精品解析：2025年河南省南阳市第二十一学校中考模拟预测数学试题

九年级数学试卷 一、选择题．（每小题3分，共30分） 1. 如图，实数在数轴上对应的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是实数与数轴，掌握无理数的大小估算是解题的关键．先判断出的取值范围，即可求解． 【详解】解：， ， 点符合题意． 故选：C． 2. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 3. 将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图所示， 由题意得，，， ∴， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则计算解答即可． 本题考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A. 不是同类二次根式，无法计算， 本选项错误； B. ， 本选项正确； C. ， 本选项错误； D. ， 本选项错误； 故选：B． 5. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 6. 山西是中华文明发源地之一，诞生了很多神话故事．小明购买了一本《山西神话故事集萃》，商家赠送了“精卫填海、后羿射日、夸父逐日、愚公移山”四张卡片（除正面图案外其余完全相同），拿到书当天小明计划先从这四个故事中选择两个阅读，于是他将四张卡片背面朝上放在桌面上，先从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小明抽到的两张恰好是“精卫填海”和“后羿射日”的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：将“精卫填海、后羿射日、夸父逐日、愚公移山”四张卡片分别记为、、、， 列表得： 共有12种等可能出现的结果，其中小明抽到的两张恰好是“精卫填海”和“后羿射日”的情况有种， ∴小明抽到的两张恰好是“精卫填海”和“后羿射日”的概率为, 故选：A． 7. 如图，是的弦，把沿翻折，点A在翻折后的上，点C在上．若，则的度数是（ ） A. 80° B. 100° C. 120° D. 140° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的相关性质（圆周角定理、翻折的性质），解题的关键是利用圆内接四边形的性质以及翻折前后的角的关系． 利用圆内接四边形对角互补以及翻折后角的等量关系求解． 【详解】如解图， 把折叠部分展开，点A的对应点为，则四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 即， 故选B． 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？这个问题可用方程来解决，则方程中的x表示（　　） A. 长木的长 B. 长木一半的长 C. 绳子的长 D. 绳子对折后的长 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，而方程中出现，可得方程中的x表示绳子的长，再检查符合题意． 【详解】解：∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则可得方程， ∴方程中的x表示绳子的长， 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，，且以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以点、点为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，过点作射线，交于点，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作法得平分，结合平行线的性质证明得到，延长交轴于，可得轴，，进而可求得，，由此即可得到答案． 【详解】解：延长交轴于， 由题意得：平分， ， ， ， ， ， ∵的顶点在轴上，， ∴轴，， ， ， 点点坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．也考查了平行四边形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键． 10. 如图1，菱形中，点A为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒1个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图2，若，则的值为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】当l落在位置时，与菱形交于D，M，，当|l落在位置时，，得，得，得，解得，即得． 【详解】解：如图所示，当l落在位置时，与菱形交于D，M， 此时， 当l落在位置时，与菱形交于N，B， 此时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴点C到y距离为， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了动点与图形面积问题．熟练掌握菱形的性质，勾股定理，三角形面积公式，动点函数图象，分类讨论，是解题的关键． 二、填空题．（每小题3分，共15分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式的分母不能为零． 利用分式的分母不能为零即可解答此题． 【详解】解：根据代数式在实数范围内有意义得， 解得，， 故答案为：． 12. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+1≠0且△=（﹣4）2﹣4（a+1）＞0，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可． 【详解】根据题意得a+1≠0且△=（﹣4）2﹣4（a+1）＞0， 解得a＜3且a≠﹣1． 故答案为a＜3且a≠﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 14. 如图，在的小正方形网格中（每个小正方形的边长为1），点A，B，C，P均在格点上，点C在上，则阴影部分的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查三角形外心的性质、勾股定理、弧长公式等知识，先找到所在圆的圆心O，证明是等腰直角三角形，，求出长，的长度，即可得到答案． 【详解】解：找到线段，垂直平分线交点O，即为所在圆的圆心，连接 ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴长为， ∵， ∴阴影部分的周长为为， 故答案为： 15. 已知等腰直角三角形和等腰直角三角形的直角顶点重合，．连接，将绕点在平面内旋转，旋转后的三角形为，若点是的中点，当三点共线时，线段的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】分点在之间和点在之间两种情况，分别画出图形，进行解答即可． 【详解】解：如图①，当点在之间时，延长到点G，使，连接，过点A作于点H， 由旋转可得，，，， ∴， ∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， 如图②，当点在之间时，延长到点G，使，连接，过点A作于点H， 由旋转可得，，，， ∴， ∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， 综上可知，为或， 故答案为： 或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质、旋转的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题．（本题共8小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简：． 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂，再进行加减计算； （2）先计算括号内分式的加法，再将除法化为乘法计算． 【详解】解：（1） ； （2）原式 ． 17. 2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，学校组织“国家安全·青春挺膺”主题演讲比赛，引导青年学生提升国家安全意识和素养，维护国家主权、安全、发展利益．比赛设初赛和决赛两个阶段，初赛有20名选手参加，组委会对两个阶段的选手成绩进行整理，得到如下信息： 信息1：名选手初赛成绩的频数直方图如下（数据分成组：，，，，）： 信息2：初赛成绩在第三组（）的选手成绩如下： ． 信息3：决赛过程中，由5位教师评委给每位选手打分（百分制），总分排名前3名选手的成绩如下表： 选手 得分 平均数 方差 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 90 92 93 92 92 ________ 乙 91 92 92 92 92 91.8 0.16 丙 90 94 90 94 92 ________ 3.2 根据上述信息回答下列问题： （1）初赛名选手成绩的中位数为_____分； （2）组委会规定初赛选手中成绩靠前的一半选手进入决赛，若选手成绩并列且不能确定其是否进入决赛时，组委会对其加试一题．加试前，小文的成绩为分，小颖的成绩为分．直接写出他们两人是否能进入决赛； （3）决赛的排名规则是：计算位教师评委评分的平均数和方差，平均数较大的选手排名靠前；若平均数相同，则方差较小的选手排名靠前．请补全上表中空缺的数据，给甲、乙、丙三位选手排出名次，并说明理由． 【答案】（1） （2）小文不一定进入决赛，小颖一定能进入决赛 （3）甲的方差为，丙的平均数为；第一名为甲，第二名为丙，第三名为乙．理由： 甲的方差为 丙的平均数为 甲的方差为，丙的平均数为 甲和丙的平均数相同，甲的方差较小，乙的平均数小于丙的平均数， ∴第一名为甲，第二名为丙，第三名为乙． 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，求方差与平均数，掌握中位数，平均数，方差的意义是解题的关键； （1）根据中位数的定义，即可求解； （2）根据题意，小文的成绩为分，而分的同学有名，则小文不一定进入决赛，小颖的成绩为分，大于中位数，则一定能进入决赛． （3）先计算甲的方差为，丙的平均数为，根据甲和丙的平均数相同，甲的方差较小，乙的平均数小于丙的平均数，即可求解． 【小问1详解】 解：初赛名选手成绩中第一组有3人，第二组有4人 初赛成绩在第三组（）的选手成绩从小到大排列为：，，，，，，，． 第和个数据是第三组的第3个和第4个数据，即， ∴初赛名选手成绩的中位数为 【小问2详解】 因为初赛名选手成绩的中位数为， 组委会对其加试一题．加试前，小文的成绩为分，而分的同学有名， 则小文不一定进入决赛， 小颖的成绩为分，大于中位数，则一定能进入决赛． ∴小文不一定进入决赛，小颖一定能进入决赛 【小问3详解】 略 18. 如图，在矩形中，，为对角线． （1）尺规作图：作菱形，使点，分别在边，上（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1） 如图，菱形即为所求． ； （2） 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的尺规作图，菱形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是掌握基本作图以及菱形的性质． （1）作线段的垂直平分线，分别交边，于E、F，则四边形即为所求； （2）设，则有，解方程求出可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，设， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 解得， ． 19. 如图，已知矩形的顶点，恰好在反比例函数的图象上，． （1）求反比例函数的表达式； （2）过点作直线轴，求点到直线的距离； （3）填空：点______（填“在”或“不在”）反比例函数的图象上． 【答案】（1） （2）点C到直线l的距离为4 （3）不在 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）作，垂足为G，作，垂足为H，先证明，利用相似三角形性质求出即可； （3）分别求出点C的纵坐标和横坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征进行验证即可． 【小问1详解】 解：点，在反比例函数的图象上，， 解得， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 如图，作，垂足为G，作，垂足为H， 由（1）可知，， ， ， ，即， ， ∴点C到直线l的距离为4； 【小问3详解】 ， ， 由（2）可知，即， ， ， ， ， 点C不在反比例函数图象上． 故答案为：不在． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，熟练掌握以上知识点是解题关键． 20. 某数学实践小组对卧式手摇铲车纺线时的场景进行了探究：纺线时（如图），木架水平放置，即绳轮与水平面相切于点E，线绳绕过绳轮汇聚于点D处放置的锭子上，即线绳与相切于点C，过切点E的直径与交于点A（图中点O、A、E、D、C在同一平面内）． （1）求证：； （2）该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径为，且圆心O与D处锭子之间的水平距离在之间时，纺线较为舒适．若，，请判断该纺车纺线时是否舒适并说明理由．（参考数据：，最后结果精确到个位） 【答案】（1） 证明：和为的切线， ，， ， 在四边形中， ， ， 又， ； （2）该纺车纺线时不舒适． 理由如下： 过点分别作于点，于点，如解图所示，则四边形是矩形，     ， 由题意得：， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， ， 该纺车纺线时不舒适． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，切线的性质，熟练掌握矩形的判定与性质，切线的性质，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）由和为的切线，得到，在四边形中得到，再由，即可得到； （2）过点分别作于点，于点，则四边形是矩形，在中和在中，由三角函数求出、的长，最后由即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 信阳毛尖是中国十大名茶之一：春茶鲜嫩，清香高雅，适合喜欢口感清爽的人；秋茶叶老深沉，沉香味较重，适合喜欢浓重口感的人．用元从信阳某茶园购进的春茶与用元购进的秋茶的斤数相同，春茶每斤进价比秋茶进价多元． （1）求春茶，秋茶每斤的进价各是多少元？ （2）某茶叶商店计划用不超过元的总费用购进春茶和秋茶共斤进行销售，每斤春茶售价为元，秋茶每斤售价为元． 问：①怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ ②按①中的方案购进茶叶，并全部销售完后的利润率是多少？ 【答案】（1）春茶每斤的进价为元，秋茶每斤的进价为元 （2）①购进春茶斤，购进秋茶斤，销售完后利润最大，最大利润是元；② 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，有理数的计算，熟练根据题意正确列出式子是解题的关键． （1）设秋茶每斤的进价为元，由“春茶每斤进价比秋茶进价多元”得春茶每斤的进价为元，再根据“用元从信阳某茶园购进的春茶与用元购进的秋茶的斤数相同”列式求解即可； （2）①设购进春茶斤，销售完后利润为元， 得出购进秋茶斤，利用“用不超过元的总费用购进春茶和秋茶共斤进行销售”列不等式求出的取值范围，再列式求出关于的一次函数，利用一次函数的性质即可求出最值，即可求解；②利用 利润率进行计算即可． 【小问1详解】 解：设秋茶每斤的进价为元，则春茶每斤的进价为元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， （元）. 答：春茶每斤的进价为元，秋茶每斤的进价为元； 【小问2详解】 解：①设购进春茶斤，销售完后利润为元， 则购进秋茶斤， 由题意，得， 解得：， ∴， 由题意，得， ∵， ∴ 当时，（元）， ， 即购进春茶斤，购进秋茶斤，销售完后利润最大，最大利润是元； ②全部销售完后的利润率， 即全部销售完后的利润率是． 22. 飞碟射击（图1），是一种用枪械射击抛在空中作为飞靶的圆形黏土碟的射击运动，在飞碟射击中，飞碟从前方的一个发射器发射出去，运动员需要从固定的站位射击飞碟．某次试验中，以飞碟发射器为坐标系原点O，横轴表示水平地面建立平面直角坐标系（图2）．飞碟的飞行路线可用抛物线刻画，其中t为飞碟弹出后的飞行时间，h为飞碟发射后距离水平地面的高度（子弹飞行时间忽略不计）． （1）飞碟发射________秒后能达到最大高度（用含有b的代数式表示）； （2）若飞碟发射1秒之后，飞行高度为，求抛物线的解析式； （3）在（2）的基础上，若规定运动员要在飞碟距离地面96米处将其击落，第一次瞄准后没有击发，该运动员说“我4秒后射击仍然可以将其击落”，请判断她的说法是否正确？ 【答案】（1） （2） （3） 正确，理由如下： 由（2）得， 当时，， 解得：， ∵，间隔时间为4秒， ∴她的说法正确． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据二次函数的性质即可求解； （2）将代入，求出即可； （3）将代入，求出，即可求出时间间隔． 【小问1详解】 解：∵， ∴时，离地面的高度最大， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，将代入，得， 解得：， 故函数解析式为：； 【小问3详解】 略 23. 正方形中，点P为直线上一个动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，过点Q作，垂足为点M，交直线于点N． （1）如图1，当点P在线段上时，线段与线段的数量关系为________________． （2）如图2，当点P在射线上时，（1）中的结论是否变化，若不变，请证明，若变化，请说明理由； （3）若，，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） 证明：（1）中的结论不变，理由如下： 四边形为正方形， ， ， ， ， 由旋转的性质可知，， ， ， ， ； （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质，旋转的性质证明，结合全等三角形性质即可推出线段与线段的数量关系； （2）利用正方形性质，直角三角形性质推出，再结合旋转的性质证明，最后利用全等三角形性质即可推出（1）中的结论； （3）根据点P为直线上一个动点，分三种情况，当点在延长线上时，当点P在射线上时，当点P在射线上时，结合等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形性质，正方形性质求解，即可解题． 【小问1详解】 解：四边形为正方形， ， ， ，即， 由旋转的性质可知，， ， ， ， ； 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点在线段上时， 四边形为正方形，， ， 由（1）可知， ， ，则， ， ， ， ， ； 当点P在射线上时， 由上面推理过程同理可得，， ； 当点P在射线上时， 同理可得，， ， 即，这与所作图形中不符， 点P不可能在射线上； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形性质，旋转的性质，全等三角形性质和判定，直角三角形性质，等腰三角形性质，勾股定理，解题的关键在于利用分类讨论的思想分析问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 一、选择题．（每小题3分，共30分） 1. 如图，实数在数轴上对应的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 2. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 3. 将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 山西是中华文明发源地之一，诞生了很多神话故事．小明购买了一本《山西神话故事集萃》，商家赠送了“精卫填海、后羿射日、夸父逐日、愚公移山”四张卡片（除正面图案外其余完全相同），拿到书当天小明计划先从这四个故事中选择两个阅读，于是他将四张卡片背面朝上放在桌面上，先从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小明抽到的两张恰好是“精卫填海”和“后羿射日”的概率为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，是的弦，把沿翻折，点A在翻折后的上，点C在上．若，则的度数是（ ） A. 80° B. 100° C. 120° D. 140° 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？这个问题可用方程来解决，则方程中的x表示（　　） A. 长木的长 B. 长木一半的长 C. 绳子的长 D. 绳子对折后的长 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，，且以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以点、点为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，过点作射线，交于点，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 10. 如图1，菱形中，点A为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒1个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图2，若，则的值为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 12 二、填空题．（每小题3分，共15分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围为_____． 12. 分解因式：______． 13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 14. 如图，在的小正方形网格中（每个小正方形的边长为1），点A，B，C，P均在格点上，点C在上，则阴影部分的周长为__________． 15. 已知等腰直角三角形和等腰直角三角形的直角顶点重合，．连接，将绕点在平面内旋转，旋转后的三角形为，若点是的中点，当三点共线时，线段的长为_____． 三、解答题．（本题共8小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简：． 17. 2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，学校组织“国家安全·青春挺膺”主题演讲比赛，引导青年学生提升国家安全意识和素养，维护国家主权、安全、发展利益．比赛设初赛和决赛两个阶段，初赛有20名选手参加，组委会对两个阶段的选手成绩进行整理，得到如下信息： 信息1：名选手初赛成绩的频数直方图如下（数据分成组：，，，，）： 信息2：初赛成绩在第三组（）的选手成绩如下： ． 信息3：决赛过程中，由5位教师评委给每位选手打分（百分制），总分排名前3名选手的成绩如下表： 选手 得分 平均数 方差 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 90 92 93 92 92 ________ 乙 91 92 92 92 92 91.8 0.16 丙 90 94 90 94 92 ________ 3.2 根据上述信息回答下列问题： （1）初赛名选手成绩的中位数为_____分； （2）组委会规定初赛选手中成绩靠前的一半选手进入决赛，若选手成绩并列且不能确定其是否进入决赛时，组委会对其加试一题．加试前，小文的成绩为分，小颖的成绩为分．直接写出他们两人是否能进入决赛； （3）决赛的排名规则是：计算位教师评委评分的平均数和方差，平均数较大的选手排名靠前；若平均数相同，则方差较小的选手排名靠前．请补全上表中空缺的数据，给甲、乙、丙三位选手排出名次，并说明理由． 18. 如图，在矩形中，，为对角线． （1）尺规作图：作菱形，使点，分别在边，上（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 19. 如图，已知矩形的顶点，恰好在反比例函数的图象上，． （1）求反比例函数的表达式； （2）过点作直线轴，求点到直线的距离； （3）填空：点______（填“在”或“不在”）反比例函数的图象上． 20. 某数学实践小组对卧式手摇铲车纺线时的场景进行了探究：纺线时（如图），木架水平放置，即绳轮与水平面相切于点E，线绳绕过绳轮汇聚于点D处放置的锭子上，即线绳与相切于点C，过切点E的直径与交于点A（图中点O、A、E、D、C在同一平面内）． （1）求证：； （2）该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径为，且圆心O与D处锭子之间的水平距离在之间时，纺线较为舒适．若，，请判断该纺车纺线时是否舒适并说明理由．（参考数据：，最后结果精确到个位） 21. 信阳毛尖是中国十大名茶之一：春茶鲜嫩，清香高雅，适合喜欢口感清爽的人；秋茶叶老深沉，沉香味较重，适合喜欢浓重口感的人．用元从信阳某茶园购进的春茶与用元购进的秋茶的斤数相同，春茶每斤进价比秋茶进价多元． （1）求春茶，秋茶每斤的进价各是多少元？ （2）某茶叶商店计划用不超过元的总费用购进春茶和秋茶共斤进行销售，每斤春茶售价为元，秋茶每斤售价为元． 问：①怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ ②按①中的方案购进茶叶，并全部销售完后的利润率是多少？ 22. 飞碟射击（图1），是一种用枪械射击抛在空中作为飞靶的圆形黏土碟的射击运动，在飞碟射击中，飞碟从前方的一个发射器发射出去，运动员需要从固定的站位射击飞碟．某次试验中，以飞碟发射器为坐标系原点O，横轴表示水平地面建立平面直角坐标系（图2）．飞碟的飞行路线可用抛物线刻画，其中t为飞碟弹出后的飞行时间，h为飞碟发射后距离水平地面的高度（子弹飞行时间忽略不计）． （1）飞碟发射________秒后能达到最大高度（用含有b的代数式表示）； （2）若飞碟发射1秒之后，飞行高度为，求抛物线的解析式； （3）在（2）的基础上，若规定运动员要在飞碟距离地面96米处将其击落，第一次瞄准后没有击发，该运动员说“我4秒后射击仍然可以将其击落”，请判断她的说法是否正确？ 23. 正方形中，点P为直线上一个动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，过点Q作，垂足为点M，交直线于点N． （1）如图1，当点P在线段上时，线段与线段的数量关系为________________． （2）如图2，当点P在射线上时，（1）中的结论是否变化，若不变，请证明，若变化，请说明理由； （3）若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $