第04讲 二次函数 新课预习讲义（知识梳理 +题型强化+提升练习）-2025-2026学年人教版九年级数学上册

第04讲 二次函数 新课预习讲义（知识梳理 +题型强化+提升练习）-2025-2026学年九年级数学上册人教版 题型归纳 题型一、二次函数的定义 题型二、列二次函数关系式 知识梳理 一、二次函数的定义 1. 标准形式：一般地，形如的函数，叫做二次函数。 2. 系数要求： 二次项系数 一次项系数 3. 自变量取值范围： 一般情况下，自变量 实际问题中需根据具体情境确定（如长度、面积不能为负） 二、列二次函数关系式 1. 基本步骤： 分析题意，找出等量关系 设自变量和因变量，用字母表示 根据等量关系列出函数关系式 化简关系式为一般形式，并注明自变量取值范围 2. 常见实际问题模型： 图形面积问题（如矩形面积与边长关系） 增长率问题（如利润增长与价格调整关系） 运动轨迹问题（如抛物运动高度与时间关系） 3. 示例： 若矩形的长为 三、二次函数的自变量取值范围 1. 一般情况：自变量 x 可取全体实数。 2. 实际问题：根据具体情境确定取值范围（如时间、长度、面积等不能为负数）。 例：用长为20m的篱笆围矩形场地，设矩形一边长为 x ，面积为 y ，则 ，自变量 x 的取值范围是 四、二次函数的函数值 1. 定义：对于二次函数值称为函数值。 2. 计算方法：将自变量 x 的值代入函数解析式，求出 y 的值。 例：已知二次函数 。 五、注意事项 1. 区分二次函数与一次函数、反比例函数的结构特征 2. 列关系式时需确保右边是关于自变量的整式 3. 实际问题中务必注明自变量的取值范围 题型强化 题型一、二次函数的定义 【典型例题1】下列关于的函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【典型例题2】如果是二次函数，则的值为　 　． 【变式训练】二次函数中，二次项系数是　 　，一次项系数是　 　，常数项是　 　． 题型二、列二次函数关系式 【典型例题1】在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x(0<x<2)的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式是（　　） A．y=x2 B．y=4-x2 C．y=x2-4 D．y=4-2x 【典型例题2】某超市一月份的营业额是200万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，那么营业额关于月平均增长率的函数表达式为　 　. 【变式训练1】某玩具厂7月份生产玩具200万只，9月份生产该玩具y（万只）．设该玩具的月平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式是　 　． 【变式训练2】如图，用长为16m的篱笆，一面利用墙（墙足够长）围成一块留有一扇1m宽的门的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为ym2，则y与x的函数表达式为　 　． 提升练习 一、选择题 1．下列变量之间具有二次函数关系的是（　　） A．圆的周长与半径 B．在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体的质量 C．正三角形的面积与边长 D．匀速行驶的汽车，路程与时间 2．下列各式中，是关于的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 3．函数是关于的二次函数，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．已知二次函数，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是（　　） A． B． C． D． 5．已知一个直角三角形两直角边长的和为10，设其中一条直角边长为x，则直角三角形的面积y与x之间的函数关系式是（　　） A．y=-x2+5x B．y=-x2+10x C．y=x2+5x D．y=x2+10x 6．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染.则y与x的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 7．已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（　　） A．w=(x－30)(－2x+80) B．w=x(－2x+80) C．w=30(－2x+80) D．w=x(－2x+50) 8．如图，正方形和的周长之和为，设圆的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 四、填空题 9．若是关于自变量x的二次函数，则n＝　 　． 10．用一根长为80cm的铁丝，把它弯成一个矩形，设矩形的面积为ycm2，一边长为xcm，则y与x的函数表达式为　 　（化为一般式） 11．观察：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．这六个式子中二次函数有　 　．（只填序号） 12．已知方程 ，请你通过变形把它写成一个你所熟悉的函数表达式的形式，则函数表达式为　 　，成立的条件是　 　，是　 　函数． 13．如图，用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABCD，墙长为18m，设AD的长为xm，菜园ABCD的面积为ym2，则函数y关于自变量x的函数关系式是　 　，x的取值范围是　 　． 五、解答题 14．已知函数y=m(m+1)x3+mx2+2x+1． （1）当m为何值时，y是关于x的二次函数？ （2） 当m为何值时，y是关于x的一次函数？ 15．若函数是以x为自变量的二次函数． （1）求k的值； （2）当函数值时，求自变量x的值． 16．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，两直角边AB，BC的和为8，设BC=x． （1）求Rt△ABC的面积S关于x的函数表达式及x的取值范围． （2）分别求当x=1，4，6时，S的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次函数 新课预习讲义（知识梳理 +题型强化+提升练习）-2025-2026学年九年级数学上册人教版 题型归纳 题型一、二次函数的定义 题型二、列二次函数关系式 知识梳理 一、二次函数的定义 1. 标准形式：一般地，形如的函数，叫做二次函数。 2. 系数要求： 二次项系数 一次项系数 3. 自变量取值范围： 一般情况下，自变量 实际问题中需根据具体情境确定（如长度、面积不能为负） 二、列二次函数关系式 1. 基本步骤： 分析题意，找出等量关系 设自变量和因变量，用字母表示 根据等量关系列出函数关系式 化简关系式为一般形式，并注明自变量取值范围 2. 常见实际问题模型： 图形面积问题（如矩形面积与边长关系） 增长率问题（如利润增长与价格调整关系） 运动轨迹问题（如抛物运动高度与时间关系） 3. 示例： 若矩形的长为 三、二次函数的自变量取值范围 1. 一般情况：自变量 x 可取全体实数。 2. 实际问题：根据具体情境确定取值范围（如时间、长度、面积等不能为负数）。 例：用长为20m的篱笆围矩形场地，设矩形一边长为 x ，面积为 y ，则 ，自变量 x 的取值范围是 四、二次函数的函数值 1. 定义：对于二次函数值称为函数值。 2. 计算方法：将自变量 x 的值代入函数解析式，求出 y 的值。 例：已知二次函数 。 五、注意事项 1. 区分二次函数与一次函数、反比例函数的结构特征 2. 列关系式时需确保右边是关于自变量的整式 3. 实际问题中务必注明自变量的取值范围 题型强化 一、二次函数的定义 【典型例题1】下列关于的函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：A．是一次函数，故选项A不符合题意； B．是三次函数，故选项B不符合题意； C．不是二次函数，故选项C不符合题意； D．是二次函数，故选项D符合题意； 故答案为：D． 【分析】形如 (a、b、c为常数，)的函数叫做二次函数．根据二次函数的定义，逐项判断即可求解． 【典型例题2】如果是二次函数，则的值为　 　． 【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：函数是二次函数， ，， 解得：或， 解得：， ， 故答案为：． 【分析】根据二次函数的定义即可求出答案. 【变式训练】二次函数中，二次项系数是　 　，一次项系数是　 　，常数项是　 　． 【答案】3；；5 【解析】【解答】解：由，得它的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5． 故答案是：3，，5． 【分析】利用一元二次方程中二次项系数、一次项系数和常数项的定义分析求解即可. 二、列二次函数关系式 【典型例题1】在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x(0<x<2)的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式是（　　） A．y=x2 B．y=4-x2 C．y=x2-4 D．y=4-2x 【答案】B 【解析】【解答】解：设剩下部分的面积为y， 根据题意可得：y＝−x2＋4（0＜x＜2）， 故答案为：B． 【分析】利用“剩余部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积”列出函数解析式即可. 【典型例题2】某超市一月份的营业额是200万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，那么营业额关于月平均增长率的函数表达式为　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：二月份的营业额为200(1+x)万元，三月份的营业额为200(1+x)(1+x)万元， 由题意得：y=200+200(1+x)+200(1+x)(1+x)=200+200(1+x)+200(1+x)2 故答案为：y=200+200(1+x)+200(1+x)2. 【分析】根据平均增长率问题分别表示出二月份与三月份的营业额，进而根据 一月、二月、三月的营业额共 y万元列出函数解析式. 【变式训练1】某玩具厂7月份生产玩具200万只，9月份生产该玩具y（万只）．设该玩具的月平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式是　 　． 【答案】y=200（1+x）2 【解析】【解答】解：根据题意得：y=200（1+x）2． 故答案为：y=200（1+x）2. 【分析】利用玩具厂9月份生产该玩具的数量=玩具厂7月份生产该玩具的数量×（1+该玩具的月平均增长率）2，即可找出y与x之间的函数表达式． 【变式训练2】如图，用长为16m的篱笆，一面利用墙（墙足够长）围成一块留有一扇1m宽的门的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为ym2，则y与x的函数表达式为　 　． 【答案】y=－2x2+17x 【解析】【解答】解：由题意得 y=x（16+1-2x）=－2x2+17x . 故答案为：y=－2x2+17x . 【分析】利用已知条件可知16=2AB+长，就可求出花圃的长，再利用长方形的面积公式可得到y与x之间的函数解析式。 提升练习 一、选择题 1．下列变量之间具有二次函数关系的是（　　） A．圆的周长与半径 B．在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体的质量 C．正三角形的面积与边长 D．匀速行驶的汽车，路程与时间 【答案】C 【解析】【解答】解：A、圆的周长C与半径r的关系为，是一次函数关系，故此选项不符合题意； B、在弹性限度内，弹簧的长度y是随着所挂物体质量的增大而增长的，是一次函数关系，故此选项不符合题意； C、正三角形的面积S与边长a的关系是，是二次函数关系，符合题意； D、匀速行驶的汽车，路程s与时间t之间的关系为s=vt，是一次函数关系，故此选项不符合题意. 故答案为：C. 【分析】先根据题意分别写出两个变量之间的关系式，进而根据形如“y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)”的函数就是二次函数，即可逐一判断得出答案. 2．下列各式中，是关于的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：A：不是二次函数； B：是一次函数，不是二次函数； C：是二次函数； D：不是函数，即不是二次函数； 故答案为：C. 【分析】根据二次函数的定义“形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数是二次函数”逐项判断即可. 3．函数是关于的二次函数，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：由题意得：m2-7=2，且m-3≠0， ∴m=-3. 故答案为：C. 【分析】根据二次函数的定义即可求得. 4．已知二次函数，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵函数是二次函数， ∴，，． 故答案为：D． 【分析】先将函数化简为一般式，再利用二次项（系数）的定义、一次项（系数）的定义及常数项的定义（ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项）分析求解即可. 5．已知一个直角三角形两直角边长的和为10，设其中一条直角边长为x，则直角三角形的面积y与x之间的函数关系式是（　　） A．y=-x2+5x B．y=-x2+10x C．y=x2+5x D．y=x2+10x 【答案】A 【解析】【解答】解： 设其中一条直角边长为x ，∵直角三角形两直角边长的和为10 ，∴另外一条直角边为则直角三角形的面积为： 故答案为：A. 【分析】本题主要考查二次函数与几何面积的实际运用，根据题意求出直角三角形的另外一条直角边，再运用三角形的面积公式求解即可. 6．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染.则y与x的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：∵每轮传染平均1人会传染x个人， ∴2人感染时，一轮可传染2x人， ∴一轮感染的总人数为2x+2=2(1+x)人； ∵每轮传染平均1人会传染x个人， ∴2(1+x)人感染时，二轮可传染2(1+x)x人， ∴二轮感染的总人数为[2(1+x)+ 2(1+x)x]= 人； ∴ ， 故答案为：A. 【分析】由于每轮传染平均1人会传染x个人，可得一轮感染的总人数为2x+2=2(1+x)人，继而得出二轮感染的总人数为[2(1+x)+ 2(1+x)x]= 人，据此即得结论. 7．已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（　　） A．w=(x－30)(－2x+80) B．w=x(－2x+80) C．w=30(－2x+80) D．w=x(－2x+50) 【答案】A 【解析】【解答】解：根据题意得：w=（x-30）y， 即w=（x-30）（-2x+80）． 故答案为：A. 【分析】利用这种产品每天的销售利润=每千克的销售利润×每天的销售量，即可找出w与x之间的函数表达式． 8．如图，正方形和的周长之和为，设圆的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 【答案】B 【解析】【解答】解：∵正方形和的周长之和为，圆的半径为，正方形的边长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系， 故答案为：B． 【分析】根据题意直接求出函数解析式，再判断即可。 二、填空题 9．若是关于自变量x的二次函数，则n＝　 　． 【答案】2 【解析】【解答】由题意得： 解得n=2 【分析】根据 是关于自变量x的二次函数， 得解之得出结论. 10．用一根长为80cm的铁丝，把它弯成一个矩形，设矩形的面积为ycm2，一边长为xcm，则y与x的函数表达式为　 　（化为一般式） 【答案】 【解析】【解答】解：由题意得：矩形的另一边长=80÷2-x=40-x， ∴y=x（40-x）= ． 故答案为 ． 【分析】由矩形的一边长为xcm，周长为80cm，可求出矩形的另一边长=40-x，根据矩形的面积=长×宽解答即可. 11．观察：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．这六个式子中二次函数有　 　．（只填序号） 【答案】①②③④ 【解析】【解答】解：这六个式子中，二次函数有：①y=6x2；②y=-3x2+5③y=200x2+400x+200；④ ． 故答案为：①②③④． 【分析】根据二次函数的定义逐项进行判断，即可求解. 12．已知方程 ，请你通过变形把它写成一个你所熟悉的函数表达式的形式，则函数表达式为　 　，成立的条件是　 　，是　 　函数． 【答案】；a、c均不为0；二次 【解析】【解答】(1). ， ，(2)a、c均不为0， (3)是二次函数. 【分析】将方程转化为y是x的函数解析式，再根据二次项的系数≠0.即可解答。 13．如图，用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABCD，墙长为18m，设AD的长为xm，菜园ABCD的面积为ym2，则函数y关于自变量x的函数关系式是　 　，x的取值范围是　 　． 【答案】y=﹣2x2+40x；11≤x＜20 【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=x，AB=40-2x， ∴y=x（40-2x）， ∵0＜40-2x≤18， ∴11≤x＜20． 故答案是：y=x（40-2x），11≤x＜20． 【分析】先用含x的代数式表示出与墙平行的边长，再由矩形的面积公式即可得出结论。 五、解答题 14．已知函数y=m(m+1)x3+mx2+2x+1． （1）当m为何值时，y是关于x的二次函数？ （2） 当m为何值时，y是关于x的一次函数？ 【答案】（1）解：∵函数y=m(m+1)x3+mx2+2x+1是关于x的二次函数， ∴， ∴m= -1； （2）解：∵函数y=m(m+1)x3+mx2+2x+1是关于x的一次函数， ∴， ∴m=0. 【解析】【分析】（1）根据二次函数的定义得出，即可得出m= -1； （2）根据一次函数的定义得出，即可得出m=0. 15．若函数是以x为自变量的二次函数． （1）求k的值； （2）当函数值时，求自变量x的值． 【答案】（1）解：依题意有， 解得：，∴k的值为3 （2）解：把代入函数解析式中得：， 当，时，， 【解析】【分析】（1）根据二次函数的定义得出，求出k的值即可； （2）把代入函数解析式中得出，再把代入得出，解关于x的方程即可． 16．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，两直角边AB，BC的和为8，设BC=x． （1）求Rt△ABC的面积S关于x的函数表达式及x的取值范围． （2）分别求当x=1，4，6时，S的值． 【答案】（1）解：由题意得：BC=x，则AB=8-x，且0＜x＜8， 则Rt△ABC的面积S==x（8-x）=-x2+4x（0＜x＜8）， 所以Rt△ABC的面积S关于x的函数表达式为：S=-x2+4x（0＜x＜8）； （2）解：将x=1代入S=-x2+4x中得： S=-+4=； 将x=4代入S=-x2+4x中得： S=-×16+4×4=8； 将x=6代入S=-x2+4x中得： S=-×36+4×6=6. 【解析】【分析】（1）利用已知条件可表示出AB的长，再利用直角三角形的面积公式，可得到s与x的函数解析式，同时可得到x的取值范围. （2）分别将x=1，4，6代入函数解析式，可得到对应的s的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$