15.3.1 等腰三角形 课时1 等腰三角形的性质 课件 2025—2026学年人教版八年级数学上册

第十五章 轴对称 15.3 等腰三角形 15.3.1 等腰三角形 课时1 等腰三角形的性质 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 等腰三角形的性质1 等边对等角 6. 课堂小结 3. 新课导入 5. 知识点2 等腰三角形的性质2 三线合一 7. 当堂小练 CONTENTS 8. 对接中考 9. 拓展与延伸 2. 知识回顾 1. 探索并掌握等腰三角形的性质，体会等腰三角形“三线合一”的意义. 2. 能够利用等腰三角形的性质解决实际问题. 学习目标 知识回顾 等腰三角形是 轴对称图形吗？ 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 有两边相等的三角形是等腰三角形. 等腰三角形的定义 新课导入 如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去红色部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点. A B C 剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC中AB=AC，所以△ABC是等腰三角形. 新课导入 剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？把剪出的等腰三角形ABC沿着折痕对折，找出其中重合的线段和角. 重合的线段：AB与AC，BD与CD； 重合的角：∠BAD与∠CAD， ∠B与∠C，∠ADB与∠ADC. A C B D 由得出的重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？试试说出你的猜想. 等腰三角形的两个底角相等.折痕AD既是∠BAC的平分线，又是底边BC的中线，也是底边BC的高. 在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，请试试折叠，此时猜想仍然成立吗？ 探究 新课讲解 知识点1 等腰三角形的性质1 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）. 等腰三角形性质1： 几何语言： 如图，在△ABC中， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. A B C 应用“等边对等角”的前提条件是在同一个三角形中，不在同一个三角形中不能使用. 注意 新课讲解 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.求证： ∠B= ∠C. 证明：如图，作底边BC的中线AD， 则BD=CD. 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD (SSS). ∴∠B= ∠C. AB=AC ， BD=CD ， AD=AD ， A B C D 新课讲解 1. 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，BD=BC=AD. 求△ABC各角的度数. 解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD（等边对等角）. 设∠A=x，则∠BDC= ∠A+∠ABD=2x， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x. A B C D 于是在△ABC中， 有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°. 所以，在△ABC中，∠A=36°∠ABC=∠C=72°. 例 新课讲解 例 2. 如图，在△ ABC中，AB=AC，D，E 是BC 边上的点，且BD=CE.求证：AD=AE． 方法点拨：利用等腰三角形的边角性质为证明△ ABD 和△ ACE 全等创造条件. 证明：∵ AB=AC， ∴∠ B= ∠ C. 在△ ABD 和△ ACE 中， AB=AC， ∠ B= ∠ C， BD=CE， ∴△ ABD ≌△ ACE(SAS). ∴ AD=AE． 1. 如图，已知等腰三角形， ， ，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰 于点，连接，则____ . 新课讲解 练一练 30 2. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形 是“倍长三角形”，底边的长为3，则腰 的长为____. 新课讲解 练一练 6 解： 等腰三角形是“倍长三角形”， 或. 若，则 的三边长分别是6，6，3，符合题意， 腰的长为6； 若 ，则，则的三边长分别是， ，3， ， 此时不能构成三角形，这种情况不存在. 综上所述，腰 的长是6. 新课讲解 1. “等边对等角”是证明三角形中两个角相等的常用方法，这种方法比利用三角形全等证明两个角相等更方便. 2. 在等腰三角形中，依据三角形内角和等于180，可以由顶角求底角，也可以由底角求顶角，且注意：如果已知条件中未说明是顶角还是底角时，要考虑所有可能的情况并分类讨论. 注意 新课讲解 知识点2 等腰三角形的性质2 三线合一 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）. 等腰三角形性质2： 1. 必须是等腰三角形； 2. 必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才相互重合. 应用条件 几何语言： 如图，在△ABC中， ①∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD=CD. ②∵AB=AC，AD⊥BC， ∴AD平分∠BAC ，BD=CD. ③∵AB=AC，BD=CD， ∴AD平分∠BAC，AD⊥BC. B C D A 新课讲解 如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC， 求证：AD⊥BC，BD=CD . B C D A 证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD. 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（SAS）， ∴BD=CD，∠ADB=∠ADC. ∵ ∠ADB+∠ADC=180°， ∴AD⊥BC. 这是证明等腰三角形ABC顶角的平分线AD平分底边BC并垂直于底边BC. 新课讲解 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是底边BC的中线， 求证：AD⊥BC，AD平分∠BAC. B C D A 证明：∵ AD是底边BC的中线， ∴ BD=CD. 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴ ∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD. ∵ ∠ADB+∠ADC=180°， ∴ AD⊥BC. ∵ ∠BAD=∠CAD ∴ AD平分∠BAC. 这是证明等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC. 新课讲解 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是底边BC的高， 求证： AD平分∠BAC ，BD=CD. B C D A 证明：∵ AD是底边BC的高， ∴ ∠ADB=∠ADC=90°. 在Rt△ABD和Rt△ACD中， ∴ Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）. ∴ BD=CD，∠BAD=∠CAD . ∴ AD平分∠BAC. 这是证明等腰三角形ABC底边上的高AD平分顶角∠A且平分底边BC. 新课讲解 例 3. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC. (1)求∠ ADB 的度数； (2)若∠ BAC=100，求∠ B，∠C 的度数； (3)若BC=3 cm，求BD 的长. 解：(1) ∵ AB=AC，AD 平分 ∠ BAC， ∴ AD ⊥ BC. ∴∠ ADB=90. 由角平分线得到高线 (2) ∵ AB=AC，∠ BAC=100， ∴∠ B= ∠ C= ×(180－100)=40°. 等边对等角 (3) ∵AB=AC，AD 平分∠ BAC， ∴ AD 是BC 边上的中线. ∴ BD= BC= ×3 =1.5(cm) 由角平分线得到中线 新课讲解 例 4. 如图，在△ ABC 中，∠ BAC=90 °，E 为边BC 上的点，且AB=AE，D 为线段BE 的中点，过点E作EF⊥ AE，过点A 作AF ∥ BC， 且AF，EF相交于点F. 求证： (1)∠C=∠BAD； (2)AC=EF. 证明：(1) ∵AB＝AE， ∴△ABE是等腰三角形． 又∵ D为线段BE的中点， ∴AD⊥BC. ∴∠C＋∠DAC＝90°. ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD＋∠DAC＝90°. ∴∠C＝∠BAD. (2) ∵AF∥BC， ∴∠EAF＝∠AEB. ∵AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB. ∴∠EAF＝∠ABC. 又∵∠BAC＝∠AEF＝90°，AB＝AE， ∴△BAC≌△AEF(ASA)． ∴AC＝EF. 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥ BC于点D. 若AB＝6，CD＝4， 则△ABC的周长是 ( ) A.10 B.14 C.16 D.20 新课讲解 练一练 D 新课讲解 练一练 2. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E 分别在AC，AB 边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠ A 的度数. 解：设∠ A=x°. ∵ AD=DE， ∴∠ AED= ∠ A=x°. ∵ DE=EB， ∴∠ EBD= ∠ BDE= x°. ∴∠ BDC= ∠ A＋ ∠ EBD= x°. ∵ BC=BD， ∴∠ C= ∠ BDC= x°. ∵ AB=AC， ∴∠ ABC= ∠ C= x°. ∴ x＋ x＋ x =180，解得x =45 . ∴∠ A=45°. 新课讲解 1. “三线合一”是证明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法. 2. 知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”. 3. 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线. 注意 新课讲解 等腰三角形的其他性质 1. 等腰三角形两腰上的中线、高分别相等； 2. 等腰三角形两底角的平分线相等； 3. 等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等； 4. 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高； 5. 当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°. 拓展 课堂小结 等腰三角形的性质 三线合一 等腰三角形的两个底角相等. 等边对等角 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合. 等腰三角形是轴对称图形. 对称性 当堂小练 1. 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数. 解：∵AB=AD=DC， ∴∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC. 设 ∠C=x，则∠DAC=x， ∠B=∠ADB= ∠C+∠DAC=2x， 在△ABD中，根据三角形内角和定理，得2x+2x+26°=180°， 解得x=38.5°. ∴∠C= x=38.5°，∠B=2x=77°. 当堂小练 2. 如图，在△ABC中，已知AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（ ） A.35° B.45° C.55° D.60° 解：∵AB=AC，D为BC的中点， ∴∠B=∠C，AD⊥BC. ∵∠B=90°-∠BAD=55°, ∴∠C=55°. C 当堂小练 3. 如图，点D是BC上的一点，若△ABC≌△ADE，且∠B=55°，则∠EAC=_____. 70° 当堂小练 4. 如图，AB//CD，AD=CD，∠1=65°，则∠2的度数为（ ） A.50° B.60° C.65° D.70° 三角形内角和 A AB//CD，∠1=65° ∠ACD=65° AD=CD ∠ACD= ∠CAD ∠2=50° 当堂小练 5. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（ ） A.40° B.36° C.80° D.25° 解：∵AB=AC， ∴∠C=∠B. ∵BD=BA，DA=DC， ∴∠BAD=∠BDA=2∠C=2∠B. 设∠C=∠B=x，则∠BAD=∠BDA=2x. ∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°， ∴x=36°. ∴∠B=36°. B 当堂小练 6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠AEF＝∠AFE，求证：EF⊥ BC. 证明：作AD⊥BC，垂足为D. ∵AB=AC， ∴∠BAC=2∠CAD. ∵∠AEF=∠AFE， ∴∠BAC=∠AEF+∠AFE=2∠AEF. ∴∠CAD=∠AEF， ∴AD∥EF. ∵AD⊥BC， ∴EF⊥BC. 当堂小练 7. 求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 解：已知：如图所示，CD是△ABC的边AB上的中线，且CD=AB， 求证：△ABC是直角三角形. 证明：∵CD是△ABC的边AB上的中线， ∴D是AB的中点， ∴AD=BD=AB. 又CD=AB， ∴CD=AD=BD， ∴∠1=∠A，∠2=∠B. ∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=∠1+∠2， ∴2∠A+2∠B=180°， ∴∠A+∠B=90°， ∴△ABC是直角三角形. 对接中考 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝( ) A.100° B.115° C.130° D.14 5° B 对接中考 2. 如图，在△ ABC 中，AB=AC，AD 是BC 边上的中线，BE ⊥ AC 于点E.求证：∠ CBE= ∠ BAD． 方法点拨：根据等腰三角形“三线合一”的性质和同角的余角相等解决问题. 证明：∵ AB=AC，AD 是BC 边上的中线， ∴ AD ⊥ BC，∠ BAD= ∠ CAD. 又∵ BE ⊥ AC， ∴∠ BEC= ∠ ADC=90°. ∴∠ CBE=90°－∠ C，∠ CAD=90 °－∠C. ∴∠ CBE= ∠ CAD. ∴∠ CBE= ∠ BAD． 对接中考 3. 如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠ C=2 ∠ D． 证明：∵AB＝AC＝AD， ∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD. ∵∠ABC＝∠ABD＋∠CBD， ∴∠ABC＝∠CBD＋∠D. ∵AD∥BC， ∴∠CBD＝∠D. ∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D. 又∵∠C＝∠ABC， ∴∠C＝2∠D. 拓展与延伸 1. 已知一个等腰三角形的一个内角是40°，它的另外两个内角是多少度？ 解：①当已知角是等腰三角形的顶角时，另外两个内角是底角. 则两个底角的度数都是 （180°-40°）=70°, 所以另外两个内角的度数分别为70°，70°. ②当已知角是等腰三角形的底角时，另外两个内角一个是底角，一个是顶角. 则底角的度数都是40°，顶角度数为（180°-40°-40°）=100°, 综上所述，另外两个内角为70°，70°或40°，100°. 【变式】已知等腰三角形一边长为4，周长为10，则另两边长分别为（　　） A．4，2 B．3，3 C．4，2或3，3 D．以上都不对 C 4为腰 4为底 与等腰三角形的边有关的分类讨论中，求出边长之后，需要结合三角形三边关系进行验证. 未指明边是腰或底，需分类讨论 拓展与延伸 2. 已知一个等腰三角形的两条边的长度比是3:2，且有一条边的长为12厘米，这个等腰三角形的周长最大是多少？ 分析：等腰三角形的两条边的长度比是3:2，有一条边的长为12厘米，所以另外一条边是8厘米或者18厘米.此时已经有两种情况需要讨论：①12厘米，8厘米 ②12厘米，18厘米 还需注意的是等腰三角形也要分情况讨论，哪段为腰，哪段为底边. 解：因为等腰三角形一条边长为12厘米，并且两条边的长度比为3:2， 所以和它不相等的另外一条边的长为8厘米或18厘米. ①当腰长为8厘米，底边长为12厘米时，周长为8+8+12=28（厘米）； ②当腰长为12厘米，底边长为8厘米时，周长为8+12+12=32（厘米）； ③当腰长为12厘米，底边长为18厘米时，周长为18+12+12=42（厘米）； ④当腰长为18厘米，底边长为12厘米时，周长为18+18+12=48（厘米）. 因为28<32<42<48，所以这个等腰三角形的周长最大为48厘米. $$