精品解析：江西省九江第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

江西省江西省九江第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题 一、单选题 1. 的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，进而分析象限角即可. 【详解】因为，且为第二象限角， 所以的终边在第二象限. 故选：B. 2. 下列各式化简结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算法则求解. 【详解】对于A，因为，A错误， 对于B，因为，所以，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确； 故选：D. 3. 已知，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式直接求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：C 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用对数函数的值域得出范围，再应用特殊角的余弦函数值即可比较. 【详解】因为， ， ， 则的大小关系为. 故选：C. 5. 若是函数的图象的一条对称轴，当取最小正数时： ①在上单调递减 ； ② 在上单调递增； ③在上单调递减 ； ④在上单调递增. 以上论断中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】利用是函数的图象的一条对称轴，可得，求得取得最小正数为，再求出函数的单调区间，然后判断四个命题是否正确即可. 【详解】因为是函数的图象的一条对称轴， 所以，即． 当时，取得最小正数为，此时 ， 由解得，， 由解得，， 所以的单调增区间为，， 单调减区间为，，只有④正确. 故选：D. 【点睛】本题主要考查三角函数的对称性与单调性，属于中档题. 函数的单调区间的求法：把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间. 6. 已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过周期性奇偶性找到周期性，再由单调性确定函数值大小. 【详解】是偶函数,得，即， 是奇函数，得，即， ，得 由是奇函数，得， 因为在上单调递增，所以 ， 所以， 故选：B 【点睛】是函数的对称轴， 是函数 的对称中心. 7. 已知，在函数和的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，且的图象关于点对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】因为和的图象相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，则周期， 即，得，所以， 又因为的图象关于点对称，所以，得，因为，所以. 从而，. 故选：D. 8. 设函数，若在区间内恰有4个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意对分段函数的两部分解析式分别分类讨论，得出各部分对应的零点表达式，再根据在区间内恰有4个零点对参数进行分类讨论，得出各部分的有效零点个数即可求得实数的取值范围. 【详解】易知当时，令， 可得，即可得， 又因为，所以; 因此时的有效零点为，为负整数； 当时，令，可得; 若为有效零点可得，解得； 当时，令，可得; 若为有效零点可得，解得； 因为在区间内恰有4个零点，所以至少表示两个有效零点， 所以需满足，可得； 此时和也为有效零点，此时实数的取值范围是； 当时，显然不是有效零点，所以能表示三个有效零点， 因此，解得，此时实数的取值范围是. 综上可知，实数的取值范围是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出分段函数各部分零点的表达式，再结合零点所在区间及其个数限定出对应不等式，即可求出实数的取值范围. 二、多选题 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内是增函数 B. 是奇函数 C. 的最小正周期是 D. 图像的对称中心是 【答案】BD 【解析】 【分析】 在定义域内的每一个区间上都是单调递增函数，但在整个定义域上没有单调性；是奇函数；的最小正周期为；对称中心是. 【详解】A错误，∵的定义域是，其在定义域内的每一个区间上都是单调递增函数，但在整个定义域上没有单调性； B正确，，易知其是奇函数； C错误，函数的最小正周期为； D正确，令，解得，所以图像的对称中心是. 故选：BD. 【点睛】此题考查正切型函数单调性，周期性，奇偶性和对称性的辨析，关键在于熟练掌握正切函数的相关性质. 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的表达式可以写成 C. 的图象向左平移个单位长度后得到的新函数是偶函数 D. 若方程在上有且只有6个根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】将点代入，可求值，判断A；将点代入，确定的值，再利用诱导公式可判断B；求出的图象向左平移后的函数，即可判断奇偶性，判断C；结合正弦函数的特殊函数值可求m的范围，判断D. 【详解】对于A，由题图可知，， 从而，结合，可知，故A正确； 对于B，由题图可知， 也就是，从而， 解得，注意到，所以， 故，故B错误； 对于C，的图象向左平移个单位长度后得到的新函数的解析式为 ， 显然的定义域为全体实数， 的图象向左平移个单位长度后得到的新函数是偶函数，故C正确． 对于D， 或， 即当且仅当或， 注意到方程在上有且只有6个根， 则这6个根从小到大排列为， 从而不可能是方程在上的根， 所以，故D正确． 故选：ACD 11. 已知定义域为的函数对任意实数，满足：，且，，并且当时，.则下列结论中正确的有（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数在上单调递增 C. 函数是以2为周期的周期函数 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】令结合奇函数的定义判断A，设，结合当，得到，即可判断B，由说明C，结合周期性与奇偶性判断D. 【详解】令，可得，，函数是奇函数，故A不正确； 设，因为当，， 则，， 所以，，则， 所以， 即，所以， 所以函数在上单调递增，故B正确； 因为 所以，所以函数是以为周期的周期函数，故C正确； 所以，故D不正确． 故选：BC． 三、填空题 12. 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分.若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的弧长为，则此弧田的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设扇形的半径为，利用弧长公式求出的值，然后利用扇形的面积减去三角形的面积可得出弧田的面积. 【详解】设扇形的半径为，则扇形的弧长为，解得，扇形面积为， 取的中点，连接，如下图所示：     因为，则， 又因为，则， 所以，，，则， 所以，， 因此，弧田的面积为. 故答案为：. 13. 设，是两个不共线的向量．若向量与的方向相反，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由共线得到，比较系数即可求解； 【详解】解：因为向量与的方向相反， 所以，其中， 所以：， 联立可得：， 解得： 故答案为： 14. 已知定义在R上的函数满足，当时，，若对任意，都有，则实数m的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知利用正弦函数图象与性质、函数的周期性作出函数图象，结合函数图象进行求解即可. 【详解】由得，当时，， 故当时，， 当时，， 当时，，依次类推， 又函数的定义域为R，所以函数的大致图象为 因为，， 所以，， 所以由，可得， 当时，由的， 所以对任意，都有， 得实数的取值范围为，则实数的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查了正弦函数的图象与性质及恒成立的应用，解答本题的关键是利用法则画出函数图象，正确理解函数法则是解决本题的关键. 四、解答题 15. 函数的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求函数的解析式和函数的单调递间； （2）的图像向右平行移动个长度单位，再向平移1个长度单位，得到的图像，写出函数解析式并作出在内的图像. 【答案】（1），递增区间为； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出的值，得到函数的解析式，结合三角函数的图象与性质，即可求解函数的单调递增区间； （2）根据三角函数的图象变换求得函数的解析式，利用五点作图法，即可求解. 【小问1详解】 由题意，函数的最大值为，可得，解得， 因为函数的相邻的两条对称轴之间的距离为，可得，即， 所以，即， 令，解得， 即函数的递增区间为. 【小问2详解】 由题意，函数， 列表得： 0 0 0 2 0 描点， 连线可得函数在内的大致图象， 16. 已知函数，记其最小正周期为，若，，若在上单调递增， （1）求的解析式； （2）不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据可知，代入的解析式即可求得.再根据可知，根据三角函数性质可得.最后根据在上单调递增即可求得，进而可求出函数的解析式；. （2）利用换元法，设，根据三角函数相关知识可知，则不等式对任意恒成立等价于.利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题得，. ，，即. ，，. ，， ， 即. . 因为函数在上单调递增， 令，. ，即. . ，，. 【小问2详解】 令，，，. 不等式对任意恒成立等价于. ，，当且仅当时取到最小值， ，解得：. 【点睛】本题综合考查三角函数的性质以及恒成立问题. 第（1）问解题的关键是根据的单调递增区间，及集合的包含关系求解. 第（2）问是恒成立问题，利用分离变量法求最值即可求解. 17. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要． （1）求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； （2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求为何值时高度差最大． （参考公式：，） 【答案】（1），． （2），；或 【解析】 【分析】（1）据题意，设，由条件确定的值； （2）由题意，1号与9号座舱的角度差为，不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，时1号与9号的高度分别为，，进而求出高度差，由余弦函数性质即可求. 【小问1详解】 设，则， 令时，则，， 又，解得， 所以，． 【小问2详解】 由题意得：1号与9号座舱的角度差为． 不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，时1号与9号的高度分别为，， 则，， 所以高度， 由参考公式得，上式 从而高度差为，； 当，即，时，解得，， 又，所以或，此时高度差的最大值为． 18. 某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在的概率； （3）已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立．请通过计算说明哪两人参加首场比赛甲获胜的概率最大． 【答案】（1），平均成绩为77.5 （2） （3）首场由甲乙比赛才能使甲获胜的概率最大 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率之和为来求的值，再利用平均数的计算公式求出平均成绩； （2）先根据分层抽样确定两组抽取的人数，然后利用古典概型的概率公式计算至少有名学生成绩在的概率； （3）需要分别计算甲与乙、甲与丙、乙与丙参加首场比赛时甲获胜的概率，再进行比较. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，， 解得． 估计初赛成绩的平均数为：． 所以，平均成绩为77.5 【小问2详解】 由（1）知，成绩在的频率之比为， 则在中随机抽取了人，记为， 在中随机抽取了人，记为， 从5人中随机抽取2人的样本空间为：， 共10个样本点， 设事件“至少有1名学生的成绩在内”， 则，有7个样本点， 因此， 所以至少有1名学生的成绩在内的概率． 【小问3详解】 若首场甲乙比赛，则甲获胜有三种情况： ①甲乙比赛甲胜，甲丙比赛甲胜，概率为， ②甲乙比赛甲胜，甲丙比赛丙胜，丙乙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜的概率为 ③甲乙比赛乙胜，乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜，乙甲比赛甲胜的概率为 所以最终甲获胜的概率为； 若首场甲丙比赛，则甲获胜有三种情况： ①甲丙比赛甲胜，甲乙比赛甲胜的概率为， ②甲丙比赛甲胜，甲乙比赛乙胜，乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜的概率为 ③甲丙比赛丙胜，丙乙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜，甲丙比赛甲胜的概率为 所以最终甲获胜的概率为， 若首场乙丙比赛，则甲获胜有两种情况： ①乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜，甲乙比赛甲胜的概率为 ②乙丙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜，甲丙比赛甲胜的概率为 所以最终甲获胜的概率为， 因为， 所以首场由甲乙比赛才能使甲获胜的概率最大． 19. 如果函数的定义域为，对于定义域内的任意x，存在实数a使得成立，则称此函数具有“性质”． （1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”求出所有a的值；若不具有“性质”，请说明理由． （2）已知具有“性质”，且当时，求在上的最大值． （3）设函数具有“性质”，且当时，．若与交点个数为2023个，求m的值． 【答案】（1）具有“性质”， （2）当时，最大值为；当时，最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目的定义和三角函数诱导公式可得答案； （2）先求出时的解析式，利用二次函数区间最值可得答案； （3）根据“性质”和函数解析式得出函数的周期为1，结合交点个数及简图可得答案. 【小问1详解】 由，所以， 所以函数具有“性质”，其中. 【小问2详解】 因为具有“性质”，所以， 设，则，所以， 当时，在为增函数，所以最大值为； 当时，在单调递减，在单调递增，且， 所以最大值为； 当时，在单调递减，在单调递增，且， 所以最大值为； 当时，在为减函数，所以最大值为； 综上可知，当时，最大值为；当时，最大值为. 【小问3详解】 因为函数具有“性质”， 所以，； 所以，即是以2为周期的函数， 又设，则，. 设，， 当时，，即，； 当时，，即，； 所以对于，，都有， 而，所以， 综上可知是以1为周期的函数. 当时，要使与交点个数为2023个，只要与在区间有2022个交点，而在有一个公共点， 所以过，从而得，部分简图如下； 当时，要使与交点个数为2023个，只要与在区间有2022个交点，而在有一个公共点， 所以过，从而得； 当时，显然不合题意； 综上可知. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有三个：一是理解新定义“性质”；二是根据性质得出函数的周期；三是利用数形结合得出参数的取值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省江西省九江第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题 一、单选题 1. 的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列各式化简结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则 （ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 若是函数的图象的一条对称轴，当取最小正数时： ①在上单调递减 ； ② 在上单调递增； ③在上单调递减 ； ④在上单调递增. 以上论断中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 6. 已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，在函数和的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，且的图象关于点对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 0 8. 设函数，若在区间内恰有4个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内是增函数 B. 是奇函数 C. 的最小正周期是 D. 图像的对称中心是 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的表达式可以写成 C. 的图象向左平移个单位长度后得到的新函数是偶函数 D. 若方程在上有且只有6个根，则 11. 已知定义域为的函数对任意实数，满足：，且，，并且当时，.则下列结论中正确的有（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数在上单调递增 C. 函数是以2为周期的周期函数 D. 三、填空题 12. 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分.若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的弧长为，则此弧田的面积为__________. 13. 设，是两个不共线的向量．若向量与的方向相反，则__________． 14. 已知定义在R上的函数满足，当时，，若对任意，都有，则实数m的最大值为______． 四、解答题 15. 函数的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求函数的解析式和函数的单调递间； （2）的图像向右平行移动个长度单位，再向平移1个长度单位，得到的图像，写出函数解析式并作出在内的图像. 16. 已知函数，记其最小正周期为，若，，若在上单调递增， （1）求的解析式； （2）不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 17. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要． （1）求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； （2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求为何值时高度差最大． （参考公式：，） 18. 某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在的概率； （3）已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立．请通过计算说明哪两人参加首场比赛甲获胜的概率最大． 19. 如果函数的定义域为，对于定义域内的任意x，存在实数a使得成立，则称此函数具有“性质”． （1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”求出所有a的值；若不具有“性质”，请说明理由． （2）已知具有“性质”，且当时，求在上的最大值． （3）设函数具有“性质”，且当时，．若与交点个数为2023个，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $