时，{x}=x,1≤2x<2,∴{2x}=2x-1, 得f(x)={x}+{2x}=x+2x-1=3x-1; 由于f(x+1)={x+}+{2x+2}={x}+{2x}=f(x),∴函数f(x)为周期函数，周期T=1， 从而得出函数f(x)={x}+{2x}(xR)的图像。 （6）函数g(x)={x}+{2x}+{3X}(xR)的图像 先分析g(x)={x}+{2x}+{3X}(x) ∵g(x+1)={x+1}+{2x+2}+{3x+3}={x}+{2x}+{3X}=g(x) ∴函数g(x)为周期函数，周期T=1。 得出函数g(x)={x}+{2x}+{3X}(xR)的图像，如图： （7） 函数y=[-x]（xR）的图像 可由函数y=[-x]（xR）与y=[x]（xR）的图像对称性得到，如图： （8） 函数y={-x}（xR）的图像 可由函数y={-x}（xR）与y={x}（xR）的图像对称性得到，如图： 三、高斯函数相关问题 1.已知函数 -m(x>0), 若函数有且只有3个零点，求实数m的取值范围。 解析: 方法一：由题意0得[x]=mx,即方程[x]=mx (x>0)有且只有3个实数根；令y=[x],则函数y=[x]的图像与直线y=mx (x>0)有且只有3个公共点，如图，得 即实数m的取值范围为（]。 方法二：由题意0得[x]=mx,∴x-{x}=mx,即方程{x}=（1-m)x (x>0)有且只有3个实数根；当m=1时，方程化为{x}=0，此方程有无穷多个解，不合要求，∴m≠1。 令y={x},则函数y={x}的图像与直线y=（1-m)x (x>0)有且只有3个公共点， ∴ 解得 即实数m的取值范围为（]。 2.已知方程-[x]=ax2-x+1有且只有2个实数根,求实数a的取值范围。 解析:由题意-[x]=ax2-x+1得x-[x]=ax2+1,∴方程{x}=ax2+1有且只有2个实数根；当a=0时，方程化为{x}=1，此方程没有实数根，不合要求， ∴a≠0。 令y={x},则函数y={x}的图像与抛物线y=ax2+1 有且只有2个公共点；当a>0时,两个图像没有公共点，不合要求，∴a<0。 当a=-1时，两个图像有3个公共点，不合要求； 以下为两个图像有且只有2个公共点时的两种情况，如图所示： （1） 当函数y={x}（x<0）的图像与抛物线y=ax2+1有且只有1公共点,并且函数y={x}（x≥0）的图像与抛物线y=ax2+1有且只有1公共点时, 如图（1）所示， 即函数y=x+1(x)的图像与抛物线y=ax2+1有且只有1个公共点(),函数y=x(x)的图像与抛物线y=ax2+1有且只有1个公共点,函数y=x-1(x)的图像与抛物线y=ax2+1没有公共点,∴-1<<0, 解得a<-1; （2）当函数y={x}（x<0）的图像与抛物线y=ax2+1没有公共点,并且函数y={x}（x≥0）的图像与抛物线y=ax2+1有且只有2公共点时,如图（2）所示， 针对抛物线y=ax2+1与函数y=x+2(x)的图像没有公共点时的情况，首先要得出抛物线y=ax2+1与直线y=x+2相切时实数a的值， 由 得ax2-x-1=0，由⊿=1+4a=0得a=- , 即当a=- 时抛物线y=ax2+1与直线y=x+2相切，切点恰为为（-2,0），当a<- 时抛物线y=ax2+1与直线y=x+2没有公共点； 因此由抛物线的对称性得， 解得-1<a< - ; 综上所述实数a的取值范围为. 3.求方程x +1实数解的个数。 解析:令t(t>0),则原方程化为lnt+1 ∴t-{t}=lnt+1, 即方程{t}=t-lnt-1(t>0)的实数解的个数就是原方程实数解的个数。 令f(t)={t}(t>0), g(t)=t-lnt-1(t>0), F(t)= g(t)-f(t)(t>0), ∵(t)=1-=, ∴当t时，(t)<0,g(t)单调递减，当t时，(t)>0,g(t)单调递增，当t=1时g(t)取得最小值g(1)=0；如图所示， 显然，函数f(t)={t}的图像与g(t)=t-lnt-1的图像在有且只有两个公共点； 当t时，f(t)=t-1,F(t)= g(t)-f(t)=t-lnt-1-(t-1)=-lnt<0, ∴F(t)没有零点； 当t时，f(t)=t-2,F(t)= g(t)-f(t)=t-lnt-1-(t-2)=1-lnt, F(2)=1-ln2>0, F(2.8)=1-ln2.8<0,∴F(t)在上存在唯一的零点,∵(t)= - <0, ∴F(t)在上单调递减，F(t)在上恒小于零，不存在零点 ∴F(t)在上有且只有一个零点； 当t时，f(t)=t-3, F(t)= g(t)-f(t)=t-lnt-1-(t-3)=2-lnt, ∵3≤t<4, ln3≤lnt<ln4, -ln4<-lnt≤-ln3, ∴0<2-ln4<F(t)=2-lnt≤2-ln3, ∴F(t)在上没有零点； ∵g(4)-1=4-ln4-1-1=2-ln4>0,∴g(4)>1；∵t>4时，函数 g(t)单调递增， ∴当t≥4时，g(t)≥g(4)>1,函数 g(t)的图像与函数f(t)的图像不再有公共点； 综上所述方程x +1实数解的个数为3. 4.求函数 的值域。 解析: 方法一：令=k,得方程{x}=kx(x≠0)有实数解, 即函数y={x}与函数y=kx(x≠0)的图像有公共点，如图所示，得到两个图像有公共点时的三种不同情况： K<0时，两个图像总有公共点；k=1时两个图像有完全重合的部分，有无数个公共点；0≤k<时两个图像有公共点； 而当k>1或≤k<1时，两个图像显然没有公共点。 综上所述k的取值范围为{k|k=1或k<},即函数 的值域为 {1}U(-)。 方法二： = =1- 当x<0时，{x}≥0,∴≤0； x时,=- , ==1- =1+,当x时，-； x时,==1， x时,=1- =1- <1- = , x时,=1- =1- <1- = , …… x时,=1- =1- <1- = >0, …… 综上所述函数 的值域为{1}U(-)。 方法三 = =1- 令1- =m,得方程[x]=(1-m)x(x≠0)有实数解,即函数y=[x]与函数y=(1-m)x(x≠0)的图像有公共点，如图所示，得到两个图像有公共点时的三种不同情况： 当1-m=0或1-m≥1或 <1-m<1时两个图像有公共点， 即m=1或0≤m<时两个图像有公共点; 综上所述函数 的值域为{1}U(-)。 5.已知a<0,若方程{x}+{2x}- =a(x-)(x≥0)有且只有2个实数根,求实数a的取值范围。 解析：由题意得，函数y={x}+{2x}与函数y=a(x-)+(x≥0)的图像有且只有2个公共点，如图所示， 得-1<a<0. 即实数a的取值范围为（-1,0）。 6.若关于x的方程2{x}=2+logax(a>0,a≠1)有且只有2个实数根，求实数a的取值范围。 解析：由题意得函数y=2{x}(x>0)与函数y=2+logax(x>0)的图像有且只有2个公共点，如图所示， 得2+loga2≥0且2+loga3<0,解得; 即实数a的取值范围为（,]。 7.解方程[x]+[2x]=6. 解: x为不大于0的数时不适合原方程；∵[2x]≥2[x], ∴3[x]≤6,得[x]≤2，∴[x]=1或2； 当[x]=1时，1≤x<2,2≤2x<4,得[2x]=2或3，[x]+[2x]≠6； 当[x]=2时，由原方程得[2x]=4，∴4≤2x<5,令x=2+（0≤<1）,则4≤2x=4+2<5, ∴0≤<, 即2≤<. 经验证2≤<是原方程的解， ∴原方程的解为2≤<。 8.求方程[5x+3]=4x+ 的所有解的和. 解:令t=5x+3,则x=,原方程化为[t]= + . ∴t-{t}= + ,即{t}=t+ ; 画出函数y={t}与y=t+的图像得方程{t}=t+有四个实数根，分别在(-4,-3),(-3,-2),(-2,-1),(-1,0)上； 当t(-4,-3)时,t-(-4)=t+ ,解得t=- , ∴x=- ; 当t(-3,-2)时,t-(-3)=t+ ,解得t=- , ∴x=- ; 当t(-2,-1)时,t-(-2)=t+ ,解得t=- , ∴x=- ; 当t(-1,0)时,t-(-1)=t+ ,解得t=- , ∴x=- ; ∴原方程的所有解的和为- - - - =-4. 9.已知函数,求函数的值域。 解析： = = =5 - + = - ； 由0<<5得<<, 即函数的值域为{0,1,2,3,4,5 }. 10.数列{}中，= ，=-+1， 求[ + +……+] 解析：由=-+1得 -1=(-1)，由=>1 ，得>1; ∴ = = - ， = - ， = - ， = - ， ………… = - ， ∴ = - （ + +……+）, 得 + +……+= - < = 2, + +……+> + = + = >1, ∴[ + +……+]=1. 11.数列{}满足=0，=，数列{}满足{}= （1）求,,的值，并证明数列{}是等比数列. （2）设,求数列{}的前2n项和。 解析：（1）=2=0，=+2=2，=2=4，=+2=6， ∴=+2=2，=+2=4，=+2=8； =+2=+4=2+4=2(+2)=2, ∴数列{}是公比为2的等比数列. （2） 由（1）得=,=[], n为偶数时， =, =[]=[] =[ ] =; ∴3==-1 ∴=； n为奇数时，=. =[]=[] =-+-+……+-] =-+-+……+-1， ∴3（+1）=-+-+……+3， 3（+1）-1=-+-+……+3-==, ∴=-1= ; 即= 。 数列{}的前2n项和 =+++……+=(++……+)+(++……+) =(++……+)+(++……+) = += 。 11. =; 求：[] 解析：由=（k; 得= == == =+ ] =+ ] =+ ）。 当n为偶数时 = + - - + + +……++ ) =+ ）= ; [] =[]=[]=[1+]=1; 当n为奇数时 = + - - + + +……- - ) =- ）=0; []=0; 综上所述[]的值为0，或1。 学科网（北京）股份有限公司 $$