第05讲 二次函数y＝ax2的图象和性质 新课预习讲义（知识梳理 +题型强化+提升练习）-2025-2026学年人教版九年级数学上册

第05讲 二次函数y＝ax2的图象和性质 新课预习讲义（知识梳理 +题型强化+提升练习）-2025-2026学年九年级数学上册人教版 题型归纳 题型一、二次函数y=ax²的图象 题型二、二次函数y=ax²的性质 知识梳理 一、二次函数y=ax²的图象 1. 图象定义 二次函数 2. 图象画法（描点法） 步骤： 列表：计算对应的 x -3 -2 -1 0 1 2 3 9 4 1 0 1 4 9 -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 描点：在平面直角坐标系中描出对应点。 连线：用平滑曲线连接各点，得到抛物线。 3. 图象特征 顶点：抛物线的最高点或最低点，坐标为 (0, 0)（原点）。 对称轴：通过顶点且垂直于抛物线开口方向的直线，即 y 轴（直线 x = 0 ）。 开口方向与大小： ， 开口窄）。 二、二次函数y=ax²的性质 核心性质对比（ a > 0 与 a < 0 ） 性质 当 a > 0 时 当 a < 0 时 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0, 0)（最低点） (0, 0)（最高点） 对称轴 y 轴（直线 x = 0 ） y 轴（直线 x = 0 ） 增减性 - - - - 最值 最小值为 0（当 x = 0 时取得） 最大值为 0（当 x = 0 时取得） 函数值范围 关键结论总结 ； 题型强化 题型一、二次函数y=ax²的图象 【典型例题1】二次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：函数是二次函数，它的图象是抛物线，只有A、C、D符合；二次函数中，a=-2<0，所以它的图象的开口向下，只有D符合. 故答案为：D. 【分析】根据二次函数的二次项系数的符号，判断抛物线的开口方向即可. 【典型例题2】二次函数的图象是一条　 　，它关于　 　对称，顶点是　 　.当　 　0时，抛物线开口向上，顶点是最　 　点；当　 　0时，抛物线开口　 　，顶点是最　 　点；在同一平面直角坐标系中，|a|越大，开口越　 　. 【答案】抛物线；y轴；；；低；<；向下；高；小 【解析】【解答】解： 二次函数的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是（0，0）.当＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；在同一平面直角坐标系中，|a|越大，开口越小. 故答案为：抛物线，y轴，（0，0），＞，低，<，向下，高，小. 【分析】根据二次函数的图象解答即可. 【变式训练1】二次函数y=x2的图象经过的象限是（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】A 【解析】【解答】解：∵y=x2， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0）， ∴抛物线经过第一，二象限． 故答案为：A． 【分析】根据题意先求出抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），再求解即可。 【变式训练2】已知点，均在抛物线上，下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】【解答】A.若，则，故本选项不符合题意； B.若，则，故本选项不符合题意； C.若，则，故本选项不符合题意； D.若，则，故本选项符合题意； 故答案为：D． 【分析】结合函数图象，利用二次函数的性质逐项判断即可。 二、二次函数y=ax²的性质 【典型例题1】已知二次函数，当时，y随x增大而减小，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵二次函数，当时，y随x增大而减小， ∴a-1>0， ∴， 故答案为：D 【分析】根据二次函数的性质即可求出答案. 【典型例题2】抛物线的共同性质是（　　） A．开口向上 B．对称轴是轴 C．都有最高点 D．随的增大而增大 【答案】B 【解析】【解答】解：抛物线，，共有的性质是： 顶点坐标是都是即原点，对称轴都是y轴， 故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意． 故答案为：B. 【分析】根据二次函数的性质，即可解答． 【变式训练1】对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如表所示（其中a、b均不为0，），根据二次函数图象的相关性质可知：　 　，　 　. 1 【答案】-1；3 【解析】【解答】解：和对称轴都为轴， 可将表格中的数表示为坐标 两点纵坐标相等，且 横坐标关于轴对称 故答案为：-1；3. 【分析】根据x=1与x=c对应的y=ax2的值相等可得c=-1，由（1，n+3）、（c，m）的横坐标关于y轴对称可得m=n+3，变形可得m-n的值. 【变式训练2】已知点A（﹣2，y1），B（5，y2）为函数y＝x2＋a图象上的两点，比较：y1　 　y2． 【答案】＜ 【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2＋a， ∴图象开口向上，对称轴为y轴， ∴A（﹣2，y1）与（2，y1）关于y轴对称 ∵当x＞0时，y随x的增大而增大，且5＞2 ∴y1＜y2． 故答案为＜． 【分析】有函数解析式可得函数的对称轴为y轴，再利用函数的性质求解即可。 提升练习 一、选择题 1．抛物线y＝2x2﹣3的顶点在（　　） A．x轴正半轴上 B．x轴负半轴上 C．y轴正半轴上 D．y轴负半轴上 【答案】D 【解析】【解答】解：∵抛物线的解析式为 ， ∴其顶点坐标为（0，-3）， ∴抛物线的顶点坐标在y轴负半轴上， 故答案为：D． 【分析】根据抛物线的点坐标求解即可。 2．关于二次函数 下列说法正确的是（　　）． A．有最大值-2 B．有最小值-2 C．对称轴是 D．对称轴是 【答案】A 【解析】【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2﹣2， ∴a＝﹣1，开口向下，有最大值y＝﹣2， ∴选项A符合题意，选项B不符合题意； ∵二次函数y＝﹣x2﹣2的对称轴为直线x＝0， ∴选项C、D不符合题意， 故答案为：A． 【分析】利用二次函数的性质即可判断出各个选项中的结论是否正确。 3．若抛物线 的顶点在 轴正半轴上，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】A 【解析】【解答】根据题意可得： ， 解得：m=5， 故答案为：A． 【分析】由已知函数的顶点再x轴的正半轴上，可得出m＞0且m2-4m-3=2，求解即可。 4．下列选项中，能描述函数 与图象 的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵ab＜0， 当a＞0时，b＜0，抛物线y=ax2开口向上，直线y=ax+b经过一、三、四象限，故A不符合题意，D符合题意； 当a＜0时，b＞0，抛物线y=ax2开口向下，直线y=ax+b经过一、二、四象限，故B、C不符合题意； 即D符合题意． 故答案为：D． 【分析】当a＞0时，由抛物线y=ax2开口方向及直线y=ax+b经过的象限可排除A、C选项；当a＜0时，由抛物线y=ax2开口方向及直线y=ax+b经过的象限可排除B选项．此题得解． 5．若二次函数 的图象过点 ，则必在该图象上的点还有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：把 代入 得， 解得： 所以二次函数解析式： . A.当 时， ，故 在函数图象上，但因题目中已给出，重复，故不符合题意； B. 当 时， ，故 不在函数图象上； C. 当 时， ，故 在函数图象上； D. 当 时， ，故 不在函数图象上； 故答案为：C. 【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，再把各点代入函数式验证即可判断是否在图象上. 6．抛物线 的图像经过点 ， ， ，则 ， ， 大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】∵二次函数的解析式为y＝2x2−1， ∴抛物线的对称轴为y轴， ∵A（−3，y1），B（1，y2），C（4，y3）， ∴点C离y轴最远，点B离y轴最近， ∵抛物线开口向上， ∴y2＜y1＜y3． 故答案为：C． 【分析】根据二次函数的解析式，可以知道函数的对称轴为y轴，再结合草图，利用二次函数的性质求解即可。 四、填空题 7．抛物线y＝﹣x2+5的开口方向是向 　 　． 【答案】下 【解析】【解答】解：∵-1＜0 ∴ 抛物线y＝﹣x2+5的开口方向是下 故答案为：下. 【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c中二次项系数a决定抛物线的开口，当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下. 8． 请写出一个图象开口向上，且与y轴交于点（0，2）的二次函数的解析式 　 　． 【答案】y＝3x2+2（答案不唯一）． 【解析】【解答】开口向上， a>0， 且与y轴交于点（0，2） 这样的二次函数的解析式 为y＝3x2+2（答案不唯一）． 【分析】根据二次函数的性质，开口向上，得出a的值为正数即可，进而求解. 9．若均在二次函数图象上，则　 　（填“>”“=”“<”）． 【答案】 【解析】【解答】解：的对称轴为轴，抛物线开口向上，x＜0时，随的增大而减小， ， ． 故答案为：． 【分析】根据二次函数图象的性质可得x＜0时，随的增大而减小，即可求得. 10．函数的对称轴是　 　，顶点坐标为　 　，开口向　 　，顶点是抛物线的　 　，抛物线在轴的　 　(除顶点外). 【答案】直线(或轴)；；下；最高点；下方 【解析】【解答】解： 函数的对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0），开口向向上，顶点是抛物线的最高点，抛物线在轴的下方(除顶点外). 故答案为：直线(或轴)、、下、最高点、下方. 【分析】函数（a≠0）的对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0），当a＞0时，顶点是抛物线的最低点，当a＜0时，顶点是抛物线的最高点，据此解答即可. 11．如图所示，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作函数与的图象，阴影部分的面积是　 　. 【答案】8 【解析】【解答】解： ∵函数与的图象关于x轴对称， ∴图中的阴影部分的面积是图中正方形的面积的一半， ∴阴影部分的面积=4×4×=8， 故答案为：8. 【分析】由抛物线的对称性可知图中的阴影部分的面积是图中正方形的面积的一半，据此计算即可. 12．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线 上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B．点C、D为线段AB的三等分点，分别过点C、D作x轴的垂线，交抛物线于点E、F，连接EF．若CE=16，则线段EF的长为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：设， 与 轴的交点为H， 根据题意可得， C的纵坐标为 则，解得 故答案为 ． 【分析】设，则，再结合求出，即可得到。 五、解答题 13．已知函数是关于x的二次函数． 求： （1）满足条件的m值； （2）当m为何值时，抛物线有最低点？求出此最低点，在这种情况下，当x为何值时，y随着x增大而增大？ 【答案】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得，， 即m的值是-3或2； （2）解：由（1）知，或2， 故或， ∴当时，该抛物线开口向上，有最低点， 当时，，该函数的最低点的坐标为，当时，y随x的增大而增大． 【解析】【分析】（1）根据二次函数的定义可得，解方程即可求出答案； （2）根据二次函数的性质即可求出答案. 14．二次函数y＝ax2的图象与直线y＝2x－1交于点P(1，m)． （1）求a、m的值； （2）写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？ （3）指出抛物线的顶点坐标和对称轴． 【答案】（1）解： 把P代入y=2x-1中得：m=2×1-1=1， 则P(1,1), 把P代入 y＝ax2 中得：1=a×1， ∴a=1; （2）解： 由题（1）得y=x2, ∵a=1>0, 对称轴x=0, ∴当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0时，y随x的增大而减小； （3）抛物线的顶点坐标为(0,0), 对称轴x=0. 【解析】【分析】（1）把P代入y=2x-1中, 则可求出m值，P的坐标可确定，再把P代入 y＝ax2 中，求出a值即可. （2）a值已确定，则二次函数的解析式可定，因为a>0, 对称轴x=0, 所以当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0时，y随x的增大而减小； （3） y＝ax2 图象的顶点坐标为(0,0), 对称轴x=0. 15．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． （1）求的值，并画出它的图象； （2）如果点是此二次函数的图象上一点，若，求的取值范围． 【答案】（1）解：由 是二次函数，且当 时，y随x的增大而增大，得 ， 解得： 或 （舍去）； 二次函数的解析式为 ， 如图所示： （2）解：点 是此二次函数的图象上一点， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时，n取最大值， ， ∴当 时， ． 【解析】【分析】(1)根据二次函数的次数是2，可得方程 ，根据二次函数性质当时，随的增大而增大．可得 ，可得出答案K=-3； (2)求当时，；当时，，然后关键二次函数的性质即可得出n的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 二次函数y＝ax2的图象和性质 新课预习讲义（知识梳理 +题型强化+提升练习）-2025-2026学年九年级数学上册人教版 题型归纳 题型一、二次函数y=ax²的图象 题型二、二次函数y=ax²的性质 知识梳理 一、二次函数y=ax²的图象 1. 图象定义 二次函数 2. 图象画法（描点法） 步骤： 列表：计算对应的 x -3 -2 -1 0 1 2 3 9 4 1 0 1 4 9 -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 描点：在平面直角坐标系中描出对应点。 连线：用平滑曲线连接各点，得到抛物线。 3. 图象特征 顶点：抛物线的最高点或最低点，坐标为 (0, 0)（原点）。 对称轴：通过顶点且垂直于抛物线开口方向的直线，即 y 轴（直线 x = 0 ）。 开口方向与大小： ， 开口窄）。 二、二次函数y=ax²的性质 核心性质对比（ a > 0 与 a < 0 ） 性质 当 a > 0 时 当 a < 0 时 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0, 0)（最低点） (0, 0)（最高点） 对称轴 y 轴（直线 x = 0 ） y 轴（直线 x = 0 ） 增减性 - - - - 最值 最小值为 0（当 x = 0 时取得） 最大值为 0（当 x = 0 时取得） 函数值范围 关键结论总结 ； 题型强化 题型一、二次函数y=ax²的图象 【典型例题1】二次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【典型例题2】二次函数的图象是一条　 　，它关于　 　对称，顶点是　 　.当　 　0时，抛物线开口向上，顶点是最　 　点；当　 　0时，抛物线开口　 　，顶点是最　 　点；在同一平面直角坐标系中，|a|越大，开口越　 　. 【变式训练1】二次函数y=x2的图象经过的象限是（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【变式训练2】已知点，均在抛物线上，下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型二、二次函数y=ax²的性质 【典型例题1】已知二次函数，当时，y随x增大而减小，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【典型例题2】抛物线的共同性质是（　　） A．开口向上 B．对称轴是轴 C．都有最高点 D．随的增大而增大 【变式训练1】对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如表所示（其中a、b均不为0，），根据二次函数图象的相关性质可知：　 　，　 　. 1 【变式训练2】已知点A（﹣2，y1），B（5，y2）为函数y＝x2＋a图象上的两点，比较：y1　 　y2． 提升练习 一、选择题 1．抛物线y＝2x2﹣3的顶点在（　　） A．x轴正半轴上 B．x轴负半轴上 C．y轴正半轴上 D．y轴负半轴上 2．关于二次函数 下列说法正确的是（　　）． A．有最大值-2 B．有最小值-2 C．对称轴是 D．对称轴是 3．若抛物线 的顶点在 轴正半轴上，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 4．下列选项中，能描述函数 与图象 的是（　　） A． B． C． D． 5．若二次函数 的图象过点 ，则必在该图象上的点还有（　　） A． B． C． D． 6．抛物线 的图像经过点 ， ， ，则 ， ， 大小关系是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．抛物线y＝﹣x2+5的开口方向是向 　 　． 8． 请写出一个图象开口向上，且与y轴交于点（0，2）的二次函数的解析式 　 　． 9．若均在二次函数图象上，则　 　（填“>”“=”“<”）． 10．函数的对称轴是　 　，顶点坐标为　 　，开口向　 　，顶点是抛物线的　 　，抛物线在轴的　 　(除顶点外). 11．如图所示，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作函数与的图象，阴影部分的面积是　 　. 12．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线 上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B．点C、D为线段AB的三等分点，分别过点C、D作x轴的垂线，交抛物线于点E、F，连接EF．若CE=16，则线段EF的长为　 　． 三、解答题 13．已知函数是关于x的二次函数． 求： （1）满足条件的m值； （2）当m为何值时，抛物线有最低点？求出此最低点，在这种情况下，当x为何值时，y随着x增大而增大？ 14．二次函数y＝ax2的图象与直线y＝2x－1交于点P(1，m)． （1）求a、m的值； （2）写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？ （3）指出抛物线的顶点坐标和对称轴． 15．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． （1）求的值，并画出它的图象； （2）如果点是此二次函数的图象上一点，若，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$