12.1《相交线》课件2025-2026学年人教版（五四制）数学七年级上册

12.1相交线 观察思考 观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系. 1 2 3 图标 棋盘 鞋带 探查生活中的相交线 火车铁轨 剪刀 花园围栏 图中的相交线只有一条吗？相交的两条线有什么共同特点？远 远远不止。①直线与直线相交于一点②形成了四个角. 结交好朋友相交线 如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，并把它们想象成两条直线，就得到一个相交线的模型. 在转动木条的过程中，它们所成的角也在变化. 想一想，答一答 问题1：两条相交的直线形成了几个角？ 问题2：这些角之间有怎样的位置关系？ 问题3：这些角之间有怎样的数量关系？ 4 相交 ∠1=∠3 ∠2=∠4 ∠1与∠4互补 ∠2与∠3互补 why？ 任意画出两条直线 AB 和 CD 相交于点 O， 按如图所示标记. O 观察图中的四个角，∠1 和∠2 有怎样的位置关系? ∠1 和∠2 的边所在的位置有什么特点? 有一条公共边， 另一条边互为反向延长线. 1. 下列各图中，∠1 与∠2 是邻补角的是 ( ) B 讨论 2：邻补角与补角有什么关系? O 讨论 3：观察图中的∠1 与∠3 有怎样的位置关系? 合作探究 ） α a b b b 问题1 如图，取两根木条a，b，将它们 钉在一起，就得到一个相交模型，在转动木条的过程中，它们形成 角也在变化，你能发现这些角之间不变的关系吗？ 问题1：两条相交的直线形成了几个角？ 问题2：每两个角之间形成了怎样的位置关系？ 问题3：每两个角之间形成了怎样的数量关系？ 1.邻补角的定义 邻补角：如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为 ，那么这两个角互为邻补角.图中∠1的邻补角有 . 邻补角几何语言： ∵∠1和∠2互为邻补角（已知） ∴∠1+∠2=180°（邻补角互补） 反向延长线 ∠2、∠4 学习新知 2.对顶角的定义 对顶角：如果两个角有一个公共顶点，并且其中一个角的两边是另一个角的两边的 ，那么这两个角互为对顶角.图中∠1的对顶角是 . 反向延长线 ∠3 对顶角几何语言：？ 学习新知 在上学期我们已经知道互为补角的两个角和为180°，因而互为邻补角的两个角 . 探究新知 问题：∠1 与∠3在数量上又有什么关系呢？ 即：邻补角互补. 思考：你能利用有关知识来验证∠1 与∠3的数量关系吗？ 和为180° 已知：直线AB与CD相交于O点(如图)，试说明:∠1=∠3， ∠2=∠4. 解：∵直线AB与CD相交于O点 ∴∠1+∠2=180°（邻补角互补）， 　　　∠2+∠3=180°（邻补角互补） ∴∠1=∠3（同角的补角相等） 同理可得∠2=∠4 探究新知 几何语言： ∵直线AB与CD相交于O点 ， ∠1和∠3是互为对顶角 ∴∠1=∠3.（对顶角相等） 名称 特征 性质 相同点 邻补角 ①有一条公共边； ②另一边互为 　反向延长线； 邻补角互补 ①都是两直线相交而成的角 ②都有一个公共顶点； ③都是成对出现的，两直线相交时，对顶角只有两对，邻补角有四对 对顶角 ①.有一个公共顶点; ②.一个角的两边是　另一个角的两边的　反向延长线； 对顶角相等 课堂小结 1.下列各图中，∠1和∠2是邻补角吗？为什么？ 1 2 1 1 2 2 （ （ （ （ （ （ 2.下列各图中，∠1与∠2是对顶角吗？为什么？ 例题讲解 想一想：图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的度数的原理吗？ 对顶角相等 解：方法一： 检测∠1是否为45°, 理由：邻补角互补. 2 方法二： 检测∠2是否为135°, 理由：对顶角相等. 　在下图中，花坛转角（红色标注的角）按图纸要求为135°； 施工结束后，要求你检测它是否合格？请你设计检测的方法. 思维拓展 1.若∠1与∠2是对顶角，∠1=16°，则∠2=____°； 若∠3与∠4是邻补角，则∠3+∠4=_____°. 2.若∠1与∠2为对顶角，∠1与∠3互补，则∠2+∠3= °. 3.一个角的对顶角有 个，邻补角最多有 个，而补角则可以有 个. 无数 16 180 180 1 2 例题讲解 4.如图，直线a、b相交，∠ 1=40°，求∠2，∠3， ∠4的度数. 解：∵∠1与∠2互为邻补角 ∴∠1+∠2=180° ∴∠2=180°－∠1＝140° 又∵∠1与∠3，∠2与∠4互为对顶角 ∴∠3=∠1=40°，∠4=∠2=140°答：∠3=40°，∠2=∠4=140° 例题讲解 5.如图，直线a、b相交，∠1+∠3＝80°，求∠1， ∠2 ，∠3 ，∠4 的度数． 解：∵∠1与∠3，∠2与∠4互为对顶角 ∴∠1=∠3，∠2=∠4 又∵∠1+∠3=80° ∴∠1=∠3=40° ∵∠1与∠2互为邻补角 ∴∠1+∠2=180° ∴∠2=180°－∠1＝140° ∴∠4=∠2=140° 答：∠1=∠3=40°，∠2=∠4=140° 例题讲解 6.如图，直线a、b相交，∠1:∠2=2:8， 求∠1， ∠2 ，∠3 ，∠4 的度数． 解：设∠1=2x°，则∠2=8x° ∵∠1与∠2互为邻补角 ∴∠1+∠2=180°（邻补角互补） 　 即 2x+8x=180 　　解得：x=18 ∴∠1=36°，∠2=144° ∵∠1与∠3，∠2与∠4互为对顶角 ∴∠3=∠1=36°，∠4=∠2=144°（对顶角相等） 答：∠1=∠3=36°，∠2=∠4=144° 例题讲解 ∴∠4 =∠2 = 180°－∠1 = 140°. 如图，直线 a，b 相交，∠1 = 40°，求∠2，∠3，∠4 的度数. ∠1 = 40°， 解: a b ） （ 1 3 4 2 邻补角与对顶角的性质 ∴∠3 =∠1= 40°. ∵ ∴∠2=180°－∠1=140°（ ） a b 1 3 4 2 如图,直线a,b相交,∠1=40°,求 ∠2,∠3,∠4的度数. ∵直线a、b相交，∠1=40° ∴∠3=40°（ ） 解: ∴∠4=∠2=140°（ ） 掌握邻补角和对顶角的性质是解题的关键! 方法 对顶角相等 邻补角互补 对顶角相等 ∴∠2=180°－∠1=140°（ ） a b 1 3 4 2 ∵直线a、b相交，∠1=40° ∴∠3=40°（ ） 解: ∴∠4=∠2=140°（ ） 对顶角相等 邻补角互补 对顶角相等 邻补角与对顶角的性质 1.如图，若∠1 +∠3 = 60°，则∠1，∠2，∠3，∠4 的度数分别为_____ ________________. 3. 如图，若 1∶2 = 2∶7 ，则∠1，∠2，∠3，∠4 的度数分别为____________________. 2. 如图，若∠2 是∠1 的 3 倍，则∠1，∠2，∠3，∠4 的度数分别为______________________. 30°， 150°，30°，150° 45°，135°，45°，135° 40°，140°，40°，140° 变式训练： 邻补角与对顶角的性质 解：如图， 邻补角是∠EOB 和∠AOF； 对顶角是∠BOF. 找出图中∠AOE 的邻补角及对顶角，若没有请画出. C A B O D E F 邻补角与对顶角的性质 拓展题：观察下列各图，寻找对顶角(不含平角). (1) 如图 a，图中共有 对对顶角； (2) 如图 b，图中共有 对对顶角； (3) 如图 c，图中共有 对对顶角； (4) 猜测：若有 n 条直线相交于一点，则可形成___ ___对对顶角； (5) 若有 10 条直线相交于一点，则可形成 对对顶角. 图a 图b 图c 2 6 12 n(n - 1) 90 O O O 角的名称 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点 对顶角 邻补角 对顶角 相等 邻补角 互补 ②有公共顶点； ③没有公共边 ①两条直线相交形成的角； ①两条直线相交而成； ②有公共顶点； ③有一条公共边 ①都是两条直线相交而成的角； ③都是成对出现的 ②都有一个公共顶点； ②两直线相交时，对顶角只有两对，邻补角有四对 ①有无公共边； 课堂小结 业精于勤，荒于嬉！ $$