湖北省高中名校（圆创）联盟2026届高三第一次联合测评（联考）数学试卷

湖北 高中 联盟 2026 高三第一次联 评 数学试卷参考答案与详解 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答 C A C D B A B D ABD ACD BC 1.【答 】C 【解 】由 意 A= [-2 , 2], B={-3 ,-2 ,-1 , 0 , 1 , 2 , 3}, A∩ B={-2 ,-1 , 0 , 1 , 2}, 共 5 个元 ， 故 C. 2.【答 】A 【解 】由 zz+1 = 1- i, z= 1- i i =-1- i, 故 A. 3.【答 】C 【解 】变 过 为 f (x) = sin(4x+ π3 )⇒ y= sin(2x+ π 3 )⇒ y= sin(2x+ 2π 3 ), 故 C. 4.【答 】D 【解 】由复 函数的单 性， - a2 ≥ 2, 解 a≤-4, 故 D. 5.【答 】B 【解 】因为要 实 移 短，所以实 的方 该 直于长 方 ，结 量的 行四边 法 ，可知 长 整 头方 该 北偏西 30°，可 实 为 2 3 m/s，故 B. 6.【答 】A 【解 】f (x) = -2 x+b 2x+1+a 奇函数，f (0) = b-1a+2 = 0，所以 b= 1. 又 f (1) + f (-1) = 0，所以 -2 1+1 22+a + -2 -1+1 20+a = 0，所以 a= 2. 故 A. 7.【答 】B 【解 】因为 OD⊥ AB，且 kOD= 1 2 ，故 AB 的方 为 y=-2x+ 5. 联 方 y=-2x+5 y2=2px  ， y2+ py- 5p= 0，Δ= p2+ 20p> 0 恒成 . y1+ y2=-p，y1y2=-5p. 所以 OA  ⋅OB  = x1x2+ y1y2= 5-y1 2 ⋅ 5-y2 2 + y1y2= 5 4 y1y2- 5 4 (y1+ y2) + 25 4 =-5p+ 25 4 = 5， 所以 p= 14 ，故 B. 8.【答 】D 【解 】因为 B= 2C，所以 A=π- 3C. 由正 定 a sinA = b sinB = c sinC ， b= 2sin2C sin3C ，c = 2sinC sin3C 所以 b+ c= 2sin2C+2sinC sin3C . 因为 sin3C= sin(2C+C) = sin2CcosC+ cos2CsinC= sinC(2 2cos C+ cos2C) = sinC(4 2cos C- 1). 又 2sin2C+ 2sinC= 2sinC(2cosC+ 1)，所以 b+ c= 2sinC(2cosC+1) sinC(4 2cos C-1) = 2(2cosC+1) 4 2cos C-1 . 因为 △ABC 锐角三角 ，所以 0<C< π2 , 0< 2C< π 2 ，0<π- 3C< π 2 所以 π6 <C< π 4 ，所以 cosC∈ 2 2 , 3 2 . 所以 b+ c= 2 2cosC-1 ∈ 2 3-1 , 2 2-1 ，即 b+ c 的取值范围 ( 3+ 1 , 2+ 2),故 D. 9.【答 】ABD 【解 】 n≥ 2 时，an= Sn- Sn-1=- 12n-1 + t- - 1 2n-2 + t = 12n . 已知 {an}为等比数 ， a1= 12 , an= 1 2n , t= 1 , Tn= 1 2 n(n+1) 2 , 1 ( 2)n(n+1) ，ABD 正 ，C 错误. 10.【答 】ACD 【解 】由三 棱 OA ,OB ,OC 两两 直， 该模 为“墙角”模 ，如图所示，外 半 R= 1 2 3 2+32+32= 32 3，A正 . 过 P 三个 的 线，连 相 的线段 成如图所示的长方 ，B, C, D 可 过该长方 进行计 算， 算 2sin ∠1+ 2sin ∠2+ 2sin ∠3= 2sin ∠AOB+ 2sin ∠BOP+ 2sin ∠COP= 2 , 2sin α+ 2sin β+ 2sin γ= 1 即 B 错误，C 正 . 对于 D， 该长方 中，d21+ d22+ d23=OP2= 5， OP= 5，P点的轨迹为以 O 为 ，半 为 5 的 被三角 ABC 所截 的 ，又 dO-ABC= 3， 截 半 r= OP2-d2= 5-3= 2 . 而 △ABC 内 半 为 62 ⋅ 6 2 < 2，因此轨迹为三段 ， 长 l= 2π，D 正 . 11.【答 】BC 【解 】因为 lnb+2 b+1 = lna+1 a ，而 lnx+ 1< x (x> 1). 所以 lnb+1 b < lnb+2 b+1 < lnb+2 2 b = ln b+1 b . 设 f (x) = lnx+1 x ， f (x) = -lnx x2 . x> 1 时，f (x)< 0，所以 f (x) (1 ,+∞)单 减. 所以 b> a> b> a，所以 b2> a2> b> a，所以 BC 正 . 12.【答 】- 12 【解 】由 λa+ b=m[a+ (2λ- 1)b] (m< 0)， λ=m，1=m(2λ- 1) 解 λ= 1（ 去）或 λ=- 12 . 13.【答 】x 2 9 + y2 4 = 1 【解 】设 P(x , y) ⋅M(0 , yM) ⋅N(xN , 0). 由 意，MP  = 3MN  ， MP  = (x ,-yM) = 3MN  = (3xN ,-3yM). 所以 xN= x 3 , yM=- y 2 . 又 |MN| = 1= x2N+y2M，所以曲线 C 的方 为 x2 9 + y2 4 = 1. 14.【答 】 316 【解 】恰 两 学 查 班课室卫生”也 4 学不 查自己所 班的课室， 记 n 个 学不 查自己所 班课室卫生的情况总数为 an. 任意一人可 查的班 （n- 1）个，假设此人 查 i 班；考虑 i 班的学生代表的 择： 如 i 班的学生代表与此人交 查， 么 （n- 2）人不 查自己所 班课室卫生，情况总数为 an-2； 如 i 班的学生代表不与此人交 查， 么可以 解为（n- 1）人不 查自己所 班课室卫生，情况 总数为 an-1，所以 an= (n- 1) (an-1+ an-2) , n= 3 , 4 ,… 于 a1= 0 , a2= 1 , a3= 2 , a4= 9. 所以恰 两 学 查 班课室卫生的 率 C26×9 A66 = 316 . 15.【解 】(1) 散点图，可 断两个变量 线性相关. ........................................... (2 ) 目所给数 ， x  = 12 i=1 xi 12 = 348 12 = 29 , y  = 12 i=1 yi 5 = 264 12 = 22. 所以 r= 5 i=1 xiyi-nx  y  5 i=1 x2i-nx 2 5 i=1 y2i-ny 2 = 7793-12×29×2224×6 = 137 144 ≈ 0.95. 由于 r 近于 1，故相关性较 . ........................................................ (6 ) (2) 因为 b= n i=1 xiyi-nx  y  n i=1 x2i-nx 2 = 7793-12×29×22 242 = 137576 ≈ 0.24，a  = y  - b  x  = 22- 137576 × 29≈ 15.10. 所以经验回 方 为 y  = 0.24x+ 15.10. ................................................ (10 ) x= 45 时，y  = 0.24× 45+ 15.10= 25.9，即 高的 值大约为 25.9 m. .......... (13 ) 16.【解】 (1)因为 PAD⊥ ABCD，AB⊥ AD， PAD∩ ABCD= AD. ∴ AB⊥ PAD. ∵ AB⊂ PAB，∴ PAD⊥ PAB. (6 ) (2)取 AD 中点 O 点，连 PO. ∵△PAD 正三角 ，∴PO⊥ AD. ∵ PAD⊥ ABCD， PAD∩ ABCD= AD. ∴PO⊥ ABCD. (8 ) 以 A为 原点，AB 所 直线为 x 轴，AD 所 直线为 y 轴，过 A PO 的 行线为 z 轴，建 间直 角 系， A(0 , 0 , 0)，B(2 , 0 , 0)，C(2 , 4 , 0)，D(0 , 4 , 0)，P(0 , 2 , 2 3 )，E(1 , 1 , 3 ). 于 AE  = (1 , 1 , 3 ) , AC  = (2 , 4 , 0). 设 EAC 的法 量为 n= (x , y , z)， AE  ⋅n=0 AC  ⋅n=0  ，即 x+y+ 3 z=0 2x+4y=0  ，取 z= 1， n= (-2 3 , 3 , 1). 又 ACD 的法 量为 m= (0 , 0 , 1)，(11 ) 于 cos ⟨m , n ⟩= 14 . 设 EAC 与 ABCD 的夹角为 θ， cosθ= |cos ⟨m , n ⟩ | = 14 ， 所以 EAC 与 ABCD 夹角的 值为 14 . (15 ) （ 规方法，酌情给 ） 17.【解】 (1)由 意 f (x) = sin πx2 ⋅ cos πx 2 - 2sin πx2 = 1 2 sinπx- 1 2 (1- cosπx) = 12 (sinπx+ cosπx) - 1 2 = 2 2 sin(πx+ π 4 ) - 1 2 . (3 ) 由 f (x) = 0， sin(πx+ π4 ) = 2 2 . 所以 πx+ π4 = 2kπ+ π 4 或 πx+ π 4 = 2kπ+ 3π 4 , k∈Z. 即 x= 2k 或 x= 2k+ 12 , k∈Z，取其中的正数 成 增数 {an}. 知 {an}的 6 为 12 , 2 , 5 2 , 4 , 9 2 , 6. (7 ) (2)由 (1)知 bn= 2n，所以 cn= (-1)n ⋅ 2n ⋅ ( 2 )2n-2= n ⋅ (-2)n. 所以 Sn= 1× (-2) + 2× (-2)2+ 3× (-2)3+⋯+n ⋅ (-2)n． ① -2Sn= 1× (-2)2+ 2× (-2)3+ 3× (-2)4+⋯+(n- 1) ⋅ (-2)n+ n ⋅ (-2)n+1. ② ①-②, 3Sn=-2+ (-2)2+ (-2)3+⋯+(-2)n- n ⋅ (-2)n+1 = -2[1-(-2) n] 1-(-2) - n ⋅ (-2)n+1 =- 23 - (n+ 1 3 ) ⋅ (-2) n+1. 所以 Sn=- 29 - 3n+1 9 ⋅ (-2) n+1. (15 ) 18.【解】 (1)因为离 率 e= ca = 5，所以 c 2= 5a2，而 c2= a2+ b2，所以 b2= 4a2. 所以双曲线的方 为 x 2 a2 - y2 4a2 = 1. 点 ( 2 , 2)代入双曲线方 ， 2 4a2 - 4 4a2 = 1，所以 a2= 1 , b2= 4. 所以 C 的方 为 x2- y2 4 = 1. (4 ) (2)(i)直线 MN 过定点 (2 , 0). (5 ) 由双曲线 C 的方 可知 A(-1 , 0) , B(1 , 0)，设 M(x1 , y1) ,N(x2 , y2). 方法一：由 OA  = 3OP  ，可设 P(0 , t) ,Q(0 , 3t)， 直线 AM(即 AP)的方 为 y= t(x+ 1). y= t(x+ 1). 联 x 2- y 2 4 =1, y= t(x+1),  整 (4- t2)x2- 2t2x- t2- 4= 0. 由 设知 4- t2≠ 0，且 Δ= 64> 0. 由韦达定 ， (-1) ⋅ x1= -t 2-4 4- t2 ，所以 x1= t 2+4 4- t2 . 所以 y1= t t2+4 4- t2 +1 = 8t4- t2 ，即 M t2+4 4- t2 , 8t 4- t2 . (7 ) 又直线 BN(即 BQ)的方 为 y=-3t(x- 1)， 可 N 9t 2+4 9t2-4 , -24t 9t2-4 . (8 ) x1= x2 时，y1=-y2，即 8t 4- t2 = -24t 9t2-4 ， 解 t2= 43 , x1= x2= 2. x1≠ x2 时，直线 MN 的斜率 kMN= y2-y1 x2-x1 = -24t 9t2-4 - 8t 4- t2 9t2+4 9t2-4 - t2+4 4- t2 = -24t 4-3t2 . (10 ) 所以 πx+ π4 = 2kπ+ π 4 或 πx+ π 4 = 2kπ+ 3π 4 , k∈ℤ 直线 MN 的方 为 y=- 8t 4- t2 (x- 2). 化简整 y=- 8t 4-3t2 (x- 2). 所以直线 MN 过定点 (2 , 0). (11 ) 方法二：设直线 MN 的方 为 x=my+ n，联 x 2- y 2 4 =1, x=my+n,  整 (4m2- 1)y2+ 8mny+ 4n2- 4= 0， y1+ y2=- 8mn 4m2-1 , y1y2= 4n2-4 4m2-1 . 所以 (1- n2) (y1+ y2) = 2mny1y2. (7 ) 直线 AM : y= y1 x1+1 (x+ 1). 令 x= 0， P(0 , y1 x1+1 ). 直线 BN : y= y2 x2-1 (x- 1)，令 x= 0， Q(0 , -y2 x2-1 ). (8 ) 由 OQ= 3OP， -y2 x2-1 = 3y1 x1+1 ， 即 y2(x1+ 1) + 3y1(x2- 1) = 0，所以 y2(my1+ n+ 1) + 3y1(my2+ n- 1) = 0. 即 4my1y2+ (n+ 1)y2+ 3(n- 1)y1= 0. (9 ) 因为 (1- n2) (y1+ y2) = 2mny1y2， 所以 2(1- n2) (y1+ y2) + n(n+ 1)y2+ 3n(n- 1)y1= 0. 整 可 (n- 1) (n- 2)y1- (n- 2) (n+ 1)y2= 0. 所以 n= 2，所以直线 MN 过定点 T(2 , 0). (11 ) (ii) 由 (i) 知，直线 MN 过定点 T(2 , 0)， S1- S2= 12 (|AT| -|BT|)|y1- y2| = 1 2 × (3- 1)|y1- y2| = |y1- y2|. 由 (i) 知 y1+ y2=- 16m 4m2-1 , y1y2= 12 4m2-1 . (13 ) 所以 S1- S2= |y1- y2| = (y1+y2)2-4y1y2= 4 4m 2+3 (4m2-1)2 . 又点 M ,N 双曲线 C 的右支上，C 的渐近线方 为 x=± 12 y. 所以 - 12 <m< 1 2 . (15 ) 令 u= 4m2+ 3， u∈ [3 , 4)，于 |S1- S2| = f (u) = 4 u(u-4)2 = 4 u+ 16u -8 . (16 ) 因为 f (u) [3 , 4)单 增，所以， u= 3，即 m= 0 时，|S1- S2|取 值 4 3 . 所以 S1- S2 的取值范围 [4 3 ,+∞). (17 ) 19.【解】 (1)由 f (x) = sinx- aln(x+ 1)， f (x) = cosx- ax+1 . 由 意 f (0) = 1- a= 0， a= 1. (3 ) (2)由 f (x) = sinx- ln(x+ 1) (0≤ x≤ 1)， f (x) = cosx- 1x+1 . 设 g(x) = cosx- 1x+1 (0≤ x≤ 1)， g (x) =-sinx+ 1 (x+1)2 . g(x) [0 , 1]单 减，g(0) = 1> 0，g(1) = 14 - sin1< 0， 所以存 唯一零点 x0∈ (0 , 1)， g(x0) = 0. f (x) (0 , x0)单 增， (x0 , 1)单 减. (7 ) 又 f (1) =- 12 + cos1>- 1 2 + cos π 3 = 0，f (0) = 0， 所以 f (x)> 0 (0 , 1)上恒成 ，所以 f (x) [0 , 1]上单 增. 所以 f (x)min= f (0) = 0，即 f (x)的 值为 0. (9 ) (3)因为 e xsin - lnx+ x2- bx- 1> 0(b∈ℤ)对 ∀ x∈ (0 , 1]恒成 ， 令 x= 1， esin1> b，由 (2) 知 sin1> ln2，所以 2= eln2< esin1< e1< 3， 因为 b∈ℤ，所以 b≤ 2. (12 ) 下 证 b= 2 时，h(x) = e2x- lnx+ x2- 2x- 1≥ 0 对 ∀ x∈ (0 , 1]恒成 . (13 ) 由 (2) 知 sinx> ln(x+ 1)， esinx> x+ 1，于 h(x)> x+ 1+ x2- 2x- 1- lnx= x2- x- lnx. 设 G(x) = x2- x- lnx , x∈ (0 , 1]， G(x) = 2x- 1- 1x = (2x+1)(x-1) x ≤ 0， 所以 G(x) (0 , 1]上单 减. 所以 G(x)≥G(1) = 0，所以 h(x)> 0 (0 , 1]上恒成 ，b= 2 满足 意. 综上所述，整数 b 的 大值为 2. (17 ) 湖北省高中名校联盟 2026 届高三第一次联合测评 暨广州市高三年级8月阶段测评 数 学 命题单位：宜昌市夷陵中学数学学科备课组 审题单位：圆创教育教研中心 武汉外国语学校 本试卷共4页，19题，满分150分，考试用时120分钟. 考试时间：2025年8月21日下午15：00-17：00 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，B={x∈Zx2<10}，则 的元素个数为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知复数 满足，则 A. B. C. D. 3. 将函数 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移 个单位长度，则得到的图像对应的函数解析式为 A. B. C. D. 4. 若函数 在区间 单调递增，则 的取值范围是 A. B. C. D. 5. 某货船执行从 港口到 港口的航行任务， 港口在 港口的正北方向，已知河水的速度为向东 . 若货船在静水中的航速为 ，船长调整船头方向航行，使得实际位移最短. 则该船完成此段航行的实际速度为 A. B. C. D. 6. 已知定义域为R的函数 满足 ，则 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 7. 已知一条直线与抛物线 交于 两点，过坐标原点 引 的垂线 ，垂足 的坐标为 ，，则 A. B. C. 1 D. 2 8. 记锐角三角形 的内角 所对的边分别为 ，已知 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知等比数列 的前 项和 ， 的前 项积为 ，则 A. B. C. D. 数列 是等比数列 10. 如图，在三棱锥 中，侧棱 两两垂直，且 ， 为底面 内一动点（含边界），点 到三个侧面的距离分别为 ，直线 和三条侧棱所成的角分别为∠1，∠2，∠3，直线OP和三个侧面所成的角分别为 ，则 A. 该三棱锥的外接球半径为 B. C. D. 当 时， 点的轨迹长度为 11. 若 ，且 ，则 A. B. C. D. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知向量,不共线，且向量λ+与+(2λ-1)的方向相反，则实数 _______. 13. 如图，在平面直角坐标系 中，点 在 轴上运动，点 在 轴上运动，点在线段的延长线上，且 ，则点 的轨迹方程为 _______. 14. 某学校高一年级 6 个班各派 1 名学生代表参加年级组织的课室卫生检查，若每个班随机分配 1 位同学进行检查，则恰有 2 位同学检查本班课室卫生的概率是 _______. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13 分) 经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上 1.3 m 处的直径）越大，树就越高. 由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高. 在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据，并根据数据作出如下的散点图. 经计算得 ，，，，. (1) 推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数 （精确到 0.01），并推断它们的相关程度； (2) 试根据以上数据建立树高关于胸径的经验回归方程（系数精确到 0.01），并预测胸径为 45 cm 的树高. 附：相关系数 ，回归方程 中，，. 16. (15 分) 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，，侧面 为等边三角形，平面 平面 ， 为 中点. (1) 证明：平面 平面 ； (2) 求平面 与平面 夹角的余弦值. 17. (15 分) 已知向量=，=，函数·，的所有大于 0 的零点构成递增数列 (1) 写出 的前 6 项； (2) 记 的所有偶数项构成数列 ，设 ，求数列 的前 项和 . 18. (17 分) 已知双曲线 的离心率为 ，点 在 上， 为 的左、右顶点. (1) 求 的方程； (2) 若点 在 的右支上（ 在第一象限），直线 分别交 轴于 两点，且 . (i) 探究：直线 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由； (ii) 设 分别为 和 的面积，求 的取值范围. 19. (17 分) 已知函数 ，，其中 R，曲线 在点 处的切线方程为 . (1) 求 的值； (2) 求 的最小值； (3) 设 Z，若 对 恒成立，求 的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$湖北省高中名校联盟 2026 届高三第一次联合测评 暨广州市高三年级 8 月阶段测评 数 学 命题单位：宜昌市夷陵中学数学学科备课组 审题单位：圆创教育教研中心 武汉外国语学校 本试卷共 4 页，19 题，满分 150 分，考试用时 120 分钟. 考试时间：2025 年 8 月 21 日下午 15：00-17：00 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的 指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷、草稿纸和答题卡上 的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1. 已知集合 { || | 2}=A x x ，B={x∈Z | x2<10}，则 A B 的元素个数为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知复数 z 满足 1 i 1 = − + z z ，则 =z A. 1 i− − B. 1 i− + C. 1 i+ D. 1 i− 3. 将函数 π ( ) sin 4 3   = +    f x x 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再将所得 图像向左平移 π 6 个单位长度，则得到的图像对应的函数解析式为 A. π sin 2 3   = +    y x B. cos2=y x C. 2π sin 2 3   = +    y x D. sin8= −y x 4. 若函数 ( ) 1 ( ) 3 +   =     x x a f x 在区间 (0,2) 单调递增，则 a 的取值范围是 A. ( ,4]− B. [4, )+ C. [ 4, )− + D. ( , 4]− − 5. 某货船执行从 A 港口到 B 港口的航行任务， B 港口在 A 港口的正北方向，已知河水的速度为 向东 2m/s . 若货船在静水中的航速为 4m/s ，船长调整船头方向航行，使得实际位移最短. 则该船完 成此段航行的实际速度为 A. 2m/s B. 2 3m/s C. 4m/s D. 2 5m/s 6. 已知定义域为 R的函数 1 2 ( ) 2 + − + = + x x b f x a 满足 ( ) ( ) 0+ − =f x f x ，则 + =a b A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 7. 已知一条直线与抛物线 2 2 ( 0)= y px p 交于 ,A B 两点，过坐标原点 O 引 AB 的垂线 OD，垂 足 D 的坐标为 (2,1)， 5 =OA OB ，则 =p A. 1 2 B. 1 4 C. 1 D. 2 8. 记锐角三角形 ABC 的内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c，已知 2 , 2= =B C a ，则 +b c 的取 值范围是 A. (2, 3 1)+ B. ( 3 1, )+ + C. (2,2 2 2)+ D. ( 3 1,2 2 2)+ + 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知等比数列 { }na 的前 n 项和 1 , 2 = − + n nS t t R ，{ }na 的前 n 项积为 nT ，则 A. 1=t B. 1 2 =n na C. ( 1) 1 ( 2) − =n n nT D. 数列 1 2{ }+ ++ +n n na a a 是等比数列 10. 如图，在三棱锥 −O ABC 中，侧棱 , ,OA OB OC 两两垂直，且 3= = =OA OB OC ， P 为底面 ABC 内一动点（含边界），点 P 到三个侧面的距离分别为 1 2 3, ,d d d ，直线 OP 和三条侧棱所成的角 分别为∠1，∠2，∠3，直线 OP和三个侧面所成的角分别为 , ,   ，则 A. 该三棱锥的外接球半径为 3 3 2 B. 2 2 2sin 1 sin 2 sin 3 1 +  +  = C. 2 2 2sin sin sin 1  + + = D. 当 2 2 2 1 2 3 5+ + =d d d 时， P 点的轨迹长度为 2 11. 若 1, 1 a b ，且 (ln 2) ( 1)(ln 1)+ = + +a b b a ，则 A. a b B. a b C. 2 a b D. 2 a b A B C O P 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知向量a , b不共线，且向量 λa + b与 a +(2λ-1) b的方向相反，则实数  = _______. 13. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 N 在 x 轴上运动，点 M 在 y 轴上运动，点 P 在线段MN 的延长线上，且 | | 3,| | 1= =MP MN ，则 点 P 的轨迹方程为 _______. 14. 某学校高一年级 6 个班各派 1 名学生代表参加年级组织的课室卫生 检查，若每个班随机分配 1 位同学进行检查，则恰有 2 位同学检查本班课 室卫生的概率是 _______. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13 分) 经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上 1.3 m 处的直径）越大，树就越高. 由于测量树高比测 量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高. 在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的 一些数据，并根据数据作出如下的散点图. 经计算得 2 1 1 348 = = i i x ， 2 1 1 264 = = i i y ， 12 1 7793 = = i i i x y ， 2 12 2 1 12 24 = − = i i x x ， 1 22 1 2 12 6 = − = i i y y . (1) 推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数 r （精确到 0.01），并推断它们的相关程度； (2) 试根据以上数据建立树高关于胸径的经验回归方程（系数精确到 0.01），并预测胸径为 45 cm 的树高. 附：相关系数 1 2 2 2 2 1 1 = = = − = − −    n i i i n n i i i i x y nxy r x nx y ny ，回归方程 ˆˆ ˆ= +y bx a 中， 1 2 2 1 ˆ = = − = −   n i i i n i i x y nxy b x nx ， ˆˆ = −a y bx . 16. (15 分) 如图，在四棱锥 −P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， 2, 4= =AB BC ，侧面 PAD 为等边三角形，平面 ⊥PAD 平面 ABCD， E 为 PB 中点. (1) 证明：平面 ⊥PAD 平面 PAB； (2) 求平面 EAC 与平面 ACD 夹角的余弦值. O x y M N P A B C D E P 17. (15 分) 已知向量a = sin , sin 2 2    −    x x ，b = cos ,sin 2 2        x x ，函数 ( ) =f x a·b， ( )f x 的所有大于 0 的零点 构成递增数列 { }na (1) 写出 { }na 的前 6 项； (2) 记 { }na 的所有偶数项构成数列 { }nb ，设 2 ( 1) ( 2) − = −   n bn n nc b ，求数列 { }nc 的前 n 项和 nS . 18. (17 分) 已知双曲线 2 2 2 2 : 1( 0, 0)− =   x y C a b a b 的离心率为 5 ，点 ( 2,2) 在 C 上， ,A B 为 C 的左、 右顶点. (1) 求 C 的方程； (2) 若点 ,M N 在 C 的右支上（ M 在第一象限），直线 ,AM BN 分别交 y 轴于 ,P Q 两点，且 3=OQ OP . (i) 探究：直线 MN 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由； (ii) 设 1 2,S S 分别为 AMN 和 BMN 的面积，求 1 2−S S 的取值范围. 19. (17 分) 已知函数 ( ) sin ln( 1)= − +f x x a x ， [0,1]x ，其中 a R，曲线 ( )=y f x 在点 (0, (0))f 处的切线 方程为 0=y . (1) 求 a 的值； (2) 求 ( )f x 的最小值； (3) 设 b Z，若 sin 2ln 1 0− + − − xe x x bx 对 (0,1] x 恒成立，求 b 的最大值.