第06讲 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质 预习讲义 -2025-2026学年人教版九年级数学上册

第06讲 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质 新课预习讲义（知识梳理 +题型强化+提升练习）-2025-2026学年九年级数学上册人教版 题型归纳 题型一、二次函数y=a（x-h）²+k的图象 题型二、二次函数y=a（x-h）²+k的性质 题型三、二次函数图象的平移变换 题型四、利用顶点式求二次函数解析式 知识梳理 一、二次函数y=a(x-h)²+k的图象 1. 图象形状：抛物线，与y=ax²的形状相同，位置不同 2. 开口方向： 当 当a＜0时，开口向下 3. 顶点坐标： 4. 对称轴： 二、二次函数y=a(x-h)²+k的性质 1. 对称轴： 2. 顶点坐标 3. 最值情况： 当 当 4. 增减性： 当a＞0时： 当a＜0时： 在对称轴左侧 在对称轴右侧 5. a的作用： 三、二次函数图象的平移变换 1. 平移规律："左加右减自变量，上加下减常数项" 2. 具体平移步骤： 由y=ax²平移得到y=a(x-h)²+k： (1) 先沿x轴平移|h|个单位：h＞0向右移，h&lt;0向左移 (2) 再沿y轴平移|k|个单位：k＞0向上移，k&lt;0向下移 3. 平移示例： 四、利用顶点式求二次函数解析式 1. 已知条件： 2. 求解步骤： 设二次函数解析式为y=a(x-h)²+k 将另一点(x₀,y₀)代入解析式，得到方程：y₀=a(x₀-h)²+k 解方程求出a的值 将a、h、k的值代入顶点式，得到二次函数解析式 3. 示例： 已知抛物线顶点为(2,-3)，且经过点(4,1)，求解析式 解：设y=a(x-2)²-3，代入(4,1)得1=a(4-2)²-3，解得a=1 所以解析式为y=(x-2)²-3 = x²-4x+1 五、易错点提示 1. 平移方向：h的符号与平移方向相反（h&gt;0向右移，h&lt;0向左移） 2. 符号处理：顶点式中(x-h)的形式，当h为负数时要注意符号变化 3. 最值判断：a的符号决定函数有最大值还是最小值 4. 增减性：要结合开口方向和对称轴判断函数的增减区间 题型强化 题型一、二次函数y=a（x-h）²+k的图象 【典型例题1】二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A．（2，1） B．（-2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1） 【典型例题2】关于二次函数，下列说法中正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当时，随的增大而增大 C．图象的顶点坐标是 D．当时，有最小值是5 【典型例题3】若二次函数y＝2（x﹣1）2的图象如图所示，则坐标原点可能是（　　） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 【典型例题4】已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y=（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 题型二、二次函数y=a（x-h）²+k的性质 【典型例题1】抛物线的顶点在第几象限（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典型例题2】二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为（　　） x … 0 1 2 3 … y … 15 10 7 6 7 … A．15 B．10 C．7 D．6 【典型例题3】若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是(　　) A． B． C． D． 【典型例题4】如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为(▲) A．－3 B．1 C．5 D．8 题型三、二次函数图象的平移变换 【典型例题1】抛物线可由抛物线（　　）平移得到． A．向上平移2个单位 B．向下平移2个单位 C．向左平移2个单位 D．向右平移2个单位 【典型例题2】将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是（　　） A．(5，4) B．(1，-2) C．(-1，-2) D．(-5，-2) 【典型例题3】为使抛物线C1：y=3（x-1）2+2与抛物线C2：y=3（x+1）2-2重合，下列平移能实现的是（　　） A．把C1先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 B．把C1先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 C．把C1先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．把C1先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 【典型例题4】将抛物线 先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，则平移后的抛物线解析式为（ ） A． B． C． D． 题型四、利用顶点式求二次函数解析式 【典型例题1】抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【典型例题2】已知抛物线的顶点坐标是(2，1)，且抛物线经过点(3，0)，则这条抛物线的函数表达式是() A．y=(x-2)2+1 B．y=(x+2)2+1 C．y=-(x+2)2+1 D．y=-(x-2)2+1 【典型例题3】将下图所示的抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的函数表达式是(　　) A．y=(x-1)2+1 B．y=(x+1)2+1 C．y=2(x-1)2+1 D．y=2(x+1)2+1 提升练习 一、选择题 1．二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线的是（　　） A． B． C． D． 3．将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线为（　　） A． B． C． D． 4．已知二次函数的图象上有三点，，，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 5．将抛物线如何平移就可得到抛物线（　　） A．向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 6．已知点 ， 是抛物线 图像上的两点，则以下结论正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．若二次函数，则此二次函数图象的对称轴是　 　． 8． 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2（x-1）2+k经过点A（2，m），B（3，n）．则m　 　n（填“＞”，“＝”或“＜”）． 9．将二次函数的图象向下平移个单位长度后，所得到的二次函数图象经过点，则的值为　 　． 10．已知二次函数y＝（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为4，则h的值为　 　. 11．如图所示的抛物线过原点，将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为　 　． 12．如图，这是抛物线的部分图象，则　 　 ；若，则自变量的取值范围是　 　 ． 七、解答题 13．一个二次函数，其图像由抛物线向右平移1个单位所得． （1）写出平移后的抛物线的函数表达式； （2）若将（1）中的抛物线再向上平移个单位后经过点，求k的值． 14．已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，求此函数的最大值与最小值． 15．如图，直线y1=-x-2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y2=ax2+bx+c的顶点为A，且经过点B. （1）求该抛物线的解析式； （2）求当y1≥y2时x的值. 16．如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边长为 ，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线 经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接 、 、 . （1）求此抛物线的解析式. （2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形 的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质 新课预习讲义（知识梳理 +题型强化+提升练习）-2025-2026学年九年级数学上册人教版 题型归纳 题型一、二次函数y=a（x-h）²+k的图象 题型二、二次函数y=a（x-h）²+k的性质 题型三、二次函数图象的平移变换 题型四、利用顶点式求二次函数解析式 知识梳理 一、二次函数y=a(x-h)²+k的图象 1. 图象形状：抛物线，与y=ax²的形状相同，位置不同 2. 开口方向： 当 当a＜0时，开口向下 3. 顶点坐标： 4. 对称轴： 二、二次函数y=a(x-h)²+k的性质 1. 对称轴： 2. 顶点坐标 3. 最值情况： 当 当 4. 增减性： 当a＞0时： 当a＜0时： 在对称轴左侧 在对称轴右侧 5. a的作用： 三、二次函数图象的平移变换 1. 平移规律："左加右减自变量，上加下减常数项" 2. 具体平移步骤： 由y=ax²平移得到y=a(x-h)²+k： (1) 先沿x轴平移|h|个单位：h＞0向右移，h&lt;0向左移 (2) 再沿y轴平移|k|个单位：k＞0向上移，k&lt;0向下移 3. 平移示例： 四、利用顶点式求二次函数解析式 1. 已知条件： 2. 求解步骤： 设二次函数解析式为y=a(x-h)²+k 将另一点(x₀,y₀)代入解析式，得到方程：y₀=a(x₀-h)²+k 解方程求出a的值 将a、h、k的值代入顶点式，得到二次函数解析式 3. 示例： 已知抛物线顶点为(2,-3)，且经过点(4,1)，求解析式 解：设y=a(x-2)²-3，代入(4,1)得1=a(4-2)²-3，解得a=1 所以解析式为y=(x-2)²-3 = x²-4x+1 五、易错点提示 1. 平移方向：h的符号与平移方向相反（h&gt;0向右移，h&lt;0向左移） 2. 符号处理：顶点式中(x-h)的形式，当h为负数时要注意符号变化 3. 最值判断：a的符号决定函数有最大值还是最小值 4. 增减性：要结合开口方向和对称轴判断函数的增减区间 题型强化 题型一、二次函数y=a（x-h）²+k的图象 【典型例题1】二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A．（2，1） B．（-2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1） 【答案】A 【解析】【解答】解：二次函数的顶点坐标为（2，1） 故答案为：A． 【分析】 根据二次函数的顶点坐标为 解题即可． 【典型例题2】关于二次函数，下列说法中正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当时，随的增大而增大 C．图象的顶点坐标是 D．当时，有最小值是5 【答案】C 【解析】【解答】解：二次函数中， ，函数图象开口向下，A不符合题意； 函数图象的顶点坐标是，当时，函数有最大值，最大值是5，C符合题意，D不符合题意； 函数图象的对称轴为，时y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小，B不符合题意． 故答案为：C． 【分析】利用二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质及二次函数的最值逐项判断即可。 【典型例题3】若二次函数y＝2（x﹣1）2的图象如图所示，则坐标原点可能是（　　） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 【答案】B 【解析】【解答】解：∵y＝2（x﹣1）2， ∴抛物线顶点坐标为（1，0）， ∴坐标原点在抛物线顶点左侧. 故A、C、D选项错误，选项B正确. 故答案为：B. 【分析】根据二次函数的解析式可得顶点坐标为（1，0），则坐标原点在抛物线顶点左侧，据此判断. 【典型例题4】已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y=（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵y=（x+1）2+2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1，顶点为抛物线最低点，坐标为（-1，2）， ∵2-（-1）＞1-（-1）， ∴y2＞y1＞2． 故答案为：D． 【分析】根据抛物线的图象可得结论. 二、二次函数y=a（x-h）²+k的性质 【典型例题1】抛物线的顶点在第几象限（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】【解答】解：抛物线的顶点为， 顶点在第三象限． 故选：C． 【分析】本题考查二次函数的性质、点所在的象限.根据二次函数的顶点式求出顶点坐标为，再根据横纵坐标的正负可判断顶点所在的象限． 【典型例题2】二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为（　　） x … 0 1 2 3 … y … 15 10 7 6 7 … A．15 B．10 C．7 D．6 【答案】B 【解析】【解答】解：根据表格可得二次函数的对称轴为直线 x=4和x=0时对应的函数值相等， x=0时，y=10， x=4时，y=10， 故答案为：B. 【分析】根据表格信息求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性求得x=0时与x=4时对应的y的值相等，从而求解. 【典型例题3】若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：由抛物线 的开口向上，对称轴为直线x=1， 所以距离对称轴越远，函数值越大， 点A与对称轴的距离为3，点B与对称轴的距离为1，点C与对称轴的距离为2， 所以y2<y3<y1， 故答案为：C. 【分析】根据二次函数的图象与性质，抛物线方程y=2(x-1)2+m，这是一个开口向上的抛物线，其对称轴为直线x=1，我们可以通过比较点A(-2，y1)、B(2，y2)和C(3，y3)的横坐标与对称轴的距离位置来判断它们的纵坐标y1、y2和y3的大小关系。 【典型例题4】如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为(▲) A．－3 B．1 C．5 D．8 【答案】D 【解析】【解答】解：当点C横坐标为-3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x=1， ∴D点横坐标为5，则CD=8； 当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，且CD=8，故C（0，0），D（8，0）； ∵D点横坐标最大， ∴点D的横坐标最大值为8； 故答案为：D 【分析】根据抛物线的性质即可求出答案. 三、二次函数图象的平移变换 【典型例题1】抛物线可由抛物线（　　）平移得到． A．向上平移2个单位 B．向下平移2个单位 C．向左平移2个单位 D．向右平移2个单位 【答案】C 【解析】【解答】根据左加右减，上加下减的平移法则可知抛物线 是由抛物线 向左移2个单位得到。 故答案为：C 【分析】根据左加右减，上加下减的平移法则可解： 【典型例题2】将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是（　　） A．(5，4) B．(1，-2) C．(-1，-2) D．(-5，-2) 【答案】B 【解析】【解答】解：由题意知： 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 可得：，因此顶点坐标为（1，-2） 故答案为：B. 【分析】先根据平移规律：左加右减得出二次函数解析式为：，再根据顶点坐标公式得出答案即可. 【典型例题3】为使抛物线C1：y=3（x-1）2+2与抛物线C2：y=3（x+1）2-2重合，下列平移能实现的是（　　） A．把C1先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 B．把C1先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 C．把C1先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．把C1先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 【答案】A 【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标为(1，2) 抛物线 的顶点坐标为 ∵点(1，2)先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可得到点( ∴把抛物线 先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可得到抛物线 故答案为：A. 【分析】根据平移规律“上加下减，左加右减”解题即可. 【典型例题4】将抛物线 先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，则平移后的抛物线解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标为(0，0)，点(0，0)先向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得对应点的坐标为 所以平移得到的抛物线的表达式为 故答案为： B. 【分析】先确定抛物线 的顶点坐标为(0，0)，再利用点平移的坐标规律得到点(0，0)平移后所得对应点的坐标为 然后根据顶点式写出平移得到的抛物线的解析式. 四、利用顶点式求二次函数解析式 【典型例题1】抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【解析】【解答】解：由抛物线，可得其对称轴是直线， 故选：B． 【分析】根据顶点式，得到抛物线的对称轴为直线，即可求解. 【典型例题2】已知抛物线的顶点坐标是(2，1)，且抛物线经过点(3，0)，则这条抛物线的函数表达式是() A．y=(x-2)2+1 B．y=(x+2)2+1 C．y=-(x+2)2+1 D．y=-(x-2)2+1 【答案】D 【解析】【解答】解：设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1， 把 (3，0) 代入得a+1=0， 解得a=-1， ∴抛物线的解析式为y=-(x-2)2+1， 故答案为：D. 【分析】根据待定系数法求函数解析式即可. 【典型例题3】将下图所示的抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的函数表达式是(　　) A．y=(x-1)2+1 B．y=(x+1)2+1 C．y=2(x-1)2+1 D．y=2(x+1)2+1 【答案】C 【解析】【解答】解：由图可知，抛物线的顶点坐标为(0，-2)， 设抛物线的解析式为y=ax2-2(a≠0)， ∵图象经过点(-1，0) ∴a-2=0，解得a=2 ∴抛物线的解析式为y=2x2-2 二次函数y=2x2-2的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后， 所得图象的函数解析式是：y=2(x-1)2-2+3， 化简后即为y=2(x-1)2+1， 故答案为：C. 【分析】根据图象，求出原抛物线的解析式，再根据平移的规律：左加右减，上加下减，求出平移后的抛物线的解析式. 提升练习 一、选择题 1．二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故答案为：B． 【分析】根据二次函数的顶点坐标为解答即可． 2．在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：A、函数y=-x2+2x的对称轴为x=-=1，选项错误，不符合题意； B、函数y=x2-1的对称轴为x=0，选项错误，不符合题意； C、函数y=（x+1）2的对称轴为x=-1，选项正确，符合题意； D、函数y=（x-1）2的对称轴为x=1，选项错误，不符合题意； 故答案为：C. 【分析】根据二次函数的解析式判断对称轴即可。 3．将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得 ， 故选：B． 【分析】 二次函数图象平移的变化规律：左加右减，上加下减． 4．已知二次函数的图象上有三点，，，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解： 根据二次函数可知：图像的对称轴是x=1，A、C在对称轴左侧，B在对称轴右侧， B点关于对称轴的对称点B'　的坐标为（0，y2），此时A，C，B'都在对称轴左侧， 当x<1时，y随x的增大而减小， ∵-2<0<0.5 ∴ 故答案为：B. 【分析】二次函数图像开口向上，对称轴为x=1，当x<1时，y随x的增大而减小，当x>1时，y随x的增大而增大。考查在对称轴上一侧的A，B，C或某点关于对称轴的对称点的中x与y的关系即可. 5．将抛物线如何平移就可得到抛物线（　　） A．向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意可得： 将抛物线向右平移3个单位可得 再向下平移2个单位可得 故答案为：D 【分析】根据函数图象的平移规律：左加右减（对x），上加下减（对y） 6．已知点 ， 是抛物线 图像上的两点，则以下结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：∵抛物线 的对称轴是x=1，a=1＞0，抛物线开口向上，抛物线最小值为5， ∴离对称轴越远的点，对应的函数值越大， ∵点 ， 在函数图象上，1-（-2）=3＞3-1=2， ∴点A离对称轴较远， ∴ ． 故选择A． 【分析】根据抛物线 的对称轴是x=1，a=1＞0，抛物线开口向上，抛物线最小值为5，得出离对称轴越远的点，对应的函数值越大，再根据点 ， 在函数图象上，1-（-2）=3＞3-1=2，得出点A离对称轴较远，即可得出答案。 六、填空题 7．若二次函数，则此二次函数图象的对称轴是　 　． 【答案】直线 【解析】【解答】解：二次函数， 图象的对称轴是直线， 故答案为：直线． 【分析】根据二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的对称轴是直线x=h，可直接得出答案。 8． 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2（x-1）2+k经过点A（2，m），B（3，n）．则m　 　n（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】＜ 【解析】【解答】对称轴为直线x=1， 抛物线y＝2（x-1）2+k开口向上， 当x<1时，y随x的增大而减小，当x>1时，y随x的增大而增大， 当x=2时对应的y的值m小于当x=3时对应的y的值n， m<n， 【分析】根据题意a=2，对称轴为直线x=1，利用二次函数的增减性即可得出结论. 9．将二次函数的图象向下平移个单位长度后，所得到的二次函数图象经过点，则的值为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵ 将二次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为， ∵ 经过点， ∴，解得，． 故答案为：. 【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，表示出平移后的解析式，将代入，即可求得值． 10．已知二次函数y＝（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为4，则h的值为　 　. 【答案】﹣3或5 【解析】【解答】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小， ∴①若h＜﹣1≤x≤3，x＝﹣1时，y取得最小值4， 可得：（﹣1﹣h）2＝4， 解得：h＝﹣3或h＝1（舍）； ②若﹣1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值4， 可得：（3﹣h）2＝4， 解得：h＝5或h＝1（舍）； ③若﹣1＜h＜3时，当x＝h时，y取得最小值为0，不是4， ∴此种情况不符合题意，舍去. 综上，h的值为﹣3或5. 故答案为：﹣3或5. 【分析】由于抛物线的开口向上，对称轴直线是x=h，故当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，分①若h＜-1≤x≤3，当x＝-1时，y取得最小值4，求解可得h的值；②若-1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值4；③若-1＜h＜3时，当x＝h时，y取得最小值为0，不是4，据此求解. 11．如图所示的抛物线过原点，将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：根据图象可知，二次函数的顶点坐标为， ∴设图中二次函数解析式为：， ∵二次函数图象过原点， ∴把代入得：， 解得：， ∴图中二次函数解析式为， ∴将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为： ． 故答案为：． 【分析】 由于抛物线经过原点且顶点坐标已知，可设顶点式，再利用待定系数法求出解析式，最后再利用平移转换规律写出平移后的解析式即可． 12．如图，这是抛物线的部分图象，则　 　 ；若，则自变量的取值范围是　 　 ． 【答案】2； 【解析】【解答】解：由图象可得对称轴为直线x=2， 由图象可知抛物线开口向上，对称轴为直线x=2， 抛物线与x轴的另一个交点为（5，0）， 当时， 自变量x的取值范围是 故答案为：2，. 【分析】根据图象可得对称轴为直线x=2，即得到h的值，通过图象得抛物线与x轴交于（-1，0），由对称轴进而得抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），结合图象可判断当 时的x的取值范围. 七、解答题 13．一个二次函数，其图像由抛物线向右平移1个单位所得． （1）写出平移后的抛物线的函数表达式； （2）若将（1）中的抛物线再向上平移个单位后经过点，求k的值． 【答案】（1）解：向右平移1个单位得.​​​​​​ （2）解：将向上平移个单位后可得解析式为：， ∵平移后抛物线经过点， ∴， ​​​​​​∴． 【解析】【分析】（1）根据二次函数的平移法则即可得到答案，二次函数的平移法则为：横坐标：左加右减；纵坐标：上加下减； （2）先根据平移法则得到平移后的解析式，再将点的坐标代入即可求出k的值． （1）解：∵向右平移1个单位得， ∴平移后的抛物线的函数表达式为：； （2）∵将向上平移个单位后得， ∴平移后的表达式为：， ∵平移后抛物线经过点， ∴， ∴． 14．已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，求此函数的最大值与最小值． 【答案】（1）解：设二次函数解析式为，把代入中得：，解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 当时，； 当时，； ∴当时，此函数的最大值与最小值分别为和． 【解析】【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数的最值问题： （1）根据 二次函数图象的顶点坐标是， 可将设二次函数解析式为把代入解析式可列出方程，解方程可求出a的值，据此可求出该二次函数的解析式 ； （2）根据（1）的解析式可得：二次函数开口向上，对称轴为直线，据此可得到当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，据此求出当时，；当时，，进而可求出当时，求此函数的最大值与最小值． ． （1）解：设二次函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 当时，； 当时，； ∴当时，此函数的最大值与最小值分别为和． 15．如图，直线y1=-x-2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y2=ax2+bx+c的顶点为A，且经过点B. （1）求该抛物线的解析式； （2）求当y1≥y2时x的值. 【答案】（1）解：∵直线y1=-x-2交x轴于点A，交y轴于点B， ∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，-2）. ∵抛物线y2=ax2+bx+c的顶点为A， ∴设抛物线为y2=a（x+2）2， ∵抛物线过点B（0，-2）， ∴-2=4a，a=- . ∴y2=- （x+2）2=- x2-2x-2 （2）解：当y1≥y2时，x的取值范围是x≤-2或x≥0 【解析】【分析】(1)根据直线与坐标轴相交的特点可得点A（-2，0）。点B（0，-2），而点A是抛物线的顶点，且抛物线过点B，所以可设抛物线的解析式为y=a.把点B（0，-2）代入解析式即可求得a的值； （2）要使，只需找出直线高于曲线的x的取值范围即可。 16．如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边长为 ，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线 经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接 、 、 . （1）求此抛物线的解析式. （2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形 的面积. 【答案】（1）解：由已知得： ， ， 把B与C坐标代入 得： ， 解得： ， ， 则解析式为 ； （2）解：∵ ， ∴抛物线顶点坐标为 ， 则 . 【解析】【分析】（1）由正方形的性质可求得B、C的坐标，代入抛物线解析式可求得b、c的值，则可求得抛物线的解析式；（2）把抛物线解析式化为顶点式可求得D点坐标，再由S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD可求得四边形ABDC的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$