22.3实际问题与二次函数同步练习2025-2026学年 人教版数学九年级上册

22.3实际问题与二次函数 一、单选题 1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（　　） A． B． C． D． 2．据安徽省统计局公布的数据，初步核算2021年安徽省生产总值为42959.2亿元，若设2023年安徽省生产总值为y亿元，平均年增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 3．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，据以上信息得出下列结论，其中错误的是（　　） A．定价70元时，利润为6000元 B．定价元时，利润为6105元 C．降价3元，能使所获利润最大 D．涨价5元，能使所获利润最大 4．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 5．用72米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档，也用木料）．其中，要使窗框的面积最大，则的长为（　　）    A．8米 B．9米 C．10米 D．米 6．某种产品按质量分为个档次，生产最低档次产品，每件获利润元，每提高一个档次，每件产品利润增加元，用同样工时，最低档次产品每天可生产件，提高一个档次将减少件．如果用相同的工时生产，总获利润最大的产品是第档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么等于（   ） A． B． C． D． 7．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图，水平地面为x轴，单位：米），则羽毛球到达最高点时离地面的距离是（    ） A．1米 B．3米 C．5米 D．米 8．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次训练实心球落地时的水平距离为（　　） A．85米 B．8米 C．10米 D．2米 9．如图（1）所示，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P，Q同时出发t秒时，的面积为．已知y与t的函数关系图像如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论不正确的是（    ）    A． B．当秒时， C．当时， D．当的面积为时，t的值是或秒 10．某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件．商场为了清库存，决定让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，那么每星期的销售额（元）与降价（元）的函数关系为（    ） A． B． C． D． 11．如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图像如图2，则下列说法正确的是（    ） A．矩形的最大面积为8平方米 B．与之间的函数关系式为 C．当时，矩形的面积最大 D．的值为12 12．把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．某商品进价为元，当每件售价为元时，每天能售出件，经市场调查发现每件售价每降低元，则每天可多售出件，当店里每天的利润要达到最大时，店主应把该商品每件售价降低 元． 14．王林对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过程中高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数图象如图所示(P 为抛物线顶点)，由此可知此次投掷的成绩是 m． 15．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是，当水位线在位置时，水面宽为12米，这时水面离桥顶的高度是 米．    16．如图，在中，，，，点P从点A开始沿AB向B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当运动时间 时，的面积最大，为 ． 17．乐乐要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为（单位：）的边与这条边上的高之和为，这个三角形的面积（单位：）随的变化而变化． （1）与之间的函数解析式为 （写出自变量的取值范围）； （2）当 时，这个三角形的面积最大，最大面积是 ． 三、解答题 18． 如图，抛物线与轴交于点和点(点在原点的左侧，点在原点的右侧)，与轴交于点，． (1)求该抛物线的函数解析式． (2) 如图1，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标． (3) 如图2，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接形成的中，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米．    (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x为多少时，矩形花圈的面积最大？ 20．掷实心球是北京市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是小杰投掷实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图2所示的平面直角坐标系，实心球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小杰某次试投时的数据如图2所示． (1)在图中画出实心球运动路径的示意图； (2)根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式； (3)根据北京市高中阶段学校招生体育考试评分标准（男生），若实心球投犾距离（实心球落地点C与出手点的水平距离OC的长度)不小于10m，成绩为满分10分．请通过计算，判断小杰此次试投的成绩是否能达到满分． 21．元旦期间，某商场礼品柜台购进大量的生肖饰品进行销售，已知每件生肖饰品的进价为8元，当销售价定为20元时，平均每天可售出300件，为尽快减少库存，商场决定降价销售．调查发现，当销售价每降低1元时，平均每天就可以多售出50件． (1)当售价降低5元时，每件的利润为______元，每天可以售出______件，当天总利润为______元； (2)若商场要想使这种生肖饰品的销售利润平均每天达到4000元，则该生肖饰品的售价应定为多少元？ (3)要想获得最大利润，该生肖饰品的售价应定为多少合适？ 22．农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表： 销售价格x(元/千克) 30 35 40 45 50 日销售量p(千克) 600 450 300 150 0 (1)请直接写出p与x之间的函数关系式： (2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ (3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a＞0)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值． 23．图（1）是一座拱桥，图（2）是以左侧桥墩与水面接触点为原点建立的平面直角坐标系下，其抛物线形桥拱的示意图，经测量得水面宽度，拱顶到水面的距离为． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)为迎接新年，管理部门在桥下以为水平距离对称的悬挂了11个长为的灯笼，中间的灯笼正好悬挂在处，为了安全，要求灯笼的最低处到水面的距离不得小于．根据气象局预报，过年期间将会有一定量的降雨，桥下水面会上升，请通过计算说明，现在的悬挂方式是否安全． 24．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克． (1)现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ (2)若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 学科网（北京）股份有限公司 《22.3实际问题与二次函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C B B C D B C B 题号 11 12 答案 D D 1．B 【分析】根据降价x元，则售价为元，销售量为件，由题意可得等量关系：总销售额为销量售价，根据等量关系列出函数解析式即可． 【详解】解：降价x元，则售价为元，销售量为件， 根据题意得，， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出函数表达式，是解题的关键． 2．D 【分析】根据2023年安徽省生产总值=2021年安徽省生产总值×列函数表达式即可． 【详解】解：根据题意，y关于x的函数表达式是， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，找到等量关系是解答的关键． 3．C 【分析】本题主要考查二次函数与销售问题，熟练掌握二次函数与销售问题是解题的关键．根据题意列出算式进行求解即可． 【详解】解：定价70元时，利润为，故选项A正确，不符合题意； 定价元时，利润为，故选项B正确，不符合题意； 设每件降价元，利润为， 则， 当时，利润最大，故选项C错误，符合题意； 设每件涨价元，利润为， 则， 当时，利润最大，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 4．B 【分析】主要考查平均增长率问题．熟练掌握平均增长率公式是解决问题的关键，，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数． 如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，可得出函数关系式． 【详解】∵该公司第二、三两个月投放共享单车数量的月平均增长率为x， ∴第二个月投放共享单车辆，第三个月投放共享单车辆， ∴y与x之间的函数表达式是． 故选：B． 5．B 【分析】设的长为米，则的长为米．表示出窗框的面积，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设的长为米，则的长为米 则窗框的面积 ∵ ∴当时，窗框的面积最大 故选：B 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．掌握建模思想是解题关键． 6．C 【分析】第档次产品比最低档次产品提高了个档次，则数量在60的基础上减少了，每件产品利润在8的基础上增加，据此可求出总利润关系，求出最值即可． 【详解】解：设总利润为y元， ∵第档次产品比最低档次产品提高了个档次， ∴每天利润为， ∴当时，产品利润最大，每天获利864元， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是本题的关键． 7．D 【分析】本题考查二次函数的性质的运用，二次函数顶点式的运用，将解析式化为顶点式求出顶点坐标即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴顶点坐标为， ∵， ∴有最大值， ∴此次羽毛球最高可达到， 故选：D． 8．B 【分析】小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线与x轴交点的横坐标，即当y＝0时，求x的值即可． 【详解】解：当y＝0时，即， 解得：＝﹣2（舍去），＝8， 所以小宇此次实心球训练的成绩为8米． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键． 9．C 【分析】先由图2中的函数图像得到当时，点Q到达点C，即，然后由时，可知的面积是定值、,当时点P到达点D，，可以判定A；当时，根据 得到，过点P作于点H，根据求得，设，根勾股定理计算，可计算；根据，得到再运动4秒到达C点即 ，确定直线的解析式，分别计算可得到或秒； 当时，故点在上，把代入直线的解析式计算． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 当时，， ∴， 解得， ∴， 由图2中的函数图像得当时，点Q到达点C，即， ∵时，， ∴的面积是定值且, 当时点P到达点D， ∴， ∴， 故A正确，不符合题意； 当时， ∵，， ∴，，    过点P作于点H， ∴ 解得， 设，则， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴， 故B正确，不符合题意； 根据， ∴再运动4秒到达C点即， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵的面积为， 故或 解得（舍去）或， 故D正确，不符合题意； ∵时，故点在上， 当时，， 解得 ∴． 故C错误，符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的图像、列二次函数关系式、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等，解题的关键是结合几何图形和函数图像得到有用信息． 10．B 【分析】根据让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，求得销售量为，根据售价乘以销量得出销售额，据此即可求解． 【详解】解：依题意，每星期的销售额（元）与降价（元）的函数关系为， 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 11．D 【分析】观察图2，得出当时，函数值最大，根据题意确定a的值，并可求出二次函数解析式，即可做出正确判断． 【详解】解：由图2可知，函数图像最高点为，经过原点， 设二次函数解析式为， 代入，解得， 由此判断：A．矩形最大面积是4平方米，选项错误； B．二次函数解析式为，选项错误； C．矩形面积最大时，，选项错误； D．当时，矩形面积取最大值，，，选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图像和性质，解题的关键是识别函数图像，确定自变量的取值为何值时函数取得最大值，并利用待定系数法求得函数解析式． 12．D 【分析】此题考查的是根据实际问题列二次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 要求长方形的面积，需求出长方形相邻两边的长度，根据长方形的周长公式可计算出长方形另一边的长为；接下来，根据长方形的面积公式即可得到与的函数关系式． 【详解】解：设这个长方形的一边长为，周长是， 另一边长是， 与的函数关系式为：． 选项、、都不正确，选项正确． 故选：． 13． 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据每天的利润单件利润每天售出的数量，列出函数解析式，再根据函数的性质即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设该商品每件售价降低元，每天的利润为元， 根据题意得：， ∵， ∴当时，有最大值， ∴当店里每天的利润要达到最大时，店主应把该商品每件售价降低元， 故答案为：． 14．8 【分析】本题考查了二次函数的应用；根据题意设抛物线解析式，求出解析式，再求出当时自变量的值即可． 【详解】解：由题意得，设抛物线解析式为 将点(0，1.28)代入，得 即抛物线解析式为， 当 化简，得 解得： (舍去)． 故答案为：8． 15．9 【分析】根据题意，把代入函数解析式，即可解答． 【详解】解：水面宽为12米， 点的横坐标为6， 把把代入函数解析式，可得： ， 故水面离桥顶的高度为米， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，读懂题意，结合图形是解题的关键． 16． 2 4 【分析】求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数的绝对值是较小的整数时，用配方法较好． 本题考查二次函数最大(小)值的求法．先用含的代数式表示出、再根据三角形的面积公式计算． 【详解】解：根据题意得， 三角形面积为： ∴当时，的面积最大为， 故答案为：2， 17． 20 【分析】（1）根据题意可知，这个三角形中一边为，这条边上的高为，然后根据三角形面积公式即可获得答案； （2）根据，即可获得答案． 【详解】解：（1）根据题意，可知在这个三角形中，其中一边为，这条边上的高为， 则该三角形的面积； （2）∵， ∴当时，这个三角形的面积最大，最大面积是． 故答案为：（1）；（2）20，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数解析式是解题关键． 18．(1) (2)或； (3)或或或 【分析】（1）由及图像可得B、C两点坐标，然后利用待定系数法直接进行求解即可； （2）由题意易得，进而得到点D、F横坐标之间的关系为，设点横坐标为，则点横坐标为，则有直线的解析式为，然后可直接求解； （3）分或等于两种情况分别进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 把坐标代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式：； （2）解：∵， ∴，即：， 设点横坐标为，则点横坐标为， 设直线的解析式为：，把代入得，， 解得：， ∴所在的直线表达式为：， ∵点在直线上， ∴， 设直线的函数表达式为：，把代入得：， 解得：， ∴直线所在的直线表达式为：， 则点， 把点坐标代入抛物线解析式得：， 解得：或， 则点的坐标为或； （3）解：①当时， 当在轴上方时，如图2， 设交轴于点， ∴ ， ∴ ， 又， ∴ ， ∴， ∴点， 设直线的解析式为：，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 直线过点，则其直线方程为：②， 联立， 解得： 或（舍去）， ∴点的坐标为； 当在轴下方时，如图2，过点作交于点，则， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 直线可以看成直线平移而得，其值为， 则其直线表达式为： ， 设点，过点作轴交于点，作于点， 则点，， ∵，则， 即：， 解得：， 则点， 同理可得：直线表达式为：， 联立， 解得：， (舍去)， 则点； ②当时， 当在上方时，如图3，点为图2所求， 设交于点， ∵， ∴ ， ∴ ， 由①知，直线的表达式为：， 设点，， 由，同理可得：， 故点， 同理可得：直线的表达式为：， 令，解得或 (舍去负值)， ∴ ； 当在下方时， 同理可得： (舍去负值)， 故点． 故点的坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，求二次函数解析式，求一次函数解析式，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质与一次函数的性质，利用数形结合及分类讨论思想进行求解． 19．(1) (2)当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米． 【分析】（1）的长为x米，则的长为米，利用长方形面积公式即可得出y关于x的函数表达式，再根据题意求出x的取值范围即可； （2）利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，平行于墙的一边的长为米， ， ， ， y关于x的函数表达式为； （2）解：， ∴当时，y取得最大值，此时， 即当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是列出函数解析式，利用二次函数的性质解答． 20．(1)见解析 (2)； (3)小杰此次试投的成绩达到优秀． 【分析】（1）根据题意画出图象即可； （2）设该抛物线的表达式为，由抛物线过点A得到25a+4=2．求得a=−，于是得到结论； （3）根据题意解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：实心球运动路径如图所示． ；   （2）解：依题意，抛物线的顶点B的坐标为（5，4），点A的坐标为（0，2）． 设该抛物线的表达式为， 由抛物线过点A，有25a+4=2． 解得a=−， ∴该抛物线的表达式为； （3）解：令y=0，得． 解得=5+5，=5-5（C在x轴正半轴，故舍去）． ∴点C的坐标为（5+5，0）． ∴OC=5+5． 由＞1，可得OC＞5+5×1=10． ∴小杰此次试投的成绩达到优秀． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确建立平面直角坐标系、熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 21．(1), , (2)每件该生肖饰品的售价为元 (3)生肖饰品的售价应定为元 【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式． （1）根据题意即可得出结论； （2）设该生肖饰品每件应降价元，根据每件的利润销售量列出方程，解方程即可； （3）设该生肖饰品每件应降价元，获得利润为元，根据每件的利润销售量总利润列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：根据题意知，当售价降低元时， 每件的利润为(元)， 每天可以售出：(件)， 当天总利润为：(元)， 故答案为： ， ， ； （2）解：设该生肖饰品每件应降价元， 根据题意得： 整理得： 解得 ∵为尽快减少库存， ， 此时 ∴每件该生肖饰品的售价为元； （3）解：设该生肖饰品每件应降价元，获得利润为元， ， ， ∴当时， 最大， ∵为整数， ∴当或=时，最大，最大值为， ∵为尽快减少库存， ， 此时(元)， ∴要想获得最大利润，该生肖饰品的售价应定为元合适. 22．(1) (2)这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大 (3)a的值为2． 【分析】（1）首先根据表中的数据，可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性； （2）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可； （3）根据题意列出日销售利润与销售价格x之间的函数关系式，并求得抛物线的对称轴，再分两种情况进行讨论，依据二次函数的性质求得a的值． 【详解】（1）解：由表格的数据可知：p与x成一次函数关系，设函数关系式为p=kx+b， 则， 解得：k=-30，b=1500， ∴p=-30x+1500， ∴所求的函数关系为p=-30x+1500； （2）解：设日销售利润w=p（x-30）=（-30x+1500）（x-30）， 即， ∵-30<0， ∴当x=40时，w有最大值3000元， 故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大； （3）解：日获利=p（x-30-a）=（-30x+1500）（x-30-a）， 即， 对称轴为， ①若a＞10，则当x=45时，有最大值， 即=2250-150a＜2430（不合题意）； ②若0＜a≤10，则当x=40+a时，有最大值， 将x=40+a代入，可得， 当=2430时，， 解得=2，=38（舍去）， 综上所述，a的值为2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题时要利用图表中的信息，学会用待定系数法求解函数解析式，并将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题． 23．(1) (2)现在的悬挂方式是安全的，理由见解析 【分析】（1）根据题意得：顶点的坐标为，可设抛物线的表达式为：，再把代入，即可求解； （2）根据题意可得最右侧灯笼悬挂点到点的水平距离，从而得到它的横坐标为，再代入（1）中解析式，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：顶点的坐标为， 令抛物线的表达式为：， 将点代入得：， 解得：， （2）解：由题意得：最右侧灯笼悬挂点到点的水平距离为：， 所以它的横坐标为， 当时，． 因为， 所以现在的悬挂方式是安全的． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键． 24．(1)每千克应涨价5元 (2)若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用． （1）设每千克应涨价x元，则每千克盈利元，每天可售出千克，根据利润每千克盈利日销售量，列方程解出即可，根据要让顾客得到实惠，所以涨价要选择最小的，即每千克应涨价为5元； （2）设涨价z元时总利润为y，根据（1）的等量关系列函数解析式，配方求最值即可． 【详解】（1）解：设每千克应涨价x元， 则， 解得或， 因为要顾客得到实惠， 所以， 答：要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元； （2）解：设涨价z元时总利润为y， 则， 即 ， ∵， ∴y有最大值， 当时，y取得最大值，最大值为6125． 答：若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多． 学科网（北京）股份有限公司 $$