第07讲 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 新课预习讲义（知识梳理 +题型强化+提升练习）-2025-2026学年人教版九年级数学上册

第07讲 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 新课预习讲义（知识梳理 +题型强化+提升练习）-2025-2026学年九年级数学上册人教版 题型归纳 题型一、二次函数y=ax²+bx+c的图象 题型二、二次函数y=ax²+bx+c的性质 题型三、二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化 题型四、利用一般式求二次函数解析式 知识梳理 一、二次函数y=ax²+bx+c的图象 1. 图象的形状 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，具有对称性。 2. 开口方向 当a>0时，抛物线开口向上 当a<0时，抛物线开口向下 |a|的值越大，抛物线开口越窄；|a|的值越小，抛物线开口越宽 3. 对称轴 对称轴公式： 对称轴是一条垂直于x轴的直线，抛物线关于对称轴对称 4. 顶点坐标 顶点坐标公式： 顶点是抛物线的最高点（当a<0时）或最低点（当a>0时） 5. 与坐标轴的交点 与y轴的交点：令x=0，得y=c，交点坐标为(0, c) 与x轴的交点：令y=0，解方程ax²+bx+c=0，判别式Δ=b²-4ac 当Δ>0时，有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点 当Δ=0时，有两个相等的实数根，抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上） 当Δ<0时，没有实数根，抛物线与x轴没有交点 6. 作图步骤 1. 确定开口方向（由a的符号决定） 2. 求出对称轴 3. 求出顶点坐标 4. 求出与坐标轴的交点 5. 根据对称性，在对称轴两侧各取2-3个点 6. 用平滑曲线连接各点 二、二次函数y=ax²+bx+c的性质 1. 开口方向与最值 当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值，y最小值= 当a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值，y最大值= 2. 增减性 当a>0时： 在对称轴左侧 ，y随x的增大而减小 在对称轴右侧 ，y随x的增大而增大 当a<0时： 在对称轴左侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而减小 3. 函数值的正负性 当a>0且Δ<0时，函数值恒为正 当a<0且Δ<0时，函数值恒为负 其他情况，函数值在不同区间有正有负 4. 对称性 抛物线关于对称轴对称，即若 三、二次函数y=ax²+bx+c与y=a(x-h)²+k的转化 1. 一般式转化为顶点式（配方法） 步骤： 1. 提取二次项系数：） 2. 配方：在括号内加上并减去一次项系数一半的平方 y = a[x² + + ()² - ()²] + c 3. 整理成顶点式：y = a(x + )² + 其中，h =，k = 2. 顶点式转化为一般式 展开顶点式：y = a(x-h)² + k = a(x² - 2hx + h²) + k = ax² - 2ahx + ah² + k 对比一般式y = ax² + bx + c，可得： b = -2ah，c = ah² + k 3. 转化的意义 通过转化可以直接得到抛物线的顶点坐标(h, k) 便于分析函数的最值和单调性 简化函数图象的绘制过程 四、利用一般式求二次函数解析式 1. 已知三点坐标求解析式 步骤： 1. 设二次函数解析式为y = ax² + bx + c(a≠0) 2. 将三个点的坐标分别代入解析式，得到三元一次方程组 3. 解方程组，求出a、b、c的值 4. 写出二次函数解析式 2. 已知顶点和另一点求解析式 方法一：先设顶点式y = a(x-h)² + k，代入顶点坐标(h, k)和另一点坐标，求出a，再转化为一般式 方法二：直接设一般式，利用顶点坐标公式(, )和另一点坐标列方程组求解 3. 已知与x轴的两个交点和另一点求解析式 方法一：先设交点式y = a(x-)(x-)，代入交点坐标(, 0)、(, 0)和另一点坐标，求出a，再转化为一般式 方法二：直接设一般式，利用韦达定理+ = ， = 和另一点坐标列方程组求解 4. 实际问题中的应用 根据实际问题中的数量关系建立二次函数模型 利用已知条件求出解析式 利用函数性质解决实际问题（如最值问题） 重要公式总结 1. 对称轴公式：x = 2. 顶点坐标公式：( , ) 3. 判别式：Δ = b² - 4ac 4. 配方法转化公式：y = ax² + bx + c = a(x + )² + 题型强化 题型一、二次函数y=ax²+bx+c的图象 【典型例题1】在下列二次函数中，其图象对称轴为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解： A、对称轴为x=-2，A符合题意； B、对称轴为x=0，B不符合题意； C、对称轴为x=0，C不符合题意； D、对称轴为x=2，D不符合题意； 故答案为：A 【分析】根据二次函数的图象结合题意即可求解。 【典型例题2】二次函数的顶点坐标为，则实数c的值为（　　） A． B． C．4 D．16 【答案】C 【解析】【解答】解：二次函数的顶点坐标为， ， ， 解得， 故选：C． 【分析】由二次函数图象的顶点坐标可知二次函数与轴只有一个交点，即b2-4ac=0，可得到关于c的方程，解方程求出c的值. 【典型例题3】二次函数 ，当 且 时，y的最小值为 ，最大值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：二次函数 的大致图象如解图， ∵ ，且 ， ∴ ， ， ①当 时，当 时，y取最小值，即 ， 解得 (舍去)或 ； 当 时，y取最大值，即 ， 解得 (舍去)或 (舍去)； ②当 时，当 时y取最小值，即 ， 解得 (舍去)或 ； 当 时，y取最大值，即 ， 解得 ， ∴ ． 故答案为：D． 【分析】由 ，且 ，可得 ， ，分两种情况①当 时，得出当 时，y取最小值，当 时，y取最大值；②当 时，得出当 时y取最小值当 时，y取最大值，据此分别解答即可. 【典型例题4】如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是(　　) A． B．抛物线的对称轴是直线 C．当时，的值随值的增大而减小 D． 【答案】C 【解析】【解答】解：由图象可知：抛物线与y轴交于正半轴， A选项的结论不正确，不符合题意； ∵二次函数 的图象与x轴交于A(1，0)， )两点， ∴对称轴为 故B选项的结论不正确，不符合题意； ∵由图象知：当 1时，图象位于对称轴右侧，y随x的增大而减小，故C选项的结论正确，符合题意； ∵当 时， ，故D选项的结论不正确，不符合题意. 故答案为：C. 【分析】根据图象与y轴交点即可判定 再利用二次函数的对称性和与x轴交点求出对称轴 根据图象即可判断当 时，图象位于对称轴右侧，y随x的增大而减小，再由∵当x = 时，可得 题型二、二次函数y=ax²+bx+c的性质 【典型例题1】已知三个方程 ， 其正根分别记为 ， 则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：∵-4<-3<-2<0， ∴二次函数y1=-2(x+1)(x-2)，y2=-3(x+1)(x-2)，y3=-4(x+1)(x-2)开口大小为：y1>y2>y3. 其函数图象大致为： ∴x3>x2>x1， 故答案为：A. 【分析】作出草图，根据函数图象与性质，确定结果即可. 【典型例题2】已知点、、为抛物线上的点，则　 　． 【答案】3 【解析】【解答】解：抛物线解析式为， 该抛物线的对称轴是直线， 又点和关于直线对称， ， ， 把代入抛物线的解析式得，． 故答案为：3 【分析】根据二次函数对称轴公式可求得抛物线的对称轴是直线，结合“点、”可知点和关于直线对称，进而可求得的值，然后把p点代入二次函数计算即可求解。 【典型例题3】抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点Q处，则点的坐标为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为， ∵点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点， ∴点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点． 故答案为：． 【分析】先根据抛物线的解析式求出顶点坐标为，根据顶点坐标的平移方式得出抛物线的平移方式为向右平移1个单位，向上平移2个单位，根据平移规律即可求出点P平移到点Q时的坐标. 【典型例题4】如图，在平面直角坐标系中，点A在拋物线y=x2-2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD长的最小值为　 　 【答案】1 【解析】【解答】解： 顶点坐标为(1，1)， ∵AC⊥x轴， ∴ ∴当点A在抛物线的顶点处时，点A到x轴的距离最小，即AC的最小值为1， ∵四边形ABCD为矩形. ∴BD=AC. ∴对角线BD的最小值为1. 故答案为：1. 【分析】先求得抛物线的顶点坐标为(1，1)，进而求得AC的最小值为1，然后根据矩形的性质得到BD=AC，即可得到答案. 题型三、二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化 【典型例题1】若抛物线的顶点在轴，则　 　． 【答案】 【解析】【解答】解： ∴顶点坐标为 ∵抛物线顶点在轴上， ∴ 解得： 故答案为：． 【分析】将抛物线的解析式配成顶点式，根据在x轴上的点的坐标特征“纵坐标=0”可得关于c的方程，解方程求出c的值即可求解． 【典型例题2】二次函数中，当时，y随x的增大而减小，则b的值可能是（　　） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【解析】【解答】∵，且， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线． ∴当时，y随x的增大而减小． ∵当时，y随x的增大而减小， ∴． ∴． 故选：D． 【分析】利用二次函数解析式可得到抛物线的对称轴，再利用二次函数的对称性和增减性，可得答案． 【典型例题3】将二次函数转化为的形式，结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：y=x2+2x-1=(x2+2x+1)-2=(x+1)2-2，即y=(x+1)2-2. 故答案为：D. 【分析】加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式. 【典型例题4】已知二次函数（m是实数）． （1）小明说：当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认同他的说法吗？为什么？ （2）已知点，都在该二次函数图象上，求证：． 【答案】（1）解：认同，理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴在上， ∴当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动； （2）证明：∵，都在该二次函数图象上， ∴关于直线对称， ∴，解得，， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 【解析】【分析】（1）由，可知抛物线的顶点坐标为，由，可知在上，即可求出答案版. （2）由，都在该二次函数图象上，可知关于直线对称，即，解得，，，则，然后根据二次函数的图象与性质即可求出答案. （1）解：认同，理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴在上， ∴当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动； （2）证明：∵，都在该二次函数图象上， ∴关于直线对称， ∴，解得，， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 题型四、利用一般式求二次函数解析式 【典型例题1】抛物线经过点，则a的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：将点代入，得， 解得， 故选：A． 【分析】将点代入可得关于a的方程，解方程求出a的值 【典型例题2】在平面直角坐标系中中，抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）若抛物线过点，求二次函数的表达式． 【答案】（1）解：对称轴， 抛物线的对称轴为； （2）解：把点，代入得，， 二次函数的表达式为． 【解析】【分析】(1)直接求对称轴公式代入系数即可得抛物线的对称轴； (2)将点A坐标代入函数解析式得a=1，即可得抛物线的解析式. 【典型例题3】已知二次函数的解析式为，则图象的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：由二次函数的解析式为， 可得，， 所以二次函数图象的顶点坐标为， 故选：C． 【分析】由二次函数解析式可知，，，代入二次函数顶点坐标公式，即可得到结果. 【典型例题4】已知二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)中x，y的值满足下表： x …… -1 0 1 2 …… y …… 0 -1 m 9 …… （1）求这个二次函数的表达式． （2）求m的值． 【答案】（1）解：把x=-1，y=0；x=2，y=9分别代入函数表达式y=ax2+bx- 1， 得， 解得： ∴二次函数的表达式为y=2x2+x-1． （2）解：当x=1时，m=2×12+1-1=2． 【解析】【分析】（1）利用表格中的数据，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）将x=1代入解析式求出m的值即可. 提升练习 一、选择题 1．关于二次函数y=x2+4x-1的图象，下列说法中错误的是(　　) A．对称轴为直线x=3 B．图象经过点(0，-1) C．开口向下 D．顶点坐标为(3，-7) 【答案】D 【解析】【解答】解：∵抛物线的解析式为y=x2+4x-1=（x2-6x+9-9）-1=（x-3）2+5， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=3，顶点坐标为（3，5），当x=0时，y=-1， 故答案为：D. 【分析】先利用配方法将二次函数的一般式换为顶点式，再逐项分析判断即可. 2．已知二次函数y=x2+bx+3，当x>1时，y随x的增大而减小，则b的取值范围是(　　) A．b≥-1 B．b≤-1 C．b≥1 D．b≤1 【答案】D 【解析】【解答】解：∵y＝−x2＋bx＋3， ∴对称轴为直线x＝b，开口向下， ∵当x＞1时，y随x的增大而减小， ∴b≤1， 故答案为：D． 【分析】先利用抛物线的对称轴公式求出对称轴为直线x＝b，再结合“当x>1时，y随x的增大而减小”可得b≤1，从而得解. 3．二次函数y=ax2+(1-a)x+4-2a的图象如右图，则下列说法中正确的是(　　) A．与y轴交点的纵坐标小于4 B．对称轴在直线x=0.5左侧 C．与x轴正半轴交点的横坐标小于2 D．抛物线一定经过两个定点 【答案】D 【解析】【解答】解：A、由图象知，抛物线开口向下，∴a＜0，令x＝0，则y＝4−2a＞4，∴抛物线与y轴的交点大于4，∴A错误； B、二次函数的对称轴为x＝，∵a＜0，∴，∴对称轴在x＝0.5右侧，∴B错误； C、取a＝−1，抛物线为y＝−x2＋2x＋6，其与x轴正半轴的交点为：x=，∴C错误； D、y＝ax2＋（1−a）x＋4−2a＝a（x2−x−2）＋x＋4，令x2−x−2＝0，解得：x＝2或x＝−1，当x＝2时，y＝6，当x＝−1时，y＝3， ∴抛物线经过点（2，6）和（−1，3）两个顶点，∴D正确． 故答案为：D． 【分析】利用二次函数的图象和性质与系数是关系求出a的取值范围，再求出抛物线的对称轴，求出二次函数与x轴的交点坐标，最后逐项分析判断即可. 4．抛物线中，与的部分对应值如下表： 0 1 2 3 4 0 1 0 下列结论中，正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】【解答】解：由图可知，和时对应的函数值相等， 抛物线的对称轴为直线，此时抛物线有最大值， 抛物线开口向下，故选项A、B错误， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 故选项C错误，选项D正确， 故答案为：D． 【分析】根据二次函数的性质逐项进行判断即可求出答案. 5．如图抛物线的对称轴是直线下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．（m为任意实数） 【答案】C 【解析】【解答】解：A、根据函数图象可得：a<0，b>0，c>0，∴abc<0，∴A不正确，不符合题意； B、∵二次函数与x轴有两个交点，∴△=，∴B不正确，不符合题意； C、∵二次函数的对称轴为直线x=1=，∴b=-2a，∴，∴C正确，符合题意； D、∵抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x=1时，函数值最大，∴，∴，∴D不正确，不符合题意； 故答案为：C. 【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。 6．已知二次函数 的图象上有两点 ，，则与的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】【解答】解：将x=-1代入可得y1=（-1）2-2×（-1）-1=，2 将x=3代入可得y2=32-2×3-1=2， ∴， 故答案为：A. 【分析】将x=-1和x=3分别代入求出和的值，再比较大小即可. 7．二次函数（为实数，且），对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵函数，且， ∴该函数图象的开口方向向下，对称轴为，该函数有最大值，其最大值为， 若要满足的任意一个的值，都有， 则有，解得， 对于该函数图象的对称轴， 的值越小，其对称轴越靠左，如下图， 结合图像可知，的值越小，满足的的值越小， ∴当取的最大值，即时，令， 解得，， ∴满足的的最大值为， 即的最大值为. 故答案为：D. 【分析】由题意可得：函数图象的开口方向向下，对称轴为x=，该函数有最大值，其最大值为y=1-，易得1-≤2，求出a的范围，画出函数的图象，结合图象可知，a的值越小，满足y≥-2的x的值越小，故a=-4时，令y=-4x2+4x+1=-2，求出x的值，进而可得m的最大值. 8．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式 ，则最佳加工时间为（　　）min． A．2 B．5 C．2或5 D．3.5 【答案】D 【解析】【解答】解：∵y=-0.2x2+1.4x-2的对称轴为x=-=3.5 故答案为：D. 【分析】根据二次函数的对称轴公式直接计算得到答案即可。 六、填空题 9．写出一个函数图象开口向上的二次函数的解析式　 　． 【答案】（答案不唯一） 【解析】【解答】解：∵时，抛物线开口向上， ∴函数图象开口向上的二次函数的解析式可以为， 故答案为：． 【分析】利用抛物线开口向上时a>0解题即可． 10．将二次函数 化为 的形式，则 　 　． 【答案】 【解析】【解答】解： y=x2-4x+5=x2-4x+4+1， ∴y=（x-2）2+1， 故答案是： （x-2）2+1． 【分析】利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式即可。 11．已知二次函数的图象经过点，，若，则的取值范围是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线：，开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【分析】求出对称轴，然后利用二次函数的增减性解题即可． 12．若a，b，c是实数，点A(a+1，6)，B(a+2，c)在二次函数y=x2-2ax+3的图象上，则b，c的大小关系是b　 　c．(填“>”或“<”) 【答案】< 【解析】【解答】解：∵二次函数 的图象的对称轴为 二次项系数 ∴抛物线的开口向上，在对称轴的右边，y随x的增大而增大， 点 在二次函数 的图象上， 故答案为：<. 【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可. 13．二次函数的图像如图，若一元二次方程有实数根，则的最小值为　 　. 【答案】-4 【解析】【解答】解：由图可知：y≤4，即ax2+bx≤4， ∵ax2+bx+c=0， ∴ax2+bx=-c， ∴-c≤4， ∴c≥-4． 的最小值为-4. 故答案是：-4 【分析】先根据二次函数的图象得到ax2+bx≤4，再结合一元二次方程即可得到-c≤4，进而即可求出c的最值。 七、解答题 14．已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求的值． 【答案】（1）， 对称轴为直线； （2）将该抛物线向右平移个单位长度， 新的抛物线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：负值舍去． 【解析】【分析】（1）将一般式转化为顶点式，即可求得对称轴； （2）根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”，表示出新的抛物线的解析式，再将原点坐标代入求解即可． 15．已知函数是二次函数； （1）求的值； （2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1）解：由题意：， 解得：， 时，函数是二次函数． （2）解：二次函数的解析式为， 这个二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 【解析】【分析】（1）根据二次函数的定义即可求出答案. （2）将二次函数解析式转换为顶点式，再根据其性质即可求出答案. （1）由题意：， 解得， 时，函数是二次函数． （2）二次函数的解析式为， 这个二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 16．已知关于x的一元二次方程：． （1）求证：无论m取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程对应的二次函数为．当时，写出该函数图象的三条性质． 【答案】（1）证明：∵a=，b=m，c=-1， ∴Δ=b2-4ac=m2-4××（-1）=m2+2， ∵m2≥0， ∴Δ=m2+2＞0， ∴无论m取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根. （2）解：当m=1时，二次函数表达式为y=+x-1， ∴a=，b=1，c=-1， ①∵a=＞0，∴该函数图象开口向上， ②该函数图象的对称轴是直线x==-1， 当x＜-1时，y随着x的增大而减小， 当x＞-1时，y随着x的增大而增大， ③当x=0时，y=-1，∴该函数图象与y轴的交点是（0，-1）， （答案不唯一） 【解析】【分析】（1）再根据Δ=b2-4ac的非负性证明即可； （2）求出二次函数解析式，根据系数即可得出该函数图象的性质（答案不唯一）． （1）解：， ∵， ∴， ∴无论m取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：当时，， ①∵， ∴开口向上； ②，则对称轴为直线； ③当，， ∴与轴交于点， ∴三条性质为：抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴交于点（答案不唯一）． 17．已知函数与函数，定义“和函数”． （1）若，则“和函数” ； （2）若“和函数”为，则 ， ； （3）若该“和函数”的顶点在直线上，求． 【答案】（1）． （2），． （3）解：由题意得和函数为， ， ∴和函数的顶点为， ∵和函数的顶点在上， ∴， 整理得， 解得，． 故答案为：或． 【解析】【解答】解：（1）当时，， ∵函数，此时和函数， ∴， 故答案为：． （2）∵函数与函数，和函数， ∴和函数的解析式为， ∵和函数的解析式为， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 【分析】（1）将代入函数中得出函数，再利用，即可求出函数解析式； （2）的解析式为，又， 利用两者相等，求出k和b的值，即可求解； （3）先根据题意求出和函数，进而根据顶点在直线上得出，解方程谋求出k的值，即可求解. （1）解：当时，， ∵函数，此时和函数， ∴， 故答案为：． （2）解：∵函数与函数，和函数， ∴和函数的解析式为， ∵和函数的解析式为， ∴，， ∴，， 故答案为：，． （3）解：由题意得和函数为 ， ， ∴和函数的顶点为， ∵和函数的顶点在上， ∴， 整理得， 解得，． 故答案为：或． 18．已知二次函数的解析式为，其中. （1）若点在该函数图象上，求这个二次函数的解析式. （2）若是二次函数图象上两个不同的点；当时，，求的值. （3）若该二次函数图象过点，且当时随的增大而增大，求的取值范围. 【答案】（1）解：将(1，3)， a-b=4代入 得： 3=a+a+1+a-4， ∴a=2， ∴b=a-4=-2， ∴这个二次函数的表达式为： ； （2）解： ∴这两个点关于x轴对称， ； （3）解：∵点(-1，t)在二次函数图象上， ∴t=a-a-1+a-4=a-5， ∵当x≥-1时y随x的增大而增大， 当a>0时， 有 ∴0<a≤1， ∴--5<t≤-4， 当a<0时，不符合题意舍去， ∴--5<t≤-4. 【解析】【分析】(1)将(1，3)， a-b=4代入 即可； (2)由 可得这两个点关于x轴对称，再利用对称轴公式计算即可； (3)由题意可得t =a﹣5， 分a>0和a<0分别求解即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 新课预习讲义（知识梳理 +题型强化+提升练习）-2025-2026学年九年级数学上册人教版 题型归纳 题型一、二次函数y=ax²+bx+c的图象 题型二、二次函数y=ax²+bx+c的性质 题型三、二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化 题型四、利用一般式求二次函数解析式 知识梳理 一、二次函数y=ax²+bx+c的图象 1. 图象的形状 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，具有对称性。 2. 开口方向 当a>0时，抛物线开口向上 当a<0时，抛物线开口向下 |a|的值越大，抛物线开口越窄；|a|的值越小，抛物线开口越宽 3. 对称轴 对称轴公式： 对称轴是一条垂直于x轴的直线，抛物线关于对称轴对称 4. 顶点坐标 顶点坐标公式： 顶点是抛物线的最高点（当a<0时）或最低点（当a>0时） 5. 与坐标轴的交点 与y轴的交点：令x=0，得y=c，交点坐标为(0, c) 与x轴的交点：令y=0，解方程ax²+bx+c=0，判别式Δ=b²-4ac 当Δ>0时，有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点 当Δ=0时，有两个相等的实数根，抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上） 当Δ<0时，没有实数根，抛物线与x轴没有交点 6. 作图步骤 1. 确定开口方向（由a的符号决定） 2. 求出对称轴 3. 求出顶点坐标 4. 求出与坐标轴的交点 5. 根据对称性，在对称轴两侧各取2-3个点 6. 用平滑曲线连接各点 二、二次函数y=ax²+bx+c的性质 1. 开口方向与最值 当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值，y最小值= 当a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值，y最大值= 2. 增减性 当a>0时： 在对称轴左侧 ，y随x的增大而减小 在对称轴右侧 ，y随x的增大而增大 当a<0时： 在对称轴左侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而减小 3. 函数值的正负性 当a>0且Δ<0时，函数值恒为正 当a<0且Δ<0时，函数值恒为负 其他情况，函数值在不同区间有正有负 4. 对称性 抛物线关于对称轴对称，即若 三、二次函数y=ax²+bx+c与y=a(x-h)²+k的转化 1. 一般式转化为顶点式（配方法） 步骤： 1. 提取二次项系数：） 2. 配方：在括号内加上并减去一次项系数一半的平方 y = a[x² + + ()² - ()²] + c 3. 整理成顶点式：y = a(x + )² + 其中，h =，k = 2. 顶点式转化为一般式 展开顶点式：y = a(x-h)² + k = a(x² - 2hx + h²) + k = ax² - 2ahx + ah² + k 对比一般式y = ax² + bx + c，可得： b = -2ah，c = ah² + k 3. 转化的意义 通过转化可以直接得到抛物线的顶点坐标(h, k) 便于分析函数的最值和单调性 简化函数图象的绘制过程 四、利用一般式求二次函数解析式 1. 已知三点坐标求解析式 步骤： 1. 设二次函数解析式为y = ax² + bx + c(a≠0) 2. 将三个点的坐标分别代入解析式，得到三元一次方程组 3. 解方程组，求出a、b、c的值 4. 写出二次函数解析式 2. 已知顶点和另一点求解析式 方法一：先设顶点式y = a(x-h)² + k，代入顶点坐标(h, k)和另一点坐标，求出a，再转化为一般式 方法二：直接设一般式，利用顶点坐标公式(, )和另一点坐标列方程组求解 3. 已知与x轴的两个交点和另一点求解析式 方法一：先设交点式y = a(x-)(x-)，代入交点坐标(, 0)、(, 0)和另一点坐标，求出a，再转化为一般式 方法二：直接设一般式，利用韦达定理+ = ， = 和另一点坐标列方程组求解 4. 实际问题中的应用 根据实际问题中的数量关系建立二次函数模型 利用已知条件求出解析式 利用函数性质解决实际问题（如最值问题） 重要公式总结 1. 对称轴公式：x = 2. 顶点坐标公式：( , ) 3. 判别式：Δ = b² - 4ac 4. 配方法转化公式：y = ax² + bx + c = a(x + )² + 题型强化 题型一、二次函数y=ax²+bx+c的图象 【典型例题1】在下列二次函数中，其图象对称轴为的是（　　） A． B． C． D． 【典型例题2】二次函数的顶点坐标为，则实数c的值为（　　） A． B． C．4 D．16 【典型例题3】二次函数 ，当 且 时，y的最小值为 ，最大值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【典型例题4】如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是(　　) A． B．抛物线的对称轴是直线 C．当时，的值随值的增大而减小 D． 题型二、二次函数y=ax²+bx+c的性质 【典型例题1】已知三个方程 ， 其正根分别记为 ， 则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【典型例题2】已知点、、为抛物线上的点，则　 　． 【典型例题3】抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点Q处，则点的坐标为　 　． 【典型例题4】如图，在平面直角坐标系中，点A在拋物线y=x2-2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD长的最小值为　 　 题型三、二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化 【典型例题1】若抛物线的顶点在轴，则　 　． 【典型例题2】二次函数中，当时，y随x的增大而减小，则b的值可能是（　　） A． B． C．1 D．3 【典型例题3】将二次函数转化为的形式，结果为（　　） A． B． C． D． 【典型例题4】已知二次函数（m是实数）． （1）小明说：当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认同他的说法吗？为什么？ （2）已知点，都在该二次函数图象上，求证：． 题型四、利用一般式求二次函数解析式 【典型例题1】抛物线经过点，则a的值是（　　） A． B． C． D． 【典型例题2】在平面直角坐标系中中，抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）若抛物线过点，求二次函数的表达式． 【典型例题3】已知二次函数的解析式为，则图象的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【典型例题4】已知二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)中x，y的值满足下表： x …… -1 0 1 2 …… y …… 0 -1 m 9 …… （1）求这个二次函数的表达式． （2）求m的值． 提升练习 一、选择题 1．关于二次函数y=x2+4x-1的图象，下列说法中错误的是(　　) A．对称轴为直线x=3 B．图象经过点(0，-1) C．开口向下 D．顶点坐标为(3，-7) 2．已知二次函数y=x2+bx+3，当x>1时，y随x的增大而减小，则b的取值范围是(　　) A．b≥-1 B．b≤-1 C．b≥1 D．b≤1 3．二次函数y=ax2+(1-a)x+4-2a的图象如右图，则下列说法中正确的是(　　) A．与y轴交点的纵坐标小于4 B．对称轴在直线x=0.5左侧 C．与x轴正半轴交点的横坐标小于2 D．抛物线一定经过两个定点 4．抛物线中，与的部分对应值如下表： 0 1 2 3 4 0 1 0 下列结论中，正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小 5．如图抛物线的对称轴是直线下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．（m为任意实数） 6．已知二次函数 的图象上有两点 ，，则与的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 7．二次函数（为实数，且），对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为（　　） A． B． C．2 D． 8．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式 ，则最佳加工时间为（　　）min． A．2 B．5 C．2或5 D．3.5 六、填空题 9．写出一个函数图象开口向上的二次函数的解析式　 　． 10．将二次函数 化为 的形式，则 　 　． 11．已知二次函数的图象经过点，，若，则的取值范围是　 　． 12．若a，b，c是实数，点A(a+1，6)，B(a+2，c)在二次函数y=x2-2ax+3的图象上，则b，c的大小关系是b　 　c．(填“>”或“<”) 13．二次函数的图像如图，若一元二次方程有实数根，则的最小值为　 　. 七、解答题 14．已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求的值． 15．已知函数是二次函数； （1）求的值； （2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 16．已知关于x的一元二次方程：． （1）求证：无论m取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程对应的二次函数为．当时，写出该函数图象的三条性质． 17．已知函数与函数，定义“和函数”． （1）若，则“和函数” ； （2）若“和函数”为，则 ， ； （3）若该“和函数”的顶点在直线上，求． 18．已知二次函数的解析式为，其中. （1）若点在该函数图象上，求这个二次函数的解析式. （2）若是二次函数图象上两个不同的点；当时，，求的值. （3）若该二次函数图象过点，且当时随的增大而增大，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$