22.2二次函数与一元二次方程（教学课件）数学人教版九年级上册

第二十二章 二 次 函 数 22.2二次函数与一元二次方程 学 习 目 标 1 2 3 能通过二次函数讨论一元二次方程的根的情况 由一元二次方程根的情况，可以确定相应二次函数图像与轴的位置关系。 通过二次函数的图像观察解决一元二次方程的解（近似解）等问题。体会数形结合与函数与方程思想。 知识回顾 1、一元一次方程kx+b=0（k≠0）和一次函数y=kx+b（k≠0） ，它们之间有什么关系？ y=kx+b（k≠0） 当y=0时 kx+b=0 y=kx+b（k≠0） 与x轴的交点坐标 （ ，0） kx+b=0的根x= － y O x y O x 交点横坐标是kx+b=h的解 y=kx+b（k≠0） 与直线y=h相交 当y=h时 你能否用类比的方法猜想二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系? 新知导入 二次函数图象最重要的是哪几种点呢？ y 轴的交点（0，c） 抛物线顶点： x y x y O O x y O x y x y O O x y O 观察二次函数图象他们与x轴都有交点吗？ 二次函数图象与x轴的交点个数由什么决定？ (， ) 与 x 轴交点 新知探究 探究点1 利用函数图象求一元二次方程的解 如图22.2-1，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间r(单位：s)之间具有函数关系h＝20t－5t2. 议一议 （1）小球的飞行高度能否达到15 m?如果能，需要多少飞行时间? h O x 将h=15代入解析式可得： 15＝20t－5t2， t2－4t＋3＝0， 建立如图坐标系 方程的解可以看作常函数h=15与二次函数h＝20t－5t2图像求交点的问题 1 3 15 解方程得：t1＝1，t2＝3．  当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m． 5 新知探究 新知探究 探究点1 利用函数图象求一元二次方程的解 议一议 （2）小球的飞行高度能否达到20 m?如果能，需要多少飞行时间? 如图22.2-1，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间r(单位：s)之间具有函数关系h＝20t－5t2. h O x 2 20 当h＝20时， 20t－5t2=20 t2－4t＋4＝0， t1＝t2＝2 ∵h=20t－5t2 =-5（t-2）2+20 ∴函数h＝20t－5t2 的顶点坐标（2,20） 看图像 看函数值 方程20t－5t2=20得解就是对应点的横坐标 ∴当t=2s时，小球的飞行高度达到20 m 新知探究 探究点1 利用函数图象求一元二次方程的解 议一议 如图22.2-1，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间r(单位：s)之间具有函数关系h＝20t－5t2. （3）小球的飞行高度能否达到20.5 m?为什么? h O x 2 20 函数h＝20t－5t2 的顶点坐标（2,20），开口向下 20.5 看图像 ∴小球不能达到20.5m的高度 当h＝20.5时， 20t－5t2=20.5 看函数值 即t2-4t+4.1=0. ∵Δ=(-4)2-4×4<0， ∴次方程无实数根. 即小球的飞行高度不能达到20.5m. 结论相同 新知探究 探究点1 利用函数图象求一元二次方程的解 议一议 如图22.2-1，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间r(单位：s)之间具有函数关系h＝20t－5t2. （4）小球从飞出到落地要用多少时间? h O x 2 20 代入解析式可得： 0＝20t－5t2， t2－4t＝0， t1＝0，t2＝4． 当小球飞行0 s和4s时， 它的高度为0 m ∴小球从飞行到落地要用4s． 函数h＝20t－5t2 的顶点坐标（2,20）， 对称轴为x=2，开口向下 由图像得抛物线与x轴一个交点为（0,0）， ∴另一个交点为（4,0） ∴小球从飞出到落地要用4s 此时h=0， 结论相同 4 新知探究 探究点1 利用函数图象求一元二次方程的解 议一议 如图22.2-1，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间r(单位：s)之间具有函数关系h＝20t－5t2. 通过上面的四个问题，我们可以发现对于二次函数h＝20t－5t2中， ٭已知h的值求时间t，其实就是把h换成常数，求一元二次方程的解； 反过来， ٭一元二次方程的解我们也可以看作求二次函数和常函数交点的问题。 归纳总结 h＝15 h＝20 方程无实数根 h＝20.5 h＝0 新知探究 探究点1 利用函数图象求一元二次方程的解 议一议 (1)从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切、例如，已知二次函数y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 的值，可以看作解什么一元二次方程？ 可以看作解一元二次方程 （即 = 0） －x2＋4x = 3 x2－4x＋3 解方程得 ； x1=1 x2=3 ∴当x= 二次函数 y = －x2＋4x 的值为 3 或 3 1 (2)解方程x2－4x＋3 又可以看作什么二次函数的值为0求自变量的值？ 可以看作已知二次函数 y = 的值函数值为 时，求 的值即求抛物线 与 轴交点 坐标， 0 x2－4x＋3 自变量 x y = x2－4x＋3 x 横 典例分析 探究点1 利用函数图象求一元二次方程的解 例1.某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线（如图），其中出球点B离地面的距离是 米，球落点的水平距离是多少？ 解：令，得： 解方程得： （不合题意，舍去） 答：球落点的水平距离是5米 新知探究 探究点2 利用二次函数图象求一元二次方程的解 议一议 （1）下列二次函数的图象与x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？ (1) (2) (3) (3) ∵Δ=(-1)2-4×1<0， ∴二次函数的图象与x 轴没有公共点. (1) (2) (3) 配方 x y O 4 5 2 1 3 -1 2 3 1 4 -1 -2 x y O 4 5 2 1 3 -1 2 3 1 4 -1 -2 x y O 4 5 2 1 3 -1 2 3 1 4 -1 -2 图象 (1)有， 公共点的横坐标是1,-2 (2) 有， 公共点的横坐标是3 结论 新知探究 探究点2 利用二次函数图象求一元二次方程的解 议一议 (1) (2) (3) （2）这三个二次函数中，当x 取二次函数的图象与x 轴公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？ 显然当x 取二次函数的图象与x 轴公共点的横坐标时函数值是0； 能，相应的一元二次方程的根为x 取公共点的横坐标。 (1) 方程 (2) (1)公共点的横坐标是1,-2 ，方程的解： (2) 公共点的横坐标是3， (3) ∵Δ=(-1)2-4×1<0， ∴二次函数的图象与x 轴没有公共点，方程无实数根 13 新知探究 探究点2 利用二次函数图象求一元二次方程的解 归一归 （1）如果抛物线 与轴有公共点，公共点的横坐标是 ，那么当 时，函数值是0，因此 是方程的一个根。 的图象和轴交点 方程的根 根的判别式 有两个交点 有一个交点 没有交点 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 > 0 = 0 ＜ 0 （2）抛物线与轴的位置关系 Δ = b2 - 4ac 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 x2 x1 x y O x1= x2 x y O x y O 没有实数根 x2 x1 x y O O x1= x2 x y O y x a＜0 a＞0 新知探究 探究点2 利用二次函数图象求一元二次方程的解 归一归 典例分析 探究点2 利用二次函数图象求一元二次方程的解 例2.已知二次函数 （是常数）． (1)若该函数的图像的对称轴为直线，求的值． (2)求证：不论 为何值，该函数图像与轴没有公共点． 解：（1）∵二次函数，对称轴为直线 ∴对称轴：， 解得：； （2）二次函数 ∵ ∴ ∴不论 为何值，该函数图像与轴没有公共点． 新知探究 探究点3 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的。 做一做 利用函数图象求方程的实数根（结果保留小数点后一位). 解：画出函数的图象，描点法画出图象 ∵ （1）利用函数图象求方程 的实数根,先要现出什么函数的图象?怎样画? ∴抛物线 开口向上， 顶点（1，-3），对称轴 x y O -2 -3 2 1 3 -1 2 1 -1 新知探究 探究点3 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的。 做一做 利用函数图象求方程的实数根（结果保留小数点后一位). （2）从函数图象可以求方程 的近似实数根是什么? x y O -2 -3 2 1 3 -1 2 1 -1 由图象可知, 图象与x轴有两个公共点, 其横坐标一个在0与－1之间,大约是－0.7 另一个在2与3之间，大约是2.7 ∴方程 的近似实数根： ∴方程在在2<x<3之间有根。 通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根 新知探究 探究点3 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 （3）你能求出更准确的近似根? 做一做 利用函数图象求方程的实数根（结果保留小数点后一位). x y O -2 -3 2 1 3 -1 2 1 -1 当x=2时，y=-2(点(2,-2)在x轴下方）； 当x=3时，y= 1(点(3, 1)在x轴上方) ； ∵二次函数是一条连续不断的曲线 ∴二次函数在2<x<3这一段经过x轴，即当x取2到3之间的某个值时，函数值为0. 方程在在2<x<3之间有根。 重复上述过程，这个根在2.625，2.75之间，在2.687 5，2.75之间··… 新知探究 探究点3 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 （3）你能求出更准确的近似根? 做一做 利用函数图象求方程的实数根（结果保留小数点后一位). x y O -2 -3 2 1 3 -1 2 1 -1 通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根 取2、3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为－0.75 与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5与3之间 取2.5，3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.062 5，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5与2.75之间. 重复上述过程， 这个根在2.625与2.75之间，在2.687 5与2.75之间·… 新知探究 探究点3 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 （3）你能求出更准确的近似根? 做一做 利用函数图象求方程的实数根（结果保留小数点后一位). x y O -2 -3 2 1 3 -1 2 1 -1 通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根 根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值 例如：当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时， ∵|2.687 5一2.75|=0.062 5<0.1， ∴将 2.687 5作为根的近似值 新知探究 探究点3 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 （4）你能求出方程另一个根的近似值吗（要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1) 做一做 利用函数图象求方程的实数根（结果保留小数点后一位). x y O -2 -3 2 1 3 -1 2 1 -1 观察图像：的另一个根在-1与0之间 取0、-1的平均数-0.5，用计算器算得自变量为-0.5时的函数值为－0.75 与自变量为-1时的函数值异号，所以这个根在-1与-0.5之间 取-0.5，-1的平均数-0.75，用计算器算得自变量为-0.75时的函数值0.062 5，与自变量为-0.5时的函数值异号，所以这个根在-0.5与-0.75之间. 重复上述过程， 这个根在-0.625与-0.75之间， 在-0. 6875与-0.75之间·… ∴将 -0.6875作为根的近似值 典例分析 探究点3 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 例3.已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在右图中画出二次函数C的图象； (3)当0时，利用图象直接写出y的取值范围； (4)当时，利用图象直接写出x的取值范围． （1）解： （2）解：列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 3 0 -1 0 3 … 如图所示，即为所求 典例分析 探究点3 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 例3.已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在右图中画出二次函数C的图象； (3)当0时，利用图象直接写出y的取值范围； (4)当时，利用图象直接写出x的取值范围． （3）解： （4）解：当时 当0时 0＜ 直接观察函数图象可知 拓展提升 1.已知抛物线：中，自变量x和函数值y的部分对应值如表所示： x … -1 0 1 2 3 4 … y … 4 -2 -4 -2 4 14 … (1)请直接写出该抛物线的对称轴：_____________； (2)请直接写出抛物线的解析式 ； (3)结合图像及表中数据，直接写出当 时，x的取值范围是__________； (4)当-时，y的取值范围是_________________． 解：（1）由表得： 当和 时， 相等， ∴抛物线的对称轴为． （2）由（1）知：抛物线的顶点为（1，-4） ， ∴设抛物线解析式为， 把， 代入，得 ， 解得， ， ∴ 拓展提升 1.已知抛物线：中，自变量x和函数值y的部分对应值如表所示： x … -1 0 1 2 3 4 … y … 4 -2 -4 -2 4 14 … (1)请直接写出该抛物线的对称轴：_____________； (2)请直接写出抛物线的解析式 ； (3)结合图像及表中数据，直接写出当 时，x的取值范围是__________； (4)当-时，y的取值范围是_________________． ， （3）解：由表得： 当 时，或 ， ∵该抛物线的开口向上， ∴当 时，x的取值范围为： -1＜ ， -1＜ ， （4）解：由表得，抛物线的对称轴为： 顶点坐标为：（1，-4） ， 则当 时， ， 当时， ， ∵ -2＜ ， ∴当 -时，y的取值范围： ， 巩固练习 习题 22.2 教材P47 1.已知函数 y = x2 － 4x + 3. 画出这个函数的图象; 观察图象，当x取哪些值时，函数值为0？ （1）y = x2 － 4x + 3 =（x－ 2 ）2 - 1 解： -3 -2 -1 1 2 3 x O -3 -2 -1 1 3 2 y （2）由图象得：当x=1或x=1时，y=0 即：函数值为0 真题感知 1．（2025.江苏连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 　　 m． 解：由题意，OA＝1.6m， 得A（0，1.6）， 将A（0，1.6）代入y＝a（x-3）2+2.5， 得：1.6＝a（0-3）2+2.5， 解得：， ∴， 令y＝0，得， 解得：x1＝8，x2＝-2， ∴OB为8m， 8 真题感知 2．（2025上·昆明九年级校考阶段练习）如图，二次函数的图象与轴只有一个公共点．求该公共点的坐标． 解：二次函数的图象与轴只有一个公共点 即： ∴或 ∵二次函数的图象与轴交点坐标在负半轴， ∴ ∴二次函：数 当时 ∴该公共点的坐标为（ ，0） 方程角度 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解 抛物线y=ax2+b+c (a≠0)与x轴交点的横坐标 形 函数观点 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)，当y=0时对应的自变量x的值 数 课堂小结 二次函数与一元二次方程 课堂小结 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程的关系 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)，当 y 取确定值时就成了一元二次方程； ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，当右边换成 y 时就成了二次函数. 二次函数与一元二次方程根的情况 二次函数与 x 轴的交点个数 b2 - 4ac 的符号 一元二次方程根的情况 根据函数图象求一元二次方程的近似解 课后作业 习题 22.2 教材P47 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 y（单位：m）与水平距离 x（单位：m）之间的关系是：y = x2 + x + ． （1）画出上述函数的图象； （2）观察图象，指出铅球推出的距离. 3. 解：（1）画函数图象如图所示． （2）由于函数图象与 x 轴的交点坐标为 (10，0)，故铅球推出的距离为 10 m． 课后作业 习题 22.2 教材P47 画出函数 y = x2 – 2x – 3 的图象，利用图象回答： （1）方程 x2 – 2x – 3 = 0 的解是什么； （2）x 取什么值时，函数值大于 0； （3）x 取什么值时，函数值小于 0． 5. 解：函数图象如图所示． （1）x1 = –1，x2 = 3． （2）x < –1，或 x > 3． （3）–1 < x < 3． 观察•交流 下列情形时，如果 a > 0，抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点在什么位置？如果 a < 0 呢？ （1）方程 ax2 + bx + c = 0 有两个不等的实数根； （2）方程 ax2 + bx + c = 0 有两个相等的实数根； （3）方程 ax2 + bx + c = 0 无实数根． 6. 解：如果 a > 0，抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点分别在：（1）x 轴下方；（2）x 轴上；（3）x 轴上方． 如果 a < 0，抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点分别在：（1）x 轴上方；（2）x 轴上；（3）x 轴下方． 课后作业 习题 22.2 教材P47 感谢聆听! $$