9.4 矩形、菱形、正方形 暑假巩固练习2024-2025学年苏科版八年级数学下册

苏科版八年级下册 9.4 矩形、菱形、正方形 暑假巩固 一、正方形的判定 1.已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果只添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（　　） A.AB＝CD B.AC＝BD C.AB＝AD D.AC与BD互相平分 2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　　） A.BC＝AC B.BD＝DF C.AC＝BF D.CF⊥BF 3.如图，在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（　　） A.AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B.AD∥BC，∠ABC＝∠BCD C.AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D.AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC 4.已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，添加条件　　　　　　　　可使菱形ABCD成为正方形． 5.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC＝BD，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形ABCD是正方形，只需添加的一个条件是 　　　　　　　　　． 6.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心， AC， BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP． （1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由； （2）请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？ 7.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．求证：矩形ABCD为正方形． 二、正方形的性质与判定 1.如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③当EF∥BD时，四边形PFCE为正方形；④EF的最小值是1．其中正确结论的序号是（　　） A.①②③ B.③④ C.②③④ D.①②④ 2.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，F是对角线AC，BD的交点，G，E分别是AD，CD上的动点，且保持AG＝DE，连接GE，GF，EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△GFE是等腰直角三角形；②四边形DGFE可能为正方形；③GE长度的最小值为4；④四边形DGFE的面积保持不变．其中正确的是（　　） A.仅①②③ B.仅①②④ C.仅②③④ D.①②③④ 3.下列说法错误的是（　　） A.正方形是平行四边形 B.正方形是菱形 C.正方形是矩形 D.菱形和矩形都是正方形 4.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，则在下列说法中：①△ADE≌△CDG；②四边形EFGD是正方形；③∠ACG的大小随着点E的运动不断改变；④CE+CG的值是定值；正确的有 　　． 5.现有一张边长等于a（a＞16）的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8 cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是 　　（填写图形的形状）（如图），它的一边长是 　　． 6.已知，如图，在正方形ABCD中，点A′、B′、C′、D′分别在AB、BC、CD、DA上，且AA′＝BB′＝CC′＝DD′．求证：四边形A′B′C′D′是正方形． 7.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E，连接DE． （1）求证：四边形BCDE为菱形； （2）若AB＝10，E为AC的中点，当BC的长为 　　时，四边形BCDE为正方形． 三、矩形的判定与性质的综合应用 1.在四边形ABCD中，AB＝DC，AB∥DC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形，添加的条件不能是（　　） A.AC⊥BD B.AB⊥BC C.∠C＝90° D.AC＝BD 2.在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　） A.AD＝BC且AC＝BD B.AD＝BC且∠A＝∠B C.AB＝CD且∠A＝∠C D.AB∥CD且AC2＝AB2+BC2 3.已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　） A.∠A＝∠B B.∠A＝∠C C.AC＝BD D.AB⊥BC 4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P为AB边上不与A，B重合的一动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是　　　　　　　　． 5.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DE⊥BC，DB平分∠ADC．下列结论：①BC＝DC；②四边形ABED是矩形；③点E是BC的中点；④若AD＝2，CD＝5，则AB＝4．其中一定正确的有 　　　　　　　　 6.如图，点A在∠MON的边ON上，AB⊥OM于B，AE＝OB，DE⊥ON于E，AD＝AO，DC⊥OM于C． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若DE＝3，OE＝9，求AD的长． 7.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB． （1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形； （2）如图2，E是AD边上任意一点，EF⊥BD，EG⊥AC，F、G分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求EG+EF的值． 四、利用边判定菱形 1.如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 2.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边BC的中点，连接EO并延长交边AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论错误的是（　　） A.AB⊥AC B.AD＝4OE C.四边形AECF为菱形 D.S△BOES△ABC 3.依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（　　） A. B. C. D. 4.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是 　　（限填序号）． 5.以A点为圆心，5为半径画弧，再以B点为圆心，相同长度为半径画弧，交前弧于M、N两点，已知AB＝6，则以A、B、M、N四点为顶点的四边形的面积是 　　． 6.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形． 7.如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，DF∥AB．求证：四边形AEDF是菱形． 五、菱形的四条边相等 1.在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF．若∠B＝55°，则∠AEF的度数为（　　） A.55° B.57.5° C.60° D.62.5° 2.如图，在菱形ABCO中，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标是（4，3），点D是AB的中点，过点D作EF⊥BC交BC于点E，交x轴于点F，则点D的坐标是（　　） A. B. C.（8，3） D.（7，3） 3.如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　） A. B.3+3 C.6 D. 4.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标是（3，1）．若顶点B在第一象限的角平分线上，则点B的坐标是 　　　． 5.已知在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC＝1，则AB的长是 　　． 6.如图，菱形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，AF＝CE，求证：AE＝CF． 7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）若AB＝5，菱形ADCF的面积为10，求BC的长． 六、菱形对角线垂直 1.已知，菱形的周长为20，一条对角线长为6，则菱形的面积（　　） A.48 B.24 C.18 D.12 2.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若∠1＝20°，则∠2 的度数为（　　） A.20° B.60° C.70° D.80° 3.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AB＝5，AC＝6，DE⊥BC于点E，则OE的长为（　　） A.3 B.4 C.4.5 D.5 4.已知菱形ABCD的边长是 cm，对角线AC＝4 cm，则菱形的面积是_______cm2． 5.若菱形的两条对角线的长是6 cm和8 cm，那么这个菱形的周长是　　cm． 6.在数学活动课上，学习小组的同学们制作了两个特殊的直角三角板（△ABF和△CDE），按如图的方式放置，已知∠BAF＝∠DCE＝90°，AF＝CE＝3，AB＝CD＝4，连接AE，CF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若四边形AECF是菱形，求菱形AECF的面积和BD的长． 7.如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，取CB边中点E，连接OE并延长使EF＝OE，连接BF，CF．求证：AD＝OF． 七、利用对角线判定菱形 1.已知如图，在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角，将△ABC沿对角线AC边平移，得到△A′B′C′，连接AB′和C′D，若使四边形AB′C′D是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：AB′＝DC′；乙方案：B′D⊥AC′；丙方案：∠A′C′B′＝∠A′C′D；其中正确的方案是（　　） A.甲、乙、丙 B.只有乙、丙 C.只有甲、乙 D.只有甲 2.下列条件中，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（　　） A.AC⊥BD B.AB⊥BC C.AB＝CD D.∠BAD＝∠ADC 3.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A.∠BAC＝∠BCA B.∠ABD＝∠CBD C.OA2+OB2＝AD2 D.AD2+OA2＝OD2 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝　　　时，平行四边形CDEB为菱形． 5.在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（，0），C（0，﹣2），D（，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是 　　　　． 6.如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC中点，过点O作AC的垂线，分别与边AB、CD交于点F、E． （1）求证：△AOF≌△COE； （2）连接AE、CF，求证：四边形AFCE是菱形． 7.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CDBC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE． （1）求证：四边形ABED为菱形； （2）连接BD，当CE＝1时，求BD的长． 八、利用对角线判定矩形 1.在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加下列一个条件，能使▱ABCD成为矩形的是（　　） A.AB＝BC B.∠ABC＝∠ADC C.AC＝BD D.AC⊥BD 2.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（　　） A.AB＝BC B.AC⊥BD C.AC＝BD D.∠1＝∠2 3.如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC，BD的长就可以判断，其数学依据是（　　） A.三个角都是直角的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相垂直平分的四边形是矩形 4.如图，已知在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，要使四边形ABCD是矩形，可添加一个条件是 　　． 5.如果平行四边形ABCD的对角线AC＝BD，那么四边形ABCD是　　　形． 6.如图，四边形ABCD是平行四边形，AE过BC中点O且交DC的延长线于点E． （1）求证：△AOB≌△EOC； （2）连接AC，BE，请添加一个条件，使四边形ABEC为矩形．（不需要说明理由） 7.如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F分别是OA、OC上的点，连接BE、BF、DE、DF． 给出以下三个条件：①BE∥DF；②AE＝CF；③OD＝OE．从中选择两个条件，使四边形BEDF是矩形，并加以证明． 你选择的条件是 　　． 九、利用直角判定矩形 1.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　） A.∠ABD＝∠CBD B.∠ABC＝90° C.AC⊥BD D.AB＝BC 2.平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（　　） A.梯形 B.矩形 C.正方形 D.不是平行四边形 3.如图，平行四边形ABCD中，增加一个条件，能判定它是矩形的是（　　） A.∠ABC＝90° B.AC⊥BD C.AD＝AB D.OB＝OD 4.木匠师傅在判断一个木框是否为矩形时，量得一组对边的长均为0.6 m，另一组对边的长为均0.8 m，一条对角线长为1 m，于是判断此木框为矩形，此方法是否合理 　　　．（填合理或不合理） 5.如图，▱ABCD中，BE⊥AD于E，F为BC上一点，请添加一个条件，使得四边形BEDF是矩形，这个条件可以为 　　　　　　　　　　． 6.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线AC所在直线上，∠ABE＝∠CDF． （1）求证：BE＝DF； （2）连BF，DE．请添加一个条件，使四边形BFDE为矩形，并需要说明理由． 7.如图，已知E、F为平行四边形ABCD的对角线上的两点，且BE＝DF， （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若∠AEC＝90°，求证：四边形AECF为矩形． 十、平行线间的距离 1.如图，直线AB∥CD，点P是直线AB上一个动点，当点P的位置发生变化时，△PCD的面积（　　） A.向左移动变小 B.向右移动变小 C.始终不变 D.无法确定 2.已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离为6 cm，b与c之间的距离为2 cm，则a与c之间的距离是（　　） A.2 cm B.6 cm C.4 cm或8 cm D.8 cm 3.如图，l1∥l2，线段AB与l1、l2分别垂直于点A、B，关于线段AB的长度，下列说法不正确的是（　　） A.是点A到点B的距离 B.是点B到直线l1的距离 C.是直线l1、l2之间的距离 D.是点A到直线l2的最大距离 4.如图，直线a∥b，直线c与a，b分别交于A，B两点，若AB＝4，∠1＝30°，则直线a，b之间的距离为 　　　． 5.如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝4 mm，则两平行线l1和l2之间的距离是 　　　　． 6.如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝∠D． （1）求证：AD＝BC； （2）若AB＝17，AD＝2CD＝10，求AB与CD间的距离． 7.如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别相交于点A，B，AC⊥AB，AC交直线b于点C． （1）若∠1＝65°，求∠2的度数； （2）若AC＝3，AB＝4，BC＝5，求直线a与b的距离． 十一、矩形的对角线的性质 1.如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（　　） A.3 B.2 C. D.4 2.如图，延长矩形ABCD的边CB至点E，使EB＝AC，连接DE，若∠BAC＝α，则∠E的度数是（　　） A. B. C.α﹣45° D. 3.如图，延长矩形ABCD的边CB至点E，使BE＝AC，连接DE，若∠BAC＝56°，则∠E的度数是（　　） A.34° B.17° C.44° D.22° 4.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝OB，则∠BOC的度数是 　　． 5.如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为 　　． 6.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝1 cm． （1）求∠OAD的度数； （2）求矩形对角线AC的长． 7.如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC、BD交点，过点O的直线分别与边DA、BC延长线交于E、F． （1）求证：AE＝CF； （2）若∠ADB＝2∠E，求证：． 十二、有关正方形边、角的性质 1.如图，正方形ABCD中，M是正方形内一点，连结BM，使BM＝BC，再连接CM，DM，过点D有DN⊥DM，且DN＝DM，连接AN，若∠CBM＝α，则∠DAN的度数是（　　） A.90°﹣2α B.α C.45° D. 2.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形向左偏移，使点C落在y轴正半轴上点C′处，则点D的对应点D′的坐标为（　　） A. B.（﹣2，1） C. D. 3.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE交DF于点G，连接AG．下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠EAG＝30°；④∠AGE＝∠CDF．其中正确的是（　　） A.①② B.①③ C.①②④ D.①②③ 4.已知两个正方形的边长的和是10 cm，若它们面积的差是40 cm2，则它们面积的和是 　　． 5.如图，在正方形ABCD中，点E为CD的中点，点F、G分别在BC、AD上，且GF⊥BE，若四边形BFEG的面积为5，则AB的长为　． 6.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，BE＝CF，连接AF，DE交于点G，求证： （1）△ADF≌△DCE； （2）AF⊥DE． 7.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，且四边形AECF是正方形． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）已知平行四边形ABCD的面积为20，BC＝5，求DF的长． 十三、菱形的性质与判定的综合应用 1.如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，要在对角线AC上找两点E，F，使得四边形BFDE是菱形，现有如图2所示的甲、乙两种方案，则正确的方案是（　　） A.只有甲对 B.只有乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都不对 2.如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（　　） A.9.5 B.10 C.10.5 D.11 3.下列说法正确的是（　　） A.平行四边形的对角线互相垂直 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.菱形的对角线相等 D.对角线互相平分的四边形是平行四边形 4.小明借助没有刻度的直尺，按照下图的顺序作出了∠O的平分线OP，他这样做的数学原理是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF．若AD＝1，CF＝2，则BF为 　　． 6.如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形BEDF是菱形． 7.如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF． （1）求证：四边形ABEF为菱形； （2）AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长． 十四、正方形对角线的性质 1.如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，点F在DC上，且EF＝EC，连接AE、AF，若∠ECF＝α，∠DAF＝β，则（　　） A.α+β＝90° B.α﹣β＝45° C.2α+β＝135° D.2β﹣α＝15° 2.如图，三个边长相等的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和为8，则正方形的边长为（　　） A.2 B.4 C.8 D. 3.如图，在正方形ABCD中，E是BD上一点，DE＝DC，F是CB延长线上一点，EF＝EC，连接AF，则∠BAF的度数为（　　） A.15° B.20° C.22.5° D.25° 4.如图，E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，且CE＝BD．则∠E的度数为____度． 5.如图，以Rt△ABC的斜边AB为一边，在AB的右侧作正方形ABED，正方形对角线交于点O，连接CO，如果，那么BC＝　　． 6.小明正在思考一道几何证明题： 如图1，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，连接DE，DF，BE，BF，且DE＝DF．求证：四边形BFDE是菱形． 请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明． 7.如图，E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE＝BC，EF⊥BD，交DC于点F． （1）求证DE＝CF； （2）若DE＝1，则该正方形的边长为 　　． 苏科版八年级下册 9.4 矩形、菱形、正方形 暑假巩固（参考答案） 一、正方形的判定 1.已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果只添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（　　） A.AB＝CD B.AC＝BD C.AB＝AD D.AC与BD互相平分 【答案】C 【解析】由∠A＝∠B＝∠C＝90°可判定四边形ABCD为矩形， 因此再添加条件：AB＝AD，即可判定四边形ABCD为正方形， 故选：C． 2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　　） A.BC＝AC B.BD＝DF C.AC＝BF D.CF⊥BF 【答案】C 【解析】∵EF垂直平分BC， ∴BE＝EC，BF＝CF， ∵BF＝BE， ∴BE＝EC＝CF＝BF， ∴四边形BECF是菱形； 当BC＝AC时， ∵∠ACB＝90°， 则∠A＝45°时，菱形BECF是正方形． ∵∠A＝45°，∠ACB＝90°， ∴∠EBC＝45°， ∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°， ∴菱形BECF是正方形． 故选项A正确，但不符合题意； 当BD＝DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意； 当AC＝BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项C错误，符合题意； 当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项D正确，但不符合题意． 故选：C． 3.如图，在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（　　） A.AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B.AD∥BC，∠ABC＝∠BCD C.AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D.AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC 【答案】C 【解析】A，不能，只能判定为矩形； B，不能，不能判定为矩形； C，∵AO＝BO＝CO＝DO， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形，故能判定； D，不能，只能判定为菱形． 故选：C． 4.已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，添加条件　　　　　　　　可使菱形ABCD成为正方形． 【答案】AC＝BD或AB⊥BC 【解析】根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC； 故添加的条件为：AC＝BD或AB⊥BC． 5.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC＝BD，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形ABCD是正方形，只需添加的一个条件是 　　　　　　　　　． 【答案】AC⊥BD（答案不唯一） 【解析】添加的条件是AC⊥BD（答案不唯一）， 理由：∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形， 故答案为：AC⊥BD（答案不唯一）． 6.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心， AC， BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP． （1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由； （2）请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？ 【答案】解：（1）四边形BPCO为平行四边形． 理由：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OC＝OAAC，OB＝ODBD， ∵以点B，C为圆心， AC， BD长为半径画弧，两弧交于点P， ∴OB＝CP，BP＝OC， ∴四边形BPCO为平行四边形； （2）当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形BPCO为正方形． ∵AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∵AC＝BD，OBBD，OCAC， ∴OB＝OC， ∵四边形BPCO为平行四边形， ∴四边形BPCO为正方形． 7.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．求证：矩形ABCD为正方形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝∠B＝90°， ∵DE⊥AF， ∴∠DAB＝∠AGD＝90°， ∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°， ∴∠BAF＝∠ADE， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴AD＝AB， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是正方形． 二、正方形的性质与判定 1.如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③当EF∥BD时，四边形PFCE为正方形；④EF的最小值是1．其中正确结论的序号是（　　） A.①②③ B.③④ C.②③④ D.①②④ 【答案】C 【解析】∵当点P与BD中点重合时，CM＝0，显然FM≠CM，故①错误； 连接PC交EF于O．根据对称性可知∠DAP＝∠DCP， ∵四边形PECF是矩形， ∴OF＝OC， ∴∠OCF＝∠OFC， ∴∠OFC＝∠DAP， ∵∠DAP+∠AMD＝90°， ∴∠GFM+∠AMD＝90°， ∴∠FGM＝90°， ∴AH⊥EF，故②正确； ∵EF∥BD，EF⊥AH， ∴BD⊥AH，即点P与BD中点重合， ∴PF＝PE， ∴四边形PECF是正方形，故③正确； ∵四边形PECF是矩形， ∴EF＝PC， ∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线， ∵AC＝2， ∴PC的最小值为1， ∴EF的最小值为1，故④正确； 故选：C． 2.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，F是对角线AC，BD的交点，G，E分别是AD，CD上的动点，且保持AG＝DE，连接GE，GF，EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△GFE是等腰直角三角形；②四边形DGFE可能为正方形；③GE长度的最小值为4；④四边形DGFE的面积保持不变．其中正确的是（　　） A.仅①②③ B.仅①②④ C.仅②③④ D.①②③④ 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是正方形，AB＝8，F是对角线AC，BD的交点， ∴∠ADC＝90°，AD＝CD＝AB＝8，AF＝CF，BD⊥AC， ∴DF＝AF＝CFAC，∠AFD＝∠CFD＝90°， ∴∠FAD＝∠FDA＝∠FDC＝∠FCD＝45°， 在△AFG和△DFE中， ， ∴△AFG≌△DFE（SAS）， ∴GF＝EF，∠AFG＝∠DFE， ∴∠GFE＝∠DFE+∠DFG＝∠AFG+∠DFG＝∠AFD＝90°， ∴△GFE是等腰直角三角形， 故①正确； 当点G是AD的中点时，则FG⊥AD， ∴∠FGD＝∠GDE＝∠GFE＝90°， ∴四边形DGFE是矩形， ∵GF＝EF， ∴四边形DGFE是正方形， ∴四边形DGFE可能是正方形， 故②正确； ∵∠GFE＝90°，GF＝EF， ∴GEGF， 当GF⊥AD时，GF的值最小，此时AG＝DG， ∴GFAD8＝4， ∴GE4＝4， ∴GE长度的最小值为4， 故③正确； ∵当GF⊥AD时，GF＝4， ∴S△AFD8×4＝16， ∵△AFG≌△DFE， ∴S△AFG＝S△DFE， ∴S四边形DGFE＝S△DFG+S△DFE＝S△DFG+S△AFG＝S△AFD＝16， ∴四边形DGFE的面积保持不变， 故④正确， 故选：D． 3.下列说法错误的是（　　） A.正方形是平行四边形 B.正方形是菱形 C.正方形是矩形 D.菱形和矩形都是正方形 【答案】D 【解析】∵正方形的两组对边分别平行， ∴正方形是平行四边形， 故A不符合题意； ∵正方形的四条边都相等， ∴正方形是菱形， 故B不符合题意； ∵正方形的四个角都是直角， ∴正方形是矩形， 故C不符合题意； ∵菱形的内角不一定是直角， ∴菱形不一定是正方形； ∵矩形的邻边不一定相等， ∴矩形不一定是正方形， 故D符合题意， 故选：D． 4.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，则在下列说法中：①△ADE≌△CDG；②四边形EFGD是正方形；③∠ACG的大小随着点E的运动不断改变；④CE+CG的值是定值；正确的有 　　． 【答案】①②④ 【解析】如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， ∵∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形，故②正确； ∴DE＝DG，∠EDG＝∠ADC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， ∵AD＝CD， ∴△ADE≌△CDG（SAS），故①正确； ∴∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝90°是定值，故③错误； ∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝3是定值．故④正确； 故答案为：①②④． 5.现有一张边长等于a（a＞16）的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8 cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是 　　（填写图形的形状）（如图），它的一边长是 　　． 【答案】正方形； cm 【解析】如图，作AB平行于小正方形的一边，延长小正方形的另一边与大正方形的一边交于B点， ∴△ABC为直角边长为8 cm的等腰直角三角形， ∴ABAC＝8， ∴阴影正方形的边长＝AB＝8 cm． 故答案为：正方形， cm． 6.已知，如图，在正方形ABCD中，点A′、B′、C′、D′分别在AB、BC、CD、DA上，且AA′＝BB′＝CC′＝DD′．求证：四边形A′B′C′D′是正方形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠D＝90°， ∵AA′＝BB′＝CC′＝DD′， ∴AD﹣DD′＝CD﹣CC′，即AD′＝DC′， ∴△A′AD′≌△D′DC′（SAS）， ∴A′D′＝D′C′，∠2＝∠DC′D′， ∵∠2+∠CD′D＝∠DC′D′++∠CD′D＝90°， ∴∠A′D′C′＝90°， 同理可证明A′B′＝B′C′＝C′D′＝A′D′， ∴四边形A′B′C′D′是正方形． 7.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E，连接DE． （1）求证：四边形BCDE为菱形； （2）若AB＝10，E为AC的中点，当BC的长为 　　时，四边形BCDE为正方形． 【答案】（1）证明：∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AC为BD的垂直平分线， 即AC⊥BD，OB＝OD， ∵BE∥CD， ∴∠EBO＝∠CDO， 在△EOB和△COD中， ， ∴△EOB≌△COD（AAS）， ∴EO＝CO， ∴四边形BCDE为平行四边形． ∵CB＝CD， ∴四边形BCDE是菱形； （2）解：设OB＝x， ∵四边形BCDE是菱形， ∴当OE＝OB＝x时，四边形BCDE是正方形， 此时， ∵E为AC的中点， ∴AE＝CE＝2x， 在Rt△AOB中，∵OB2+OA2＝AB2， ∴x2+（3x）2＝102， 解得，（舍去）， ∴， 故答案为：． 三、矩形的判定与性质的综合应用 1.在四边形ABCD中，AB＝DC，AB∥DC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形，添加的条件不能是（　　） A.AC⊥BD B.AB⊥BC C.∠C＝90° D.AC＝BD 【答案】A 【解析】∵AB＝DC，AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， A、根据对角线相等的平行四边形是矩形，所以当AC⊥BD时不一定得到矩形，故选项A符合题意； B、∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意； 故选：A． 2.在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　） A.AD＝BC且AC＝BD B.AD＝BC且∠A＝∠B C.AB＝CD且∠A＝∠C D.AB∥CD且AC2＝AB2+BC2 【答案】C 【解析】A、∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意； B、∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意； C、∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形，AB＝CD，故选项C不符合题意； D、∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC2＝AB2+BC2， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴选项D不符合题意； 故选：C． 3.已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　） A.∠A＝∠B B.∠A＝∠C C.AC＝BD D.AB⊥BC 【答案】B 【解析】A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B+∠A＝180°， ∵∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， ∴选项B不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意； D、∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意； 故选：B． 4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P为AB边上不与A，B重合的一动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是　　　　　　　　． 【答案】4.8 【解析】如图，连接CP． ∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB10， ∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C＝90°， ∴四边形CFPE是矩形， ∴EF＝CP， 由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小， 此时，S△ABCBC•ACAB•CP， 即8×610•CP， 解得CP＝4.8． 故答案为：4.8. 5.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DE⊥BC，DB平分∠ADC．下列结论：①BC＝DC；②四边形ABED是矩形；③点E是BC的中点；④若AD＝2，CD＝5，则AB＝4．其中一定正确的有 　　　　　　　　 【答案】①②④ 【解析】∵DE⊥BC， ∴∠D E B＝∠A＝∠A B C＝90°， ∴四边形ABED是矩形，故②正确； ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB， ∴∠CBD＝∠CDB， ∴DC＝BC，故①正确； ∵BD与CD不一定相等， ∴点E不一定是BC的中点，故③错误； ∵B E＝A D＝2，B C＝C D＝5， ∴CE＝BC﹣BE＝3， ∴，故④正确， ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 6.如图，点A在∠MON的边ON上，AB⊥OM于B，AE＝OB，DE⊥ON于E，AD＝AO，DC⊥OM于C． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若DE＝3，OE＝9，求AD的长． 【答案】（1）证明：∵AB⊥OM于B，DE⊥ON于E， ∴∠ABO＝∠DEA＝90°． 在Rt△ABO与Rt△DEA中， ， ∴Rt△ABO≌Rt△DEA（HL） ∴∠AOB＝∠DAE． ∴AD∥BC． 又∵AB⊥OM，DC⊥OM， ∴AB∥DC． ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）解：由（1）知Rt△ABO≌Rt△DEA， ∴AB＝DE＝3， 设AD＝x，则OA＝x，AE＝OE﹣OA＝9﹣x． 在Rt△DEA中，由AE2+DE2＝AD2得：（9﹣x）2+32＝x2， 解得x＝5． ∴AD＝5．即AD的长为5． 7.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB． （1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形； （2）如图2，E是AD边上任意一点，EF⊥BD，EG⊥AC，F、G分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求EG+EF的值． 【答案】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠BAD＝∠BCD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OCAC，OB＝ODBD， ∵OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形； （2）解：如图，连接OE， ∵AD＝12，AB＝5， ∴BD13， ∴BO＝OD＝AO＝CO， ∵S△AODS矩形ABCD12×5＝15， ∴S△AOE+S△DOE＝15， ∵EF⊥BD，EG⊥AC， ∴EGEF＝15， ∴EG+EF． 四、利用边判定菱形 1.如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 【答案】B 【解析】∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D， ∴AC＝AD＝BD＝BC， ∴四边形ADBC一定是菱形， 故选：B． 2.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边BC的中点，连接EO并延长交边AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论错误的是（　　） A.AB⊥AC B.AD＝4OE C.四边形AECF为菱形 D.S△BOES△ABC 【答案】D 【解析】∵点E为BC的中点， ∴BC＝2BE＝2CE， 又∵BC＝2AB， ∴AB＝BE， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠BAE＝∠BEA＝60°，AE＝BE＝CE， ∴∠EAC＝∠ECA＝30°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°， 即AB⊥AC，故A正确，故该选项不符合题意； 在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO， ∴∠CAD＝∠ACB， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝CE， ∴平行四边形AECF是菱形，故C正确，故该选项不符合题意； ∴AC⊥EF， 在Rt△COE中，∠ACE＝30°， ∴，则AD＝4OE，故B正确，故该选项不符合题意； 在平行四边形ABCD中，OA＝OC， 又∵点E为BC的中点， ∴，故D错误，故该选项符合题意； 故选：D． 3.依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分，故A不一定是菱形； ∵四边形是平行四边形， ∴对边相等，故B不一定是菱形； ∵四边形是平行四边形， ∴对边平行，故D不一定是菱形， ∵图C中，根据三角形的内角和定理可得：180°﹣70°﹣55°＝55°， ∴邻边相等， ∵四边形是平行四边形， ∴邻边相等的平行四边形的菱形，故C是菱形； 故选：C． 4.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是 　　（限填序号）． 【答案】① 【解析】①∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形； ②∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形； ③∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC， 因此∠ABC＝∠ADC时，四边形ABCD还是平行四边形； 故答案为：①． 5.以A点为圆心，5为半径画弧，再以B点为圆心，相同长度为半径画弧，交前弧于M、N两点，已知AB＝6，则以A、B、M、N四点为顶点的四边形的面积是 　　． 【答案】24 【解析】根据作图过程可知：AN＝AM＝BM＝BN＝5， ∴四边形AMBN是菱形， ∴AB⊥MN于点O， ∵AM＝5，OA＝AB6＝3， ∴OM4， ∴MN＝2OM＝8， ∴菱形AMBN的面积AB•MN6×8＝24． 故答案为：24． 6.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形． 【答案】证明：（1）∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， ∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线， ∴AE＝DE，BD＝CD， 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）； （2）由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB． ∵DB＝DC， ∴AF＝CD． ∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点， ∴AD＝DCBC， ∴四边形ADCF是菱形． 7.如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，DF∥AB．求证：四边形AEDF是菱形． 【答案】证明：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形． ∵∠DAE＝∠DAF，∠DAF＝∠EDA， ∴∠DAE＝∠EDA， ∴AE＝ED， ∴四边形AEDF是菱形． 五、菱形的四条边相等 1.在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF．若∠B＝55°，则∠AEF的度数为（　　） A.55° B.57.5° C.60° D.62.5° 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， 在△AEB和△AFD中， ， ∴△AEB≌△AFD（AAS）， ∴AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∵AB∥CD，∠B＝55°， ∴∠B＝180°﹣∠C， ∵∠AEC＝∠AFC＝90°， ∴∠EAF＝360°﹣∠AEC﹣∠AFC﹣∠C＝180°﹣∠C， ∴∠EAF＝∠B＝55°， ∵∠AEF+∠AFE+∠EAF＝2∠AEF+55°＝180°， ∴∠AEF＝62.5°， 故选：D． 2.如图，在菱形ABCO中，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标是（4，3），点D是AB的中点，过点D作EF⊥BC交BC于点E，交x轴于点F，则点D的坐标是（　　） A. B. C.（8，3） D.（7，3） 【答案】A 【解析】由题意知，， ∵菱形ABCO， ∴OA＝BC＝OC＝5，OA∥BC， ∴A（5，0），B（9，3）， ∴AB的中点坐标，即， 故选：A． 3.如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　） A. B.3+3 C.6 D. 【答案】D 【解析】如图，过点M作ME⊥AB于点E，连接BD交AC于O， ∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°， ∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC， ∴△ADB是等边三角形， ∴∠MAE＝30°， ∴AM＝2ME， ∵MD＝MB， ∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE， 点M运动到DE上，且DE⊥射线AB时，DE取得最小值，此时DE最短，即MA+MB+MD最小， ∵菱形ABCD的边长为6， ∴DE3， ∴2DE＝6． ∴MA+MB+MD的最小值是6． 故选：D． 4.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标是（3，1）．若顶点B在第一象限的角平分线上，则点B的坐标是 　　　． 【答案】（4，4） 【解析】如图，过点B作BH⊥x轴于H，过点A作AF⊥OH于F，连接AH， ∵点A的坐标是（3，1）， ∴AF＝1，OF＝3， ∵四边形OABC是菱形， ∴OA＝AB， ∵点B在第一象限的角平分线上， ∴△OBH是等腰直角三角形， ∴BH＝OH， 又∵AH＝AH， ∴△AHB≌△AHO（SSS）， ∴OH＝BH，∠AHO＝∠AHB＝45°， ∵AF⊥OH， ∴AF＝FH＝1， ∴OH＝BH＝4， ∴点B（4，4）， 故答案为：（4，4）． 5.已知在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC＝1，则AB的长是 　　． 【答案】1 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝1， 故答案为：1． 6.如图，菱形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，AF＝CE，求证：AE＝CF． 【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD， 又∵AF＝CE， ∴AD﹣AF＝CD﹣CE， ∴DF＝DE， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF． 7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）若AB＝5，菱形ADCF的面积为10，求BC的长． 【答案】（1）证明：∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， 在△AEF和△DEB中， ， ∴△AEF≌△DEB（AAS）； （2）解：∵D是BC的中点， ∴， ∵， ∴S△ABC＝S四边形ADCF＝10， ∵，即， ∴AC＝4， ∴． 六、菱形对角线垂直 1.已知，菱形的周长为20，一条对角线长为6，则菱形的面积（　　） A.48 B.24 C.18 D.12 【答案】B 【解析】如图，BD＝6， ∵菱形的周长为20， ∴AB＝5， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OBDB＝3，AOAC，BD⊥AC， 由勾股定理得OA＝4，则AC＝8， 所以菱形的面积AC•BD6×8＝24． 故选：B． 2.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若∠1＝20°，则∠2 的度数为（　　） A.20° B.60° C.70° D.80° 【答案】C 【解析】∵菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O， ∴AC⊥BD， ∴∠COD＝90°， ∵∠1＝20°， ∴∠2＝90°﹣∠1＝70°． 故选C． 3.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AB＝5，AC＝6，DE⊥BC于点E，则OE的长为（　　） A.3 B.4 C.4.5 D.5 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝5，AC⊥BD，AOAC6＝3，OB＝OD， 在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD4， ∴BD＝2OD＝8， ∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝90°， ∵OD＝OB， ∴OEBD8＝4， 故选：B． 4.已知菱形ABCD的边长是 cm，对角线AC＝4 cm，则菱形的面积是_______cm2． 【答案】12 【解析】设AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是边长为 cm，对角线AC＝4 cm， ∴AB cm，AO＝COAC＝2 cm，BO＝DO，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∴BO3（cm）， ∴BD＝2BO＝6 cm， ∴S菱形ABCDAC•BD4×6＝12（cm2）， 故答案为：12． 5.若菱形的两条对角线的长是6 cm和8 cm，那么这个菱形的周长是　　cm． 【答案】20 【解析】如图，∵菱形的两条对角线的长是6 cm和8 cm， ∴OA8＝4 cm，OB6＝3 cm， 又∵菱形的对角线AC⊥BD， ∴AB5 cm， ∴这个菱形的周长＝5×4＝20 cm． 故答案为：20． 6.在数学活动课上，学习小组的同学们制作了两个特殊的直角三角板（△ABF和△CDE），按如图的方式放置，已知∠BAF＝∠DCE＝90°，AF＝CE＝3，AB＝CD＝4，连接AE，CF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若四边形AECF是菱形，求菱形AECF的面积和BD的长． 【答案】（1）证明：在△ABF 和△CDE 中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）， ∴∠AFB＝∠CED， ∴AF∥CE． ∵AF＝CE， ∴四边形AECF为平行四边形； （2）解：如解图，连接AC交EF于点O， ∵四边形AECF 为菱形， ∴AC⊥EF，OE＝OF，OA＝OC． 在Rt△ABF 中，． 由（1）知，△ABF≌△CDE， ∴BF＝DE＝5． ∵， ∴， ∴． 在BRt△AOF 中，， ∴， ∴S菱形AECFAC•EF， ∵， ∴． 7.如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，取CB边中点E，连接OE并延长使EF＝OE，连接BF，CF．求证：AD＝OF． 【答案】证明：∵E为BC中点， ∴BE＝EC， ∵EF＝OE， ∴四边形OBFC是平行四边形， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝BC，AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴四边形OBFC是矩形， ∴OF＝BC， ∴AD＝OF． 七、利用对角线判定菱形 1.已知如图，在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角，将△ABC沿对角线AC边平移，得到△A′B′C′，连接AB′和C′D，若使四边形AB′C′D是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：AB′＝DC′；乙方案：B′D⊥AC′；丙方案：∠A′C′B′＝∠A′C′D；其中正确的方案是（　　） A.甲、乙、丙 B.只有乙、丙 C.只有甲、乙 D.只有甲 【答案】B 【解析】根据题意可知AD＝B'C'，AD∥B'C'， ∴四边形AB'C'D是平行四边形． 方案甲，AB'＝C'D不能判断四边形AB'C'D是菱形； 方案乙，由B'D⊥AC'， ∴平行四边形AB'C'D是菱形； 方案丙，由∠A'C'B'＝∠A'C'D，又AD∥B'C'， ∴∠DAC'＝∠A'C'B'， ∴∠DAC'＝∠AC'D， ∴AD＝C'D， ∴平行四边形AB'C'D是菱形． 所以正确的是乙和丙． 故选：B． 2.下列条件中，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（　　） A.AC⊥BD B.AB⊥BC C.AB＝CD D.∠BAD＝∠ADC 【答案】A 【解析】A、∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD为菱形，故选项A符合题意； B、∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意； C、∵AB＝CD， ∴平行四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意； D、由∠BAD＝∠ADC，AB∥CD， ∴∠BAD＝∠ADC＝90°， ∴平行四边形ABCD为矩形，故选项D不符合题意； 故选：A． 3.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A.∠BAC＝∠BCA B.∠ABD＝∠CBD C.OA2+OB2＝AD2 D.AD2+OA2＝OD2 【答案】D 【解析】A、∵∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝BC， ∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵OA2+OB2＝AD2， ∴OA2+OD2＝AD2， ∴∠AOD＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意， D、∵AD2+OA2＝OD2， ∴∠OAD＝90°， ∴OA⊥AD， ∴不能证得▱ABCD是菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝　　　时，平行四边形CDEB为菱形． 【答案】 【解析】如图，连接CE交AB于点O． ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB5． 若平行四边形CDEB为菱形， 则CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB． ∵S△ACBAB•OCAC•BC， ∴OC． 在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB， ∴AD＝AB﹣2OB． 故答案为：． 5.在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（，0），C（0，﹣2），D（，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是 　　　　． 【答案】菱形 【解析】∵A（0，2），B（，0），C（0，﹣2），D（，0）， ∴OA＝OC＝2，OB＝OD＝2， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵A，C在y轴上，C，D在x轴上， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形． 故答案为：菱形． 6.如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC中点，过点O作AC的垂线，分别与边AB、CD交于点F、E． （1）求证：△AOF≌△COE； （2）连接AE、CF，求证：四边形AFCE是菱形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠OAE＝∠OCF． ∵O是AC中点，∴AO＝CO． 在△AOE和△COF中， ． ∴△AOF≌△COE（ASA）． （2）四边形AFCE为菱形，理由如下： ∵△AOF≌△COE， ∴AF＝CE． 又AF∥CE， ∴四边形AFCE为平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴平行四边形AFCE为菱形． 7.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CDBC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE． （1）求证：四边形ABED为菱形； （2）连接BD，当CE＝1时，求BD的长． 【答案】证明：（1）设AE与BD的交点为O， ∴AM为BD的线段垂直平分线， ∴BO＝DO， 由平行可得∠DAO＝∠BEO， ∵∠AOD＝∠EOB， ∴△AOD≌△EOB（AAS）， ∴AO＝EO， ∴四边形ABED是平行四边形， ∵AE⊥BD， ∴平行四边形ABED是菱形； （2）∵AB＝AD＝CDBC，BE＝AD， ∴E是BC的中点， ∵DE＝BE＝CE＝CD＝1， ∴△BDC是直角三角形， ∵2DC＝BC， ∴△BDC是含30°的直角三角形， ∴BD. 八、利用对角线判定矩形 1.在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加下列一个条件，能使▱ABCD成为矩形的是（　　） A.AB＝BC B.∠ABC＝∠ADC C.AC＝BD D.AC⊥BD 【答案】C 【解析】根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，故C选项符合题意．故选：C． 2.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（　　） A.AB＝BC B.AC⊥BD C.AC＝BD D.∠1＝∠2 【答案】C 【解析】根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，故C选项符合题意．故选：C． 3.如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC，BD的长就可以判断，其数学依据是（　　） A.三个角都是直角的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相垂直平分的四边形是矩形 【答案】C 【解析】推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项符合题意． 故选：C． 4.如图，已知在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，要使四边形ABCD是矩形，可添加一个条件是 　　． 【答案】AC＝BD（答案不唯一） 【解析】∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形， 故答案为：AC＝BD（答案不唯一）． 5.如果平行四边形ABCD的对角线AC＝BD，那么四边形ABCD是　　　形． 【答案】矩 【解析】如果平行四边形ABCD的对角线AC＝BD，那么四边形ABCD是矩形；理由如下： ∵AC＝BD，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）， 故答案为：矩． 6.如图，四边形ABCD是平行四边形，AE过BC中点O且交DC的延长线于点E． （1）求证：△AOB≌△EOC； （2）连接AC，BE，请添加一个条件，使四边形ABEC为矩形．（不需要说明理由） 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∠B＝∠D， ∴∠B＝∠BCE， ∵O是BC中点， ∴BO＝CO， ∵BO＝CO，∠B＝∠BCE，∠AOB＝∠COE， ∴△AOB≌△EOC； （2）解：添加条件是OA＝OB，四边形ABEC是矩形． 理由如下： ∵△AOB≌△EOC， ∴BO＝CO，AO＝EO， ∴四边形ABEC是平行四边形， ∵OA＝OB， ∴BC＝AE，且四边形ABEC是平行四边形， ∴四边形ABEC是矩形． 7.如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F分别是OA、OC上的点，连接BE、BF、DE、DF． 给出以下三个条件：①BE∥DF；②AE＝CF；③OD＝OE．从中选择两个条件，使四边形BEDF是矩形，并加以证明． 你选择的条件是 　　． 【答案】解：选择②③，证明如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF， 即OE＝OF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵OD＝OE， ∴OE＝OD＝OF＝OB， ∴EF＝BD， ∴平行四边形BEDF是矩形. 九、利用直角判定矩形 1.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（　　） A.∠ABD＝∠CBD B.∠ABC＝90° C.AC⊥BD D.AB＝BC 【答案】B 【解析】A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠BDC＝∠CBD， ∴BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误，不符合题意； B、∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确，符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当AC⊥BD时四边形ABCD是菱形，故本选项错误，不符合题意； D、根据AB＝BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误，不符合题意，不符合题意； 故选：B． 2.平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（　　） A.梯形 B.矩形 C.正方形 D.不是平行四边形 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵AE、BE分别是∠BAD、∠ABC的平分线， ∴∠BAE+∠ABE∠BAD∠ABC180°＝90°， ∴∠AEB＝90°， ∴∠FEH＝90°， 同理可求∠F＝90°，∠FGH＝90°，∠H＝90°， ∴四边形EFGH是矩形． 故选：B． 3.如图，平行四边形ABCD中，增加一个条件，能判定它是矩形的是（　　） A.∠ABC＝90° B.AC⊥BD C.AD＝AB D.OB＝OD 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，故选项A符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝AB， ∴四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝DO，故选项D不符合题意， 故选：A． 4.木匠师傅在判断一个木框是否为矩形时，量得一组对边的长均为0.6 m，另一组对边的长为均0.8 m，一条对角线长为1 m，于是判断此木框为矩形，此方法是否合理 　　　．（填合理或不合理） 【答案】合理 【解析】如图，由题意得：AB＝CD＝0.6 m，BC＝AD＝0.8 m， ∴四边形ABCD为平行四边形， 又∵AC＝1 m，0.62+0.82＝12， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形， 即此木框为矩形，此方法合理， 故答案为：合理． 5.如图，▱ABCD中，BE⊥AD于E，F为BC上一点，请添加一个条件，使得四边形BEDF是矩形，这个条件可以为 　　　　　　　　　　． 【答案】DF⊥BC（答案不唯一） 【解析】添加DF⊥BC， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵DF⊥BC， ∴DF⊥AD， ∵BE⊥AD， ∴BE∥DF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵BE⊥AD， ∴∠BED＝90°， ∴四边形BEDF是矩形． 故答案为：DF⊥BC（答案不唯一）． 6.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线AC所在直线上，∠ABE＝∠CDF． （1）求证：BE＝DF； （2）连BF，DE．请添加一个条件，使四边形BFDE为矩形，并需要说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCA， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE与△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴BE＝DF； （2）解：如图，添加一个条件为∠EBF＝90°， 理由：由（1）知，△ABE≌△CDF， ∴BE＝DF，∠BEF＝∠DFE， ∴BE∥DF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵∠EBF＝90°， ∴四边形BFDE为矩形． 7.如图，已知E、F为平行四边形ABCD的对角线上的两点，且BE＝DF， （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若∠AEC＝90°，求证：四边形AECF为矩形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）如图，由（1）可知，△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD． ∵∠AEB+∠AEO＝∠CFD+∠CFE＝180°， ∴∠AED＝∠CFE， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF为平行四边形． 又∵∠AEC＝90°， ∴平行四边形AECF为矩形． 十、平行线间的距离 1.如图，直线AB∥CD，点P是直线AB上一个动点，当点P的位置发生变化时，△PCD的面积（　　） A.向左移动变小 B.向右移动变小 C.始终不变 D.无法确定 【答案】C 【解析】∵直线AB∥CD，点P是直线AB上一个动点， ∴无论点P怎么移动，点P到CD的距离不变， ∴△PCD的底不变，高不变，面积也不变， 故选：C． 2.已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离为6 cm，b与c之间的距离为2 cm，则a与c之间的距离是（　　） A.2 cm B.6 cm C.4 cm或8 cm D.8 cm 【答案】C 【解析】∵a∥b∥c，a与b之间的距离为6 cm，b与c之间的距离为2 cm， 分两种情况讨论如下： ①当直线c在直线a，b之间时，如图1所示： 此时a与c之间的距离是：6﹣2＝4（cm）； ②当直线c在直线a，b外时，如图2所示： 此时a与c之间的距离是：6+2＝8（cm）， 综上所述：a与c之间的距离是4 cm或8 cm． 故选：C． 3.如图，l1∥l2，线段AB与l1、l2分别垂直于点A、B，关于线段AB的长度，下列说法不正确的是（　　） A.是点A到点B的距离 B.是点B到直线l1的距离 C.是直线l1、l2之间的距离 D.是点A到直线l2的最大距离 【答案】D 【解析】∵l1∥l2，线段AB与l1、l2分别垂直于点A、B， ∴线段AB表示的是点A到点B的距离，点B到直线l1的距离，直线l1、l2之间的距离，点A到直线l2的距离， ∴选项A、B、C说法正确，选项D点A到直线l2的最大距离说法错误， 故选：D． 4.如图，直线a∥b，直线c与a，b分别交于A，B两点，若AB＝4，∠1＝30°，则直线a，b之间的距离为 　　　． 【答案】2 【解析】如图，作AC⊥b于点C， ∵AB＝4，∠1＝30°， ∴ACAB＝2， ∴直线a，b之间的距离为2． 故答案为：2． 5.如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝4 mm，则两平行线l1和l2之间的距离是 　　　　． 【答案】2 mm 【解析】过A作AC⊥l2，交l2于点C， ， ∴∠ACB＝90°， ∵直线l1∥l2，∠DAB＝135°， ∴∠ABC＝45°， ∴AC＝AB• sin∠ABC＝2（mm）， 故答案为：2 mm． 6.如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝∠D． （1）求证：AD＝BC； （2）若AB＝17，AD＝2CD＝10，求AB与CD间的距离． 【答案】（1）证明：过点C，D分别作AB的垂线，垂足分别为E，F，如下图所示： ∵CE⊥AB，DF⊥AB，AB∥CD， ∴CE⊥CD，DF⊥CD， ∴四边形DCEF为矩形， ∴DF＝CE，∠FDC＝∠ECD＝90°，∠AFD＝∠BEC＝90°， ∵∠BCD＝∠ADC， ∴∠BCD﹣∠ECD＝∠ADC﹣∠FDC， ∴∠BCE＝∠ADF， 在△ADF和△BCE中， ， ∴△ADF≌△BCE（ASA）， ∴AD＝BC； （2）解：∵AB＝17，AD＝2CD＝10， ∴CD＝5， ∵四边形DCEF为矩形， ∴EF＝CD＝5， ∵△ADF≌△BCE， ∴AF＝BE（AB﹣EF）（17﹣5）＝6， 在Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6， 由勾股定理得：DF8． 故AB与CD间的距离为8． 7.如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别相交于点A，B，AC⊥AB，AC交直线b于点C． （1）若∠1＝65°，求∠2的度数； （2）若AC＝3，AB＝4，BC＝5，求直线a与b的距离． 【答案】解：（1）∵AC⊥AB， ∴∠2+∠3＝90°， ∵a∥b， ∴∠3＝∠1＝65°， ∴∠2＝90°﹣65°＝25°； （2）设直线a与b的距离为h， ∵AC⊥AB， ∴，即：3×4＝5h， ∴； ∴直线a与b的距离为． 十一、矩形的对角线的性质 1.如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（　　） A.3 B.2 C. D.4 【答案】C 【解析】连接OB，过B作BM⊥x轴于M， ∵点B的坐标是（1，3）， ∴OM＝1，BM＝3，由勾股定理得：OB， ∵四边形OABC是矩形， ∴AC＝OB， ∴AC， 故选：C． 2.如图，延长矩形ABCD的边CB至点E，使EB＝AC，连接DE，若∠BAC＝α，则∠E的度数是（　　） A. B. C.α﹣45° D. 【答案】B 【解析】连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，OA＝OCAC，OB＝ODBD，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∴∠OBA＝∠BAC＝α， ∴∠CBD＝90°﹣α， ∵BE＝AC＝BD， ∴∠BDE＝∠E， ∴∠CBD＝∠BDE+∠E＝2∠E， ∴2∠E＝90°﹣α， ∴∠E＝45°， 故选：B． 3.如图，延长矩形ABCD的边CB至点E，使BE＝AC，连接DE，若∠BAC＝56°，则∠E的度数是（　　） A.34° B.17° C.44° D.22° 【答案】B 【解析】连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，OA＝OCAC，OB＝ODBD，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∴∠OBA＝∠BAC＝56°， ∴∠CBD＝90°﹣56°， ∵BE＝AC＝BD， ∴∠BDE＝∠E， ∴∠CBD＝∠BDE+∠E＝2∠E， ∴2∠E＝90°﹣56°， ∴∠E＝45°17°， 故选：B． 4.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝OB，则∠BOC的度数是 　　． 【答案】120° 【解析】矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴AO＝OC＝OB， ∵AB＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴∠BOC＝120°， 故答案为：120°． 5.如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为 　　． 【答案】3 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝12， ∴OA＝OB＝OC＝ODBD＝6， ∵∠BOC＝120°＝∠AOD， ∴∠OAD＝∠ODA＝30°， 当OP⊥AD时，OP有最小值， ∴OPOD＝3， 故答案为：3． 6.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝1 cm． （1）求∠OAD的度数； （2）求矩形对角线AC的长． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴AO＝OC，BO＝DO，AC＝BD， ∴AO＝DO＝BO＝CO， ∵∠AOD＝120°， ∴； （2）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠ODA＝30°， ∴BD＝2AB＝2×1＝2（cm）， ∴AC＝BD＝2 cm． 7.如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC、BD交点，过点O的直线分别与边DA、BC延长线交于E、F． （1）求证：AE＝CF； （2）若∠ADB＝2∠E，求证：． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，AD∥BC， ∴∠OAE＝∠OCF， 在△OAE和△OCF中， ， ∴△OAE≌△OCF（ASA）， ∴AE＝CF； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OAAC，ODBD， ∴OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADB， 设∠E＝x，则∠ADB＝2x， ∴∠OAD＝2x， ∵∠OAD＝∠E+∠AOE， ∴∠E＝∠AOE， ∴AE＝AO， ∴AEACBD． 十二、有关正方形边、角的性质 1.如图，正方形ABCD中，M是正方形内一点，连结BM，使BM＝BC，再连接CM，DM，过点D有DN⊥DM，且DN＝DM，连接AN，若∠CBM＝α，则∠DAN的度数是（　　） A.90°﹣2α B.α C.45° D. 【答案】D 【解析】∵BM＝BC，∠CBM＝α， ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴DC＝DA，∠ADC＝∠DCB＝90°， ∴， ∵DN⊥DM， ∴∠MDN＝90°， ∴∠NDA＝∠MDC， ∵DN＝DM， ∴△NDA≌△MDC（SAS）， ∴， 故选：D． 2.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形向左偏移，使点C落在y轴正半轴上点C′处，则点D的对应点D′的坐标为（　　） A. B.（﹣2，1） C. D. 【答案】D 【解析】由题意可得，，AB＝BC'＝CD'＝AD'＝2， ∴，四边形ABC′D'为菱形， ∴C'D'∥x轴， ∴点D'的坐标为（﹣2，）， 故选：D． 3.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE交DF于点G，连接AG．下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠EAG＝30°；④∠AGE＝∠CDF．其中正确的是（　　） A.①② B.①③ C.①②④ D.①②③ 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°， ∵E，F分别是AB，BC的中点， ∴BEAB，CFBC， ∴BE＝CF， 在△CBE与△DCF中， ， ∴△CBE≌△DCF（SAS）， ∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确； ∵∠BCE+∠ECD＝90°， ∴∠ECD+∠CDF＝90°， ∴∠CGD＝90°， ∴CE⊥DF，故②正确； ∵CFBCCD， ∴∠CDF≠30°， ∴∠ADG≠60°， ∵AD＝AG， ∴△ADG不是等边三角形， ∴∠EAG≠30°，故③错误； ∵CE⊥DF， ∴∠EGD＝90°， 延长CE交DA的延长线于H，如图， ∵点E是AB的中点， ∴AE＝BE， ∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE， ∴△AEH≌△BEC（AAS）， ∴BC＝AH＝AD， ∵AG是斜边的中线， ∴AGDH＝AD， ∴∠ADG＝∠AGD， ∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°， ∴∠AGE＝∠CDF．故④正确； 故选：C． 4.已知两个正方形的边长的和是10 cm，若它们面积的差是40 cm2，则它们面积的和是 　　． 【答案】58 cm2 【解析】设两个正方形的边长分别为a cm，b cm， 根据题意得：a+b＝10，a2﹣b2＝40， ∴（a+b）（a﹣b）＝40， ∴a﹣b＝4， 则a＝7，b＝3， 则它们面积的和是72+32＝58（cm2）， 故答案为：58 cm2． 5.如图，在正方形ABCD中，点E为CD的中点，点F、G分别在BC、AD上，且GF⊥BE，若四边形BFEG的面积为5，则AB的长为　． 【答案】2 【解析】过点F作FH⊥AD于点H，如图所示： 则∠FHD＝∠FHG＝90°， ∵四边形ABCD为正方形． ∴∠ABC＝∠BCD＝∠D＝∠A＝90°，AB＝BC＝CD＝AD， ∵∠FHD＝∠D＝∠C＝90°， ∴四边形FHDC为矩形． ∴FH＝DC，∠HFC＝90°， ∴FH＝BC，∠BFH＝180°﹣90°＝90°， ∵GF⊥BE． ∴∠BOF＝90°， ∴∠OBF+∠BFO＝∠BFO+∠OFH﹣90°， ∴∠EBF＝∠GFH， ∵∠GHF＝∠BCE＝90°， ∴△GFH≌△EBC（ASA）， ∴GF＝BE． ∵四边形BFEG的面积为5，GF⊥BE， ∴GF•BE＝5， 即BE2＝5， 解得BE，负值舍去， ∵点E为CD的中点， ∴CECDBC． ∵BC2+CE2＝BE2， ∴BC2+（BC）2＝10． 解得：BC＝2，负值舍去， AB＝2． 故答案为：2． 6.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，BE＝CF，连接AF，DE交于点G，求证： （1）△ADF≌△DCE； （2）AF⊥DE． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°， ∵BE＝CF， ∴BC﹣BE＝CD﹣CF，即CE＝DF， 在△ADF和△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE（SAS）； （2）由（1）知△ADF≌△DCE， ∴∠DAF＝∠CDE， ∵∠ADC＝90°，即∠CDE+∠EDA＝90°， ∴∠DAF+∠EDA＝90°， ∴∠AGD＝180°﹣（∠DAF+∠EDA）＝90°， ∴AF⊥DE． 7.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，且四边形AECF是正方形． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）已知平行四边形ABCD的面积为20，BC＝5，求DF的长． 【答案】（1）证明：∵四边形AECF为正方形， ∴AE＝CF＝AF＝EC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，DA＝CB， ∴DA﹣AF＝CB﹣EC， ∴DF＝BE， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SSS）； （2）解：∵平行四边形ABCD的面积为20，BC＝5， ∴AE•BC＝20，AD＝BC＝5， ∴AE＝4， ∵四边形AECF为正方形， ∴AF＝AE＝4, ∴DF＝AD﹣AF＝5﹣4＝1． 十三、菱形的性质与判定的综合应用 1.如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，要在对角线AC上找两点E，F，使得四边形BFDE是菱形，现有如图2所示的甲、乙两种方案，则正确的方案是（　　） A.只有甲对 B.只有乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都不对 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD， ∵AE＝CF， ∴OE＝OF， ∵OB＝OD，EF⊥BD， ∴四边形BFDE是菱形， 故方案甲正确； ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，∠BDA＝∠BDC， ∵DE，BF是∠ADO和∠CBO的平分线， ∴∠EDO＝∠FDO， ∵∠DOE＝∠DOF＝90°， 在△DOE和△DOF中， ， ∴△DOE≌△DOF（ASA）， ∴OE＝OF， ∵OB＝OD， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵BD⊥EF， ∴四边形BFDE是菱形． 故方案乙正确． 故选：C． 2.如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（　　） A.9.5 B.10 C.10.5 D.11 【答案】D 【解析】∵六边形EFGHLK的各个内角相等， ∴该六边形的每个内角为120°，每个外角都是60°， ∴△BFG，△AEK，△CHL都是等边三角形， ∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，BF＝FG，AE＝AK，CL＝HL， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，即BF+FE+AE＝AK+KL+CL， 又∵BF＝FG＝KL， ∴EF＝CL＝6＝CH， 由轴对称可得，四边形HCH′L、四边形EKE′A都是菱形， ∵C1＝2C2， ∴AECH＝3， 又∵2C2＝4C3， ∴C3C212＝6， ∴BF6＝2， ∴AB＝BF+EF+AE＝2+6+3＝11， 故选：D． 3.下列说法正确的是（　　） A.平行四边形的对角线互相垂直 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.菱形的对角线相等 D.对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】A、平行四边形的对角线互相平分，故选项A不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项B不符合题意； C、菱形的对角线互相垂直平分，故选项C不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 4.小明借助没有刻度的直尺，按照下图的顺序作出了∠O的平分线OP，他这样做的数学原理是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】菱形的每一条对角线都平分它的一组对角 【解析】如图． ∵直尺的对边互相平行， ∴AP∥OB，OA∥BP， ∴四边形AOBP是平行四边形． ∵直尺的宽度相同， ∴AP与OB间的距离＝OA与BP间的距离， ∵▱AOBP的面积不变， ∴OA＝OB， ∴▱AOBP是菱形， ∴OP平分∠AOB． 故答案为：菱形的每一条对角线都平分它的一组对角． 5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF．若AD＝1，CF＝2，则BF为 　　． 【答案】2 【解析】∵AD∥BC， ∴∠FDE＝∠BCE， ∵点E为CD的中点， ∴DE＝EC， 在△BCE与△FDE中， ， ∴△BCE≌△FDE（ASA）， ∴BC＝FD， ∵AD∥BC， ∴四边形BCFD为平行四边形， 又∵BD＝BC， ∴平行四边形BCFD是菱形， ∴BD＝DF＝CF＝2， ∴AF＝AD+DF＝3， ∵∠A＝90°， ∴AB， ∴BF2， 故答案为：2． 6.如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形BEDF是菱形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）如图，连接BD，交AC于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO， ∵AE＝CF， ∴EO＝FO， ∴四边形BEDF是平行四边形， 又∵BD⊥EF， ∴平行四边形BEDF是菱形． 7.如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF． （1）求证：四边形ABEF为菱形； （2）AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长． 【答案】（1）证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB＝AF，∠BAE＝∠FAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE， ∴BE＝FA， ∴四边形ABEF为平行四边形， ∵AB＝AF， ∴四边形ABEF为菱形； （2）解：∵四边形ABEF为菱形， ∴AE⊥BF，BOFB＝3，AE＝2AO， 在Rt△AOB中，AO4， ∴AE＝2AO＝8． 十四、正方形对角线的性质 1.如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，点F在DC上，且EF＝EC，连接AE、AF，若∠ECF＝α，∠DAF＝β，则（　　） A.α+β＝90° B.α﹣β＝45° C.2α+β＝135° D.2β﹣α＝15° 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝45°，∠ADC＝90°， 又∵BE＝BE， ∴△ADE≌△CDE（SAS）， ∴AE＝CE，∠DCE＝∠DAE＝α， ∵EF＝EC， ∴∠EFC＝∠ECF＝α， ∵∠DAF＝β， ∴∠AFD＝90°﹣β， ∴∠EFA＝180°﹣α﹣（90°﹣β）＝90°﹣α+β， ∵∠DAF＝β，∠DAE＝α， ∴∠EAF＝α﹣β， ∵AE＝CE，EF＝EE， ∴AE＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA， ∴α﹣β＝90°﹣α+β， ∴a﹣β＝45°， 故选：B． 2.如图，三个边长相等的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和为8，则正方形的边长为（　　） A.2 B.4 C.8 D. 【答案】B 【解析】连O1B，O1C，如图： ∴∠BO1F+∠FO1C＝90°，∠FO1C+∠CO1G＝90°， ∴∠BO1F＝∠CO1G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠O1BF＝∠O1CG＝45°， 在△O1BF和△O1CG中， , ∴△O1BF≌△O1CG（ASA）， ∴， ∴O1，O2 两个正方形阴影部分的面积是S正方形ABCD， 同理另外两个正方形阴影部分的面积也是是S正方形ABCD， ∴阴影部分的面积和＝8S正方形ABCD， ∴AD2＝16， ∴AD＝4， 故选：B． 3.如图，在正方形ABCD中，E是BD上一点，DE＝DC，F是CB延长线上一点，EF＝EC，连接AF，则∠BAF的度数为（　　） A.15° B.20° C.22.5° D.25° 【答案】C 【解析】连接AE， 由DB是正方形ABCD的对称轴，DE＝DC，EF＝EC， 得EF＝EC＝EA，∠BAE＝∠BCE＝∠EFC， 得∠AEF＝∠ABF＝90°， 得△AEF是等腰直角三角形， 得∠EAF＝45°， 由DE＝DC＝DA，∠EDA＝45°， 得∠DAE＝（180﹣45）÷2＝67.5°， 得∠BAF＝∠DAE+∠EAF﹣∠DAB＝67.5+45﹣90＝22.5°． 故选：C． 4.如图，E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，且CE＝BD．则∠E的度数为____度． 【答案】22.5 【解析】连接AC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC＝BD，∠ACB＝45°， ∵CE＝BD． ∴AC＝CE， ∴∠CAE＝∠E， ∵∠CAE+∠E＝45°， ∴∠E＝22.5°， 故答案为：22.5． 5.如图，以Rt△ABC的斜边AB为一边，在AB的右侧作正方形ABED，正方形对角线交于点O，连接CO，如果，那么BC＝　　． 【答案】 【解析】如图，延长CB到点G，使，连接OG， ∵四边形ABED为正方形， ∴∠4＝∠5＝45°，∠EBA＝90°，AO＝BO，∠AOB＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， 又∵△ABC是直角三角形，AB为斜边， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3， ∵∠1+∠5＝∠3+∠4， ∴∠CAO＝∠GBO， 在△CAO和△GBO中， ∴△CAO≌△GBO（SAS）， ∴， ∵∠7+∠8＝90°， ∴∠6+∠7＝90°， ∴∠COG＝90°， ∴， ∴， 故答案为：． 6.小明正在思考一道几何证明题： 如图1，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，连接DE，DF，BE，BF，且DE＝DF．求证：四边形BFDE是菱形． 请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明． 【答案】解：第一步由SSA证明△DEA≌△DFC是错误的； 证明如下：由DE＝DF， 得∠DEO＝∠DFO， 得∠DEA＝∠DFC， 由DA＝DC，∠DAE＝∠DCF＝45°， 得△DEA≌△DFC（AAS）， 得AE＝CF， 连接BD（如图2），交AC于点O， 可证得 OB＝OD，OE＝OF， 得四边形BFDE是平行四边形； 由DE＝DF，四边形BFDE是平行四边形， 得四边形BFDE是菱形． 7.如图，E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE＝BC，EF⊥BD，交DC于点F． （1）求证DE＝CF； （2）若DE＝1，则该正方形的边长为 　　． 【答案】（1）证明：如图，连接BF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠C＝∠ADC＝90°，∠BDC＝45°， ∵EF⊥BD， ∴∠FEB＝90°， 在Rt△BEF和Rt△BCF中， ， ∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL）， ∴EF＝CF， ∵∠FED＝90°，∠BDC＝45°， ∴∠DFE＝45°， ∴DE＝EF， ∴DE＝CF； （2）解：∵DE＝EF＝CF＝1，∠DEF＝90°， ∴DFDE， ∴DC＝CF＝DF＝1， ∴该正方形的边长为1． 故答案为：1． 学科网（北京）股份有限公司 $$