22.3实际问题与二次函数（2）销售问题（题型专练）数学人教版九年级上册

22.3实际问题与二次函数（2）销售问题 题型一、已知解析式求最大利润 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）若一种服装销售盈利y（万元）与销售数量x（万元）满足函数关系式，则盈利（   ） A．最大值为5万元 B．最大值为7万元 C．最小值为5万元 D．最大值为6万元 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，求二次函数的最值；将二次函数化为，由二次函数的性质，即可求解；掌握二次函数最值的求法是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， （万元）； 故选：B． 2．（23-24九年级上·陕西延安·期中）某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，则这种商品每天的最大利润为（    ） A．50元 B．60元 C．40元 D．30元 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据二次函数解析式可知二次函数开口向下，则在对称轴处取得最大值，即60，据此可得答案． 【详解】解：∵某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，， ∴当时，y有最大值，最大值为60， ∴这种商品每天的最大利润为60元， 故选B． 3．（22-23九年级上·山西吕梁·期中）某种商品每天的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式为．则这种商品每天的最大利润为（　　） A．0.1元 B．3元 C．25元 D．75元 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像与性质，确定其函数图像的顶点坐标，即可判断这种商品每天的最大利润． 【详解】解：对于该商品每天的销售利润y与单价x之间的函数关系式， 可知其函数图像开口向下，其顶点坐标为， 即当单价元时，该商品每天的最大利润为元． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 题型二、根据实际销售列函数关系式 4．（20-21九年级下·贵州铜仁·期中）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，那么y与x的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】根据题意可得：涨价后的售价为元，销售量为件，依据每件利润，销售数量，总利润之间的关系可得函数关系式，根据每件售价不能高于72元，可得自变量的取值范围． 【详解】解：根据题意可得：涨价后的售价为元，销售量为件， ∴， ∵每件售价不能高于72元， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，列出相应函数解析式是解题关键． 5．（21-22九年级上·北京房山·期中）“十一”黄金周，某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元），满足关系：m =140－x．写出商场卖这种商品每天的销售利润 y与每件的售价x之间的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】根据题意，销售一件商品的利润为：元，销售量为m件，依据销售利润与单件商品利润和数量的关系，即可列出函数关系式． 【详解】解：根据题意，销售一件商品的利润为：元，销售量为m件， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，熟练运用等量关系是解题关键． 6．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，设每个商品降价x（元），每天获得利润y（元），则y与x的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，根据利润等于单件利润乘以销售量列函数关系式即可． 【详解】解：设每个商品降价x（元），每天获得利润y（元）， 则y与x的函数关系式是：，即， 故答案为：． 题型三、文字叙述类销售问题 7．（24-25九年级上·全国·期中）某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润． 【答案】售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．设每件涨价元，每周可获利元，所售件数是件，每件的利润是元，根据利润每件的利润所售的件数，即可列出函数解析式，再根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大． 【详解】解：根据题意得：， ， 当时，有最大值，最大值为：6250， 此时售价为：元， 答：当售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元． 8．（22-23九年级上·山西临汾·期末）某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克． (1)若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？ (2)通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)18元 (2)销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元 【分析】（1）设每千克水果应涨价x元，根据题意列出一元二次方程即可求出结果； （2）设销售价格为x，用含x的式子表示所获利润，然后配方，利用平方的非负性即可求出最值． 【详解】（1）解：设每千克水果应涨价x元，根据题意，得：， 解得：，， ∵要尽可能让利于顾客，只能取， ∴售价应为（元）， 答：每千克特产商品的售价应为18元； （2）解：设每天获得的利润为W，销售价格为x，则 ∴销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元． 【点睛】本题考查一元二次方程和配方法的应用，掌握实际问题中的等量关系和配方法是解题的关键． 9．（22-23九年级上·河南郑州·期末）“利民快餐店”试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为元，该店每天固定支出费用为元（不含套餐成本）．若每份售价不超过元，每天可销售份；若每份售价超过元，每提高元，每天的销售量就减少份．为了便于结算，每份套餐的售价（元）取整数，用（元）表示该店日纯收入．该店既要吸引顾客，使每天的销售量较大，又要有较高的日纯收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日纯收入为多少？ 【答案】每份套餐的售价应定为元，此时日纯收入为元． 【分析】分类讨论，当售价（元）时，计算出最高日收入；当售价（元）时，列出二次函数，并判断二次函数的最大值，由此即可求解． 【详解】解：当售价（元）时，该店日纯收入为，当时，日纯收入为元； 当售价（元）时，该店日纯收入为， ∴二次函数的图像在平面直角坐标系中，开口向下，有最大值， ∴， 售价（元）取整数， 则售价或元时，日销售量最大， 要吸引顾客，销售量较大， ∴售价为元时，最大利润为元， ∴每份套餐的售价应定为元，此时日纯收入为元． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际运用，分析题目中的数量关系，列出函数表达式，掌握二次函数的知识是解题的关键． 10．（19-20九年级上·四川乐山·期末）商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件． （1）若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？ 【答案】（1）20元；（2）降价15元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利2500元． 【分析】（1）先设未知数：设每件衬衫应降价x元，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，根据“利润＝销售的数量每件的盈利”，列方程可求得； （2）设利润为w元，列出w的表达式，再利用二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）设每件衬衫应降价x元 由题意得： 整理得：，即 解得：或 因为商场的目标是扩大销售，增加盈利，尽快减少库存 所以 答：每件衬衫应降价20元； （2）设每件衬衫应降价x元时，平均每天利润为w元，则 由题意得： 由二次函数的性质可知：当时，w随x的增大而增大；当时，w随x的增大而减小 则当时，w有最大值为2500元 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利2500元. 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的实际应用、二次函数的性质，依据题意正确建立利润与价格的等式是解题关键. 11．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的实际销售单价为元，实际销售量为y件，销售该品牌玩具获得的利润为元． (1)分别求出y与x、 w与x之间的函数表达式； (2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)y与x之间的函数表达式为，w与x之间的函数表达式为 (2)10000元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解． （1）根据用600减去减少的销售量可得y与x之间的函数表达式；根据一件的利润与销售数量的积，即可表示出w与x函数关系式； （2）由题意列出不等式组，可求得x的范围，再由二次函数的性质即可求得最大利润． 【详解】（1）解∶ y与x之间的函数表达式为， w与x之间的函数表达式为； （2）解∶根据题意得：， 解得：； ∵，且， ∴当时，w取得最大值，最大值为10000， 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元． 题型四、表格类销售问题 12．（2021·云南·一模）普洱茶是中国十大名茶之一，也是中华古老文明中的一颗瑰宝．某公司经销某种品牌普洱茶，每千克成本为50元．经市场调查发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示， 销售单价x（元/千克） 56 65 75 销售量y（千克） 128 110 90 解答下列问题： （1）求y与x的函数关系式； （2）求这一周销售这种品牌普洱茶获得的利润W元的最大值； （3）物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克，公司想获得不低于2000元周利润，请计算销售单价范围． 【答案】（1）；（2）2450元；（3） 【分析】（1）根据每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，设y与x的函数关系式为，用待定系数法求解可得； （2）根据“总利润=每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况． （3）求得W=2000时x的值，再根据二次函数的性质求得W≥2000时x的取值范围，继而根据“单价不得高于90元/千克”，得出答案． 【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为，把和分别代入得： 解得：． ∴y与x的关系式为； （2）由题意知：， ∴W与x的关系式为：， ∴， ∴当时，在内，W的值最大为2450元 （3）若公司想获得不低于2000元周利润，则， 解得，所以当时，， 又∵物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克， ∴销售单价范围为：． 【点睛】本题考查了二次函数和二次函数的实际应用．根据“利润=（售价-成本）×销售量”列出函数关系式，再运用二次函数性质解决问题是解题的关键． 13．（24-25九年级上·江西赣州·期末）禧爱花店以元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，调查了附近五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，并记录如下： 售价（元/盒） 18 20 22 26 30 日销售量（盒） 54 50 46 38 30 (1)分析表格中数据的变化规律，可知日销售量是售价的一次函数，求日销售量与售价之间的关系式； (2)根据以上信息，禧爱花店将售价定为多少时，每天能够获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)售价定为30元时，每天能够获得最大利润，最大利润为450元 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式及二次函数求最值的方法是解题的关键． （1）根据变量变化规律判断函数类型，并利用待定系数法求其函数关系式即可； （2）根据“每天的利润=（售价进价）日销售量”将每天的利润表示出来，并确定当x为何值时每天的利润取最大值即可． 【详解】（1）解：由题意可设， 把，代入得：， 解得：， ； （2）设每天获得的利润为元， 由题意得， ，当时，取最大值450， 售价定为30元时，每天能够获得最大利润，最大利润为450元． 14．（24-25九年级上·山东淄博·期末）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式．某公司在一销售平台上进行直播销售某种产品．已知这种产品的成本价为6元/千克，每日销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/千克．设该公司销售这种产品的日获利为（元）． （元/千克） 7 8 9 （千克） 4300 4200 4100 (1)直接写出日销售量与销售单价之间的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)当销售单价定为多少时，该公司销售这种产品日获利最大？最大利润为多少元？ (3)请直接写出当销售单价在什么范围内时，该公司日获利不低于43500元？ 【答案】(1) (2)28元；48400元 (3)当销售单价在时，该公司日获利不低于43500元 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数，不等式的运用，理解数量关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）设一次函数解析式为，当时，，当时，，代入计算即可； （2）销售单价为元/千克，成本价为6元/千克，则每件利润为元，且销售量为，由此列式得，根据二次函数求最值的方法即可求解； （3）结合（2）的解析式，当时，解得，，由此即可求解． 【详解】（1）解：每日销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，设一次函数解析式为， 当时，，当时，， ∴， 解得，， ∴日销售量与销售单价之间的函数关系式为：； （2）解：销售单价为元/千克，成本价为6元/千克， ∴每件利润为元，且销售量为， ∴， ∵， ∴函数有最大值， ∴当时，利润最大，最大利润为元； （3）解：∵，日获利不低于43500元， ∴当时，， 整理得，， ∴， 解得，， ∵销售单价不低于成本价且不高于30元/千克， ∴当销售单价在时，该公司日获利不低于43500元． 15．（24-25九年级上·湖北随州·期末）某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元．近期统计发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 周销售单价x（元/千克） 70 75 80 85 90 95 周销售量y（千克） 100 90 80 70 60 50 假设一段时间内，不计其它因素和费用．解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式； (2)若公司期望某周这种绿茶销售利润为1600元，且销售量不低于50千克，应将这种绿茶的周销售单价定为多少？请说明理由； (3)求公司销售这种绿茶最大周利润，此时周销售单价是多少？ 【答案】(1) (2)周销售单价定为80元，理由见解析 (3)当周销售单价为90元时．这种绿茶最大周利润为1800元 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数在实际销售问题中的应用，解题的关键是根据给定数据求出函数关系式，并运用函数性质解决利润相关问题． （1）对于求与的函数关系式，利用给定的两组销售单价和销售量数据，代入一次函数，通过解方程组求出和的值． （2）计算期望利润为1600元时的销售单价，先根据利润公式列出方程，求解方程得到销售单价的值，再结合销售量不低于50千克的条件进行筛选． （3）求最大周利润及对应的销售单价，根据利润公式列出二次函数表达式，通过分析二次函数的性质得出结果． 【详解】（1）设与的函数关系式为，把代入可得： ， 解得，， ； （2）， （由－，舍去）， ， 即周销售单价定为80元； （3）周销售利润， ， 当周销售单价为90元时．这种绿茶最大周利润为1800元． 题型五、与一次函数图形结合的销售问题 16．（24-25九年级上·山东烟台·期末）某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价（元／件），与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系． (1)求出与之间的函数关系式； (2)市场物价监管部门规定，销售该种商品获利不得超过，求每天的利润与销售单价之间的函数关系式；并求售价定为多少，来保证每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)售价定为140元／件时，每天最大利润元 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用： （1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法可求出其解析式； （2）根据利润=（售价－单价）×销售量，由题意可求出x的取值范围，再根据二次函数的性质，即可得出答案． 【详解】（1）设与之间的函数关系式为， 由函数图象得， 解得：， 故与的函数关系式为； （2），所以 ， ， 当时，， 售价定为140元／件时，每天最大利润元． 17．（24-25九年级上·广东云浮·期末）张老板经营一家水产品店，在销售河蟹期间，他发现将售价定为80元/千克时，每天可销售20千克．后来为了扩大销售量，他适当降低了售价，每天的销售量y（千克）与降价x（元）的关系如图所示．已知河蟹的进价为50元/千克． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若要使每天销售这种河蟹的平均利润w最大，则每千克河蟹应降价多少元？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)应降价10元，最大利润为800元 【分析】此题考查了二次函数和一次函数的应用， （1）根据函数图像得到图像中的两个点，利用待定系数法确定一次函数的解析式即可； （2）根据题意列出二次函数，求得函数的最值即可求解答案． 【详解】（1）设， 依题意，得，解得 所以与之间的函数关系式是． （2）依题意，得， ∵， ∴当时，． 答：若要使每天销售这种河蟹的平均利润最大，则每千克河蟹应降价10元，最大利润为800元． 18．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）2024年10月26日下午，云南玉溪高原体育运动中心体育馆内，球迷们身穿玉昆队的球衣，手持旗帜和标语，为玉昆队加油助威．在本赛季最后一场主场比赛中，云南玉昆队以2∶0的比分战胜大连英博队，捍卫了“高体”主场不败的记录．某网店专门销售2024赛季云南玉昆队球衣，成本为每件30元，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，下图是y与x的函数关系图象，设网店每天的销售利润为w元． (1)求y与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (2)当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售单价为元时，每天获取的利润最大，最大利润是元． 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象和性质： （1）采用待定系数法求解即可； （2）根据题意可得，据此即可求得答案． 【详解】（1）设，将、代入，得 解得 ∴ 与之间的函数关系式为：． （2）根据题意，得 ) ∵， ∴有最大值． 当时，． 答：销售单价为元时，每天获取的利润最大，最大利润是元． 19．（2025九年级下·全国·专题练习）某超市销售一种商品，成本价为元千克，经市场调查，每天销售量千克与销售单价元千克之间的关系如图所示，假设每千克售价不能低于元，且不高于元． (1)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)若每天的总利润为元，求出关于的函数关系式，并求出当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)，销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合； （1）设与之间的函数关系式为，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意可得，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将点，代入得： ， 解得， 与之间的函数关系式为； （2）根据题意，得： ， ， 该函数图象开口向下，且其对称轴为， 又， 在此范围内，随的增大而增大， 当时，取最大值，此时， 即销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元． 题型六、与二次函数图形结合的销售问题 20．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）某公司在年初上市了一款新款手机，该款手机自上市以来产生的利润（万元），与销售时间（月份）之间满足二次函数的关系，其部分图象如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题．    (1)求与之间的函数解析式． (2)求几月份该公司所获得的利润恰好为万元． (3)年月份该公司所获得的利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)月份 (3)万元 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元二次方程，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可． （1）先确定二次函数的顶点坐标为，设顶点式，再将点代入即可求解； （2）代入，求解即可； （3）将代入，求解即可． 【详解】（1）解：由图可知二次函数图象过点，， 则二次函数的对称轴为直线， 结合二次函数图象过点， 则二次函数的顶点坐标为， 设与的函数解析式为． 将点代入， 得， 解得：， 与之间的函数解析式为； （2）解：把代入， 得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 月份该公司所获得的利润恰好为万元； （3）解：将代入， 得， 年月份该公司所获得的利润是万元． 21．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”，小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图： (1)单株售价与月份x之间的关系式为__________；单株成本与月份x之间的关系式为__________． (2)请你运用所学知识，帮助小哲的姑妈求出在哪个月销售这种“多肉植物”，单株获利最大（提示：单株获利单株售价单株成本）． 【答案】(1)， (2)5月份 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是读懂函数图象； （1）由图象可设，然后利用待定系数法可进行求解； （2）根据（1）中函数解析式可得，然后根据二次函数的性质可进行求解 【详解】（1）解：由题意可设，代入点可得： ， 解得：， ∴， 设，代入点得：，解得：， ∴； （2）解：由（1）可得： ． ∵， ∴当时，取得最大值． 答：5月份销售这种“多肉植物”，单株获利最大． 22．（24-25九年级上·山东威海·期末）“加快发展数字经济，促进数字经济和实体经济深度融合”，近年来威海市在数字经济关键核心技术领域呈现出良好的发展态势．某公司研发了两种新软件，2024年初上市后，两种产品经历了从亏损到盈利的过程．如图所示抛物线是A产品，直线是B产品，刻画了两种产品从年初以来累计利润y（万元）与销售时间x（月）之间的关系（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）．根据图象提供的信息，回答下列问题： (1)求A，B两种软件y与x之间的关系； (2)______月份A，B软件累计利润都盈利，且B软件的累计利润比A软件累计利润高；A，B两种软件9月份的利润和是_______万元；（直接写出答案即可） (3)2024年两种软件累计利润和是否可以达到60万元?若能，几月底能达到；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)5； (3)12月底两种软件累计利润和能达到60万元． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得两函数的交点坐标，再利用数形结合可求解；令，求得的值即可； （3）解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，且过点， 设抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：解不等式， 得，， 观察图象，当时，直线在二次函数的图象的上方，且都在轴的上方， ∴5月份A，B软件累计利润都盈利，且B软件的累计利润比A软件累计利润高； 当时，（万元）； 故答案为：5；； （3）解：能， 由题意得，， 整理得， 解得（舍去），， 答：12月底两种软件累计利润和能达到60万元． 题型一、图象分段类销售问题 23．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）某经销商以24元/箱的价格进了一批矿泉水，商家批发时发现在批发数量不超过100箱时，该矿泉水的批发价y（元/箱）与批发数量x（箱）之间满足如下折线段图象． (1)当时，求出此时y与x的函数关系式； (2)求该批发商在批发出多少箱矿泉水时才能获取最大利润． 【答案】(1) (2)该批发商在批发出65箱矿泉水时才能获取最大利润 【分析】本题考查了二次函数的实际应用—销售盈利问题，待定系数法进行求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求一次函数的解析式，即可作答． （2）先根据利润等于单件利润乘上数量，得，根据二次函数的性质，即开口向下，当，有最小值，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设y与x的函数关系式为 在时，经过， 则有 解得 ∴； （2）解：设利润为，依题意 当时，， ∵，随的增大而增大， 当时，有最大值，且为； 当，得 ∵ ∴开口向下，当， 有最小值， 且为 ∵ ∴该批发商在批发出65箱矿泉水时才能获取最大利润 24．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售120天后，统计发现：在这120天内，该商品每天的销售价格x（单位：元/件）与时间t（第t天）之间满足如图所示的函数关系，该商品的日销售量y（单位：件）与时间t（第t天）之间满足一次函数关系． (1)求x与t之间的函数关系式； (2)设销售该商品的日利润为w元，求w与t之间的函数关系式，并求出在这120天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ 【答案】(1) (2)，第70天的日利润最大，最大日利润是6400元 【分析】（1）分两种情况：当时，当时，分别列出函数关系式，即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别列出函数关系式，结合二次函数以及一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ①当时，设x与t之间的函数关系式为． 由图象可得，函数图象经过， 所以， 解得， 所以． ②当时，． 综上所述，x与t之间的函数关系式为； （2）解：由题意可得， ①当时，． ， ∴当时，w最大，； ②当时，． ， 随t的增大而减小， 当时，w最大，． 综上所述，w与t之间的函数关系式为 因为，所以在这120天内第70天的日利润最大，最大日利润是6400元． 题型二、解析式分段类销售问题 25．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）商贸公司购进某种水果的成本为元，经过市场调研发现，这种水果在未来天的销售单价（元）与时间（天）之间的函数关系式为，为整数，且其日销售量与时间（天）的关系如表： 时间（天） 1 3 6 10 20 日销售量 118 114 108 100 80 (1)已知与之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第天的日销售量是多少？ (2)问未来天中哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ 【答案】(1) (2)第天的销售利润最大，最大日销售利润为元 【分析】（1）设，把，和，代入，可得二元一次方程组，解方程组即可求出与的值，进而可得一次函数解析式，将代入，即可求出在第天的日销售量； （2）根据“日利润每公斤利润日销售量”分别表示出前天和后天的日利润，然后求二次函数的最大值，进行比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：与之间的变化规律符合一次函数关系， 设， 把，和，代入，得： ， 解得：， ， 当时，， 答：在第天的日销售量是； （2）解：设利润为元， 当时， ， 当时，取得最大值，元； 当时， ， 当时，取得最大值，元； ， 综上，当时，元， 答：第天的销售利润最大，最大日销售利润为元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用（其他问题），实际问题与二次函数（销售问题），求一次函数解析式，解二元一次方程组，求一次函数的函数值，计算多项式乘多项式，把化成顶点式，的图象与性质，二次函数的最值，有理数大小比较的实际应用等知识点，根据题中的数量关系正确列式是解题的关键． 26．（2024·浙江·模拟预测）某公司采用两种方式经营商品的销售业务， 方式一：将商品精包装后直接销售； 方式二：将商品深加工得到商品后再销售． 已知商品的基础成本（万元）和精包装费用（万元）均与销售数量（吨）成正比，平均销售价格（万元/吨）与符合关系式，生产商品总费用（万元）包括每月固定环保费（万元）和每吨固定加工费（万元），其平均销售价格为9万元/吨．2月份该公司销售两种商品共20吨，销售利润60万元；3月份受季节影响，虽然也销售了20吨两种商品，但销售利润只有38万元，两个月的部分销售情况如下表．（销售利润＝销售总收入－经营总成本） 商品 （吨） （万元） （万元） 2月 3 9 3 3月 10 30 10 (1)当时，求A商品的销售利润与x的函数关系式；并写出m、n的值； (2)4月份该公司仍按计划销售20吨两种商品，问：该公司还能获得30万元销售利润吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；，； (2)该公司能获得30万元销售利润，此时吨． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意找到销售、两种商品所获得的总利润的相等关系，并据此列出函数解析式． （1）由商品的基础成本（万元）和精包装费用（万元）均与销售数量吨成正比可设，，将表格中数据代入计算求得、即可得出，，利用总利润销售额基础成本价精包装总费用即可得；根据“商品总利润销售收入基础成本费用月固定环保费固定加工总费用”得，利用表格得出关于、的方程组，解之可得； （2）由当时和当时分别求解可得． 【详解】（1）解：设，， 由表格知：当时，，， ，， 解得：，， ，， 当时，， ． 当时，． 当时，， ， ． 2月份：， 总利润， ①； 3月份：， 总利润， ②． 联立①②得， 解得 ，； （2）解：4月份，当时，． 当时， 解得，，均不合题意； 当时，． 当时，解得， 该公司能获得30万元销售利润，此时吨． 题型三、自变量分段类销售问题 27．（2024·湖北黄石·二模）为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第天（为整数）的售价为（元/斤），日销售额为（元）．据销售记录知： ①第天销量为斤，以后每天比前一天多卖斤； ②前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元， (1)当时，写出与的关系式； (2)当为何值时日销售额最大，最大为多少？ (3)若日销售额不低于元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买元的图书，求的最小整数值． 【答案】(1) (2)当为第天时日销售额最大，最大为元 (3)元 【分析】（1）根据前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元，可求出当时，与的关系； （2）根据日销售额售价日销售量，分类讨论在的取值范围内的最大值即可得到结论； （3）根据日销售额售价日销售量，分类讨论在的取值范围内的最大值，再和作比较，从而确定能获得较大利润的天数，即可求解． 【详解】（1）解：∵前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元， ∴当时，， ∴当时，写出与的关系式为：； （2）由题意得，销售量为：， 当时， ， ∵， ∴当时，取最大值为：， 当时， ， ∵， ∴当时，取最大值为， 综上所述，当时，取最大值为， 答：当为第天时日销售额最大，最大为元； （3）当时， ， 当时，取最大值为：， ∵， ∴时不可能获得较大利润． 当时，， 当时，取最大值为，得：， 当时， 解得：或， ∴当时，， ∴获得较大利润天数为天， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴的最小值为元． 【点睛】本题考查列函数关系式，一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，二次函数实际中的应用和一元一次不等式的实际．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程或函数关系式是解题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 28．（2020九年级·浙江嘉兴·学业考试）受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格(元/)与周次(是正整数，)的关系可近似用函数刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格(元/)从第5周的6元/下降至第6周的5.6元/，与周次()的关系可近似用函数刻画． (1)求，的值． (2)若前五周该蔬菜的销售量与每周的平均销售价格元之间的关系可近似地用如图所示的函数图象刻画，第周的销售量与第周相同： ①求与的函数表达式； ②在前六周中，哪一周的销售额元最大？最大销售额是多少？ (3)若该蔬菜第7周的销售量是，由于受降雨的影响，此种蔬菜第周的可销售量将比第周减少．为此，公司又紧急从外地调运了此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第周的销售价格比第周仅上涨．若在这一举措下，此种蔬菜在第周的总销售额与第周刚好持平，请通过计算估算出的整数值． 【答案】(1)， (2)①；②第周或第周销售额最大，最大销售额是元 (3) 【分析】本题考查了一次函数、二次函数的实际应用以及一元二次方程的应用， （1）利用待定系数法即可求解； （2）①利用待定系数法即可求解； ②分和两种情况讨论，利用销售额=销售量销售价格，再运用二次函数的性质求解即可； （3）由题意列一元二次方程计算出的值，再利用估算法即可求解． 【详解】（1）把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 故答案为：，； （2）①设函数关系式为： 把，代入得：， 解得：， 与的函数表达式为：； ②当时， ，， ， ， 是正整数， 当或时，有最大值； 当时，，， 当时，，， ， 是正整数，， 当时，有最大值； 综上所得：第周或第周销售额最大，最大销售额是元； （3）由题意得： ， 解得：或(舍去)， ∵， ∴． 29．（2024·湖南常德·一模）2023年6月29日，安乡“中国酱卤之乡”成功授牌，安乡的酱卤美食深受全国各地人们喜爱．某酱卤店开通了网上销售渠道，在开始售卖当天提供150件某酱卤制品，很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过网上预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m件（m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第x天（，且x为正整数）的供应量（单位：件）和需求量（单位：件）的部分数据如下表，其中需求量与x满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数） 第x天 1 2 … 6 … 11 … 15 供应量（件） 150 … … … 需求量（件） 220 229 … 245 … 220 … 164 (1)直接写出与x和与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围） (2)已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求m的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136件） (3)在第（2）问m取最小值的条件下，若每件酱卤制品售价为100元，求第4天的销售额． 【答案】(1)， (2)的值为20或21 (3)第4天的销售额为21000元，第12天的销售额为20900元． 【分析】本题考查二次函数，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和不等式组解决问题． （1）由已知直接可得，设，用待定系数法可得的函数关系式； （2）求出前9天的总供应量为个，前10天的供应量为个，根据前9天的总需求量为2136个，前10天的总需求量为（个，可列出不等式组，而为正整数，即可解得的值； （3）最小值为20，从而第4天的销售量即供应量为，销售额为21000元，第12天的销售量即需求量为，销售额为20900元． 【详解】（1）根据题意得：， 设，将，，代入得： ， 解得， ； （2）前9天的总供应量为个， 前10天的供应量为个， 在中，令得， 前9天的总需求量为2136个， 前10天的总需求量为（个， 前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量， ， 解得， 为正整数， 的值为20或21； （3）由（2）知，最小值为20， 第4天的销售量即供应量为， 第4天的销售额为（元， 而第12天的销售量即需求量为， 第12天的销售额为（元， 答：第4天的销售额为21000元，第12天的销售额为20900元． 30．（2023·山东青岛·三模）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表： 销售价格x（元/千克） 2 4 …… 10 市场需求量q（百千克） 12 10 …… 4 已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克． (1)直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃，解答下列问题： ①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围； ②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式； ③求厂家每天获得的最大利润y是多少？并求出取到最大利润时x的值． (3)若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为_________元/千克． 【答案】(1)（）； (2)①；②；③最大利润y是百元，取到最大利润时x的值为； (3)5 【分析】（1）设q与x的函数关系式为：，将表格中数据代入，即可求解； （2）①当每天的半成品食材能全部售出时，有，得出不等式，解不等式，即可求解；②由①可知，当时，，当时，，即可求解；③分别求出当，时的最值，进行比较，取最大值，即可求解； （3）由，即可求解． 【详解】（1）解：由表格的数据，设q与x的函数关系式为：， 根据表格的数据得：， 解得：， ∴q与x的函数关系式为：（）； （2）解：①当每天的半成品食材能全部售出时，有， ， 解得：， ， ； ②由①可知，当时， ； 当时， ； ； ③当时， 的对称轴为 直线， 当时，y随x的增大而增大， ∴时，y有最大值， 最大值为， 当时， ， ，， 当时，y取最大值，最大值为， ∵， 厂家每天获得的最大利润y是百元，取到最大利润时x的值为； （3）解：要使每天的利润不低于24百元， 当时，由（2）知y最大为20，故不存在这种情况； 令，解得：， 由于函数图象开口向下， ∴当时，每天的利润不低于24（百元）， ∴当时，能保证不低于24百元，并尽可能地减少半成品食材的浪费， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，二次函数与不等式，待定系数法，能根据等量关系式及不等关系式列出函数及不等式，再根据二次函数的性质求解是解题的关键． 31．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）夏季大连海边浴场是游泳爱好者的去处，泳衣是畅销产品，去年大连商户赵某购进一批泳装，在40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系如图1所示，销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图2所示． (1)①直接写出y关于x的函数关系式__________； ②直接写出p关于x的函数关系式__________； ③求第20天的日销售量； (2)当时，求日销售额的最大值； (3)这批泳装数量为__________件． 【答案】(1)①；②；③第20天的日销售量为60件 (2)日销售额的最大值3150元； (3)1800 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用——购买问题．熟练掌握总价与单价和数量的关系列函数关系式，待定系数法求函数关系式，函数的增减性，是解决问题的关键． （1）①设关于的函数关系式为或，把代入，和代入，求得；②设关于的函数关系式为，把和代入求得；③把代入中，得； （2）利用分类讨论的方法，分①当时，②当时，③当时三种情形解答：利用“日销售额日销售量销售单价”计算出日销售额，再利用一次函数和二次函数的性质解答即可； （3）根据第1天到第30天的日销售量分别为：3，6，9，，90件，共有1395件；第31天到第39天的日销售量分别为：81，72，63，，9件，共有405件；这批泳装数量为1800件． 【详解】（1）解：①设关于的函数关系式为或， 把代入得， 解得， 把和代入得， 解得， 关于的函数关系式为； 故答案为：； ②设关于的函数关系式为， 把和代入得， 解得， 关于的函数关系式为； 故答案为：； ③把代入中，得， 答：第20天的日销售量为60件； （2）解：设日销售额为元， ①当时， ， ， 随的增大而增大， 当时，最大， 最大值为（元； ②当时， ， ，开口向下， 当时，随的增大而增大， 当时，最大， 最大值为3150（元， ③当时， ， ，开口向上， 当时，随的增大而减小， 若，最大， 最大值为3150（元， 综上，日销售额的最大值3150元； （3）解：第1天到第30天的日销售量分别为：3，6，9，，90件， 共有（件）， 第31天到第39天的日销售量分别为：81，72，63，，9件， 共有（件）， 这批泳装数量为（件， 故答案为：1800． 32．（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）某超市拟端午节前50天销售某品牌食品，该食品进价为18，设第天的销售价格，销售量为千克．销售价格（）当时，与满足一次函数关系 销售价格（） 40 37 33 第天 36 44 第天销售量 (1)求时，与的函数关系式； (2)求为多少时，当天销售利润最大？ (3)若超市希望31天至35天日销售利润W随的增大而增大，则在当天的销售价格上涨，求整数的最小值． 【答案】(1) (2)32 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）依据题意利用待定系数法，易得出当时，与的关系式为：． （2）根据销售利润销售量（售价进价），列出每天的销售利润（元与销售价（）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润． （3）要使第31天到第35天的日销售利润（元随的增大而增大，则对称轴即可． 最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）． 【详解】（1）解：依题意，当时，；时，， 当时，设， 则有， 解得， 与的关系式为：． （2）解：依题意， ， ， 整理得，， 当时， 随增大而增大， 时，取最大值， 当时， ， ， 时，取得最大值，此时， 综上所述，为32时，当天的销售利润（元最大，最大利润为4410元． （3）解：依题意，得， ， 第31天到第35天的日销售利润（元随的增大而增大， 对称轴，得， 故整数的最小值为． 33．（2022·湖北武汉·模拟预测）某超市销售A、B两种玩具，每个A型玩具的进价比每个B型玩具的进价高2元，若用600元进A型玩具的数量与用500元进B型玩具的数量相同． (1)求A、B两种玩具每个进价是多少元？ (2)超市某天共购进A、B两种玩具共50个，当天全部销售完． 销售A型玩具的价格（单位：元/个）与销售量（单位：个）之间的函数关系是：；销售B型玩具日获利（单位：元）与销售量（单位：个）之间的关系为：．若该超市销售这50个玩具日获利共300元，问B型玩具的销售单价是多少元？ (3)该超市购进的50个玩具中，B型玩具的数量不少于A型玩具数量的数量的4倍，超市想尽快售完，决定每个A型玩具降价元销售，B型玩具的销售情况不变，若超市销售这50个玩具日获利的最大值为820元，直接写出的值． 【答案】(1)每个A型玩具的进价是12元，每个B型玩具的进价是10元 (2)B型玩具的销售单价为13元 (3)4 【分析】（1）设B种玩具每种b元，则A种玩具每种元，根据题意列出方程，求解即可； （2）由题意可知，，解该方程即可求出x的值，进而可得出B种玩具的个数，从而求出销售单价； （3）根据题意可知，此时，由a的取值范围，可得出该二次函数的对称轴的取值范围；由B型玩具的数量不少于A型玩具数量的数量的4倍，可得出x的取值范围，根据二次函数的性质可列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设每个型玩具的进价为元，则每个A型玩具的进价为元，可列方程：， 解得， 经检验是原方程的解， 答：每个A型玩具的进价是12元，每个B型玩具的进价是10元； （2）依题意可得方程：， 解得（舍去） 则销售B型玩具：（个），日获利：（元）， 则每个获利（元）， （元）， 故B型玩具的销售单价为13元； （3）设日获利为w元，根据题意得 ， ， ， ， B型玩具的数量不少于A型玩具数量的4倍， ， ， 解得， 当时，w取得最大值， ， 解得． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，涉及分式方程的应用，不等式的应用及一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列出函数，再求解． 34．（2023·安徽宿州·模拟预测）甲、乙两汽车出租公司均有辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费元，那么辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加元，那么将少租出辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计元． 说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费月维护费； 在两公司租出的汽车数量相等且都为（单位：辆，）的条件下，甲的利润用表示（单位：元），乙的利润用（单位：元）表示，根据上述信息，解决下列问题： (1)分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？ (2)甲公司最多比乙公司利润多多少元？ (3)甲公司热心公益事业，每租出辆汽车捐出元（）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围． 【答案】(1)；；当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等 (2)甲公司最多比乙公司利润多18050元 (3) 【分析】（1）设每个公司租出的汽车为辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果； （2）设两公司的月利润分别为，，月利润差为，由（1）可得和的表达式，再列出关于的表达式，根据二次函数的性质，结合的范围求出最值即可； （3）根据题意得到利润差为，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为辆，结合为整数可得关于的不等式，即可求出的范围． 【详解】（1）解：设每个公司租出的汽车为辆， 由题意可得：， 而， 两公司的月利润相等可得：， 解得：或舍， 当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等； （2）解：设两公司的月利润分别为，，月利润差为， 则， ， 当甲公司的利润大于乙公司时，， ， ∴当时，函数有最大值18050， ∴甲公司最多比乙公司利润多18050元； （3）解：∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润， 则利润差为， 对称轴为直线， 只能取整数，且当两公司租出的汽车均为16辆时，月利润之差最大， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图象和性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式，尤其（3）中要根据为整数得到的不等式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.3实际问题与二次函数（2）销售问题 题型一、已知解析式求最大利润 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）若一种服装销售盈利y（万元）与销售数量x（万元）满足函数关系式，则盈利（   ） A．最大值为5万元 B．最大值为7万元 C．最小值为5万元 D．最大值为6万元 2．（23-24九年级上·陕西延安·期中）某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，则这种商品每天的最大利润为（    ） A．50元 B．60元 C．40元 D．30元 3．（22-23九年级上·山西吕梁·期中）某种商品每天的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式为．则这种商品每天的最大利润为（　　） A．0.1元 B．3元 C．25元 D．75元 题型二、根据实际销售列函数关系式 4．（20-21九年级下·贵州铜仁·期中）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，那么y与x的函数关系式是 ． 5．（21-22九年级上·北京房山·期中）“十一”黄金周，某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元），满足关系：m =140－x．写出商场卖这种商品每天的销售利润 y与每件的售价x之间的函数关系式是 ． 6．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，设每个商品降价x（元），每天获得利润y（元），则y与x的函数关系式是 ． 题型三、文字叙述类销售问题 7．（24-25九年级上·全国·期中）某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润． 8．（22-23九年级上·山西临汾·期末）某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克． (1)若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？ (2)通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？ 9．（22-23九年级上·河南郑州·期末）“利民快餐店”试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为元，该店每天固定支出费用为元（不含套餐成本）．若每份售价不超过元，每天可销售份；若每份售价超过元，每提高元，每天的销售量就减少份．为了便于结算，每份套餐的售价（元）取整数，用（元）表示该店日纯收入．该店既要吸引顾客，使每天的销售量较大，又要有较高的日纯收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日纯收入为多少？ 10．（19-20九年级上·四川乐山·期末）商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件． （1）若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？ 11．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的实际销售单价为元，实际销售量为y件，销售该品牌玩具获得的利润为元． (1)分别求出y与x、 w与x之间的函数表达式； (2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 题型四、表格类销售问题 12．（2021·云南·一模）普洱茶是中国十大名茶之一，也是中华古老文明中的一颗瑰宝．某公司经销某种品牌普洱茶，每千克成本为50元．经市场调查发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示， 销售单价x（元/千克） 56 65 75 销售量y（千克） 128 110 90 解答下列问题： （1）求y与x的函数关系式； （2）求这一周销售这种品牌普洱茶获得的利润W元的最大值； （3）物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克，公司想获得不低于2000元周利润，请计算销售单价范围． 13．（24-25九年级上·江西赣州·期末）禧爱花店以元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，调查了附近五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，并记录如下： 售价（元/盒） 18 20 22 26 30 日销售量（盒） 54 50 46 38 30 (1)分析表格中数据的变化规律，可知日销售量是售价的一次函数，求日销售量与售价之间的关系式； (2)根据以上信息，禧爱花店将售价定为多少时，每天能够获得最大利润，最大利润是多少？ 14．（24-25九年级上·山东淄博·期末）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式．某公司在一销售平台上进行直播销售某种产品．已知这种产品的成本价为6元/千克，每日销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/千克．设该公司销售这种产品的日获利为（元）． （元/千克） 7 8 9 （千克） 4300 4200 4100 (1)直接写出日销售量与销售单价之间的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)当销售单价定为多少时，该公司销售这种产品日获利最大？最大利润为多少元？ (3)请直接写出当销售单价在什么范围内时，该公司日获利不低于43500元？ 15．（24-25九年级上·湖北随州·期末）某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元．近期统计发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 周销售单价x（元/千克） 70 75 80 85 90 95 周销售量y（千克） 100 90 80 70 60 50 假设一段时间内，不计其它因素和费用．解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式； (2)若公司期望某周这种绿茶销售利润为1600元，且销售量不低于50千克，应将这种绿茶的周销售单价定为多少？请说明理由； (3)求公司销售这种绿茶最大周利润，此时周销售单价是多少？ 题型五、与一次函数图形结合的销售问题 16．（24-25九年级上·山东烟台·期末）某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价（元／件），与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系． (1)求出与之间的函数关系式； (2)市场物价监管部门规定，销售该种商品获利不得超过，求每天的利润与销售单价之间的函数关系式；并求售价定为多少，来保证每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 17．（24-25九年级上·广东云浮·期末）张老板经营一家水产品店，在销售河蟹期间，他发现将售价定为80元/千克时，每天可销售20千克．后来为了扩大销售量，他适当降低了售价，每天的销售量y（千克）与降价x（元）的关系如图所示．已知河蟹的进价为50元/千克． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若要使每天销售这种河蟹的平均利润w最大，则每千克河蟹应降价多少元？最大利润为多少元？ 18．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）2024年10月26日下午，云南玉溪高原体育运动中心体育馆内，球迷们身穿玉昆队的球衣，手持旗帜和标语，为玉昆队加油助威．在本赛季最后一场主场比赛中，云南玉昆队以2∶0的比分战胜大连英博队，捍卫了“高体”主场不败的记录．某网店专门销售2024赛季云南玉昆队球衣，成本为每件30元，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，下图是y与x的函数关系图象，设网店每天的销售利润为w元． (1)求y与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (2)当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 19．（2025九年级下·全国·专题练习）某超市销售一种商品，成本价为元千克，经市场调查，每天销售量千克与销售单价元千克之间的关系如图所示，假设每千克售价不能低于元，且不高于元． (1)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)若每天的总利润为元，求出关于的函数关系式，并求出当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 题型六、与二次函数图形结合的销售问题 20．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）某公司在年初上市了一款新款手机，该款手机自上市以来产生的利润（万元），与销售时间（月份）之间满足二次函数的关系，其部分图象如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题．    (1)求与之间的函数解析式． (2)求几月份该公司所获得的利润恰好为万元． (3)年月份该公司所获得的利润是多少万元？ 21．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”，小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图： (1)单株售价与月份x之间的关系式为__________；单株成本与月份x之间的关系式为__________． (2)请你运用所学知识，帮助小哲的姑妈求出在哪个月销售这种“多肉植物”，单株获利最大（提示：单株获利单株售价单株成本）． 22．（24-25九年级上·山东威海·期末）“加快发展数字经济，促进数字经济和实体经济深度融合”，近年来威海市在数字经济关键核心技术领域呈现出良好的发展态势．某公司研发了两种新软件，2024年初上市后，两种产品经历了从亏损到盈利的过程．如图所示抛物线是A产品，直线是B产品，刻画了两种产品从年初以来累计利润y（万元）与销售时间x（月）之间的关系（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）．根据图象提供的信息，回答下列问题： (1)求A，B两种软件y与x之间的关系； (2)______月份A，B软件累计利润都盈利，且B软件的累计利润比A软件累计利润高；A，B两种软件9月份的利润和是_______万元；（直接写出答案即可） (3)2024年两种软件累计利润和是否可以达到60万元?若能，几月底能达到；若不能，请说明理由． 题型一、图象分段类销售问题 23．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）某经销商以24元/箱的价格进了一批矿泉水，商家批发时发现在批发数量不超过100箱时，该矿泉水的批发价y（元/箱）与批发数量x（箱）之间满足如下折线段图象． (1)当时，求出此时y与x的函数关系式； (2)求该批发商在批发出多少箱矿泉水时才能获取最大利润． 24．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售120天后，统计发现：在这120天内，该商品每天的销售价格x（单位：元/件）与时间t（第t天）之间满足如图所示的函数关系，该商品的日销售量y（单位：件）与时间t（第t天）之间满足一次函数关系． (1)求x与t之间的函数关系式； (2)设销售该商品的日利润为w元，求w与t之间的函数关系式，并求出在这120天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ 题型二、解析式分段类销售问题 25．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）商贸公司购进某种水果的成本为元，经过市场调研发现，这种水果在未来天的销售单价（元）与时间（天）之间的函数关系式为，为整数，且其日销售量与时间（天）的关系如表： 时间（天） 1 3 6 10 20 日销售量 118 114 108 100 80 (1)已知与之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第天的日销售量是多少？ (2)问未来天中哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ 26．（2024·浙江·模拟预测）某公司采用两种方式经营商品的销售业务， 方式一：将商品精包装后直接销售； 方式二：将商品深加工得到商品后再销售． 已知商品的基础成本（万元）和精包装费用（万元）均与销售数量（吨）成正比，平均销售价格（万元/吨）与符合关系式，生产商品总费用（万元）包括每月固定环保费（万元）和每吨固定加工费（万元），其平均销售价格为9万元/吨．2月份该公司销售两种商品共20吨，销售利润60万元；3月份受季节影响，虽然也销售了20吨两种商品，但销售利润只有38万元，两个月的部分销售情况如下表．（销售利润＝销售总收入－经营总成本） 商品 （吨） （万元） （万元） 2月 3 9 3 3月 10 30 10 (1)当时，求A商品的销售利润与x的函数关系式；并写出m、n的值； (2)4月份该公司仍按计划销售20吨两种商品，问：该公司还能获得30万元销售利润吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 题型三、自变量分段类销售问题 27．（2024·湖北黄石·二模）为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第天（为整数）的售价为（元/斤），日销售额为（元）．据销售记录知： ①第天销量为斤，以后每天比前一天多卖斤； ②前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元， (1)当时，写出与的关系式； (2)当为何值时日销售额最大，最大为多少？ (3)若日销售额不低于元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买元的图书，求的最小整数值． 28．（2020九年级·浙江嘉兴·学业考试）受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格(元/)与周次(是正整数，)的关系可近似用函数刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格(元/)从第5周的6元/下降至第6周的5.6元/，与周次()的关系可近似用函数刻画． (1)求，的值． (2)若前五周该蔬菜的销售量与每周的平均销售价格元之间的关系可近似地用如图所示的函数图象刻画，第周的销售量与第周相同： ①求与的函数表达式； ②在前六周中，哪一周的销售额元最大？最大销售额是多少？ (3)若该蔬菜第7周的销售量是，由于受降雨的影响，此种蔬菜第周的可销售量将比第周减少．为此，公司又紧急从外地调运了此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第周的销售价格比第周仅上涨．若在这一举措下，此种蔬菜在第周的总销售额与第周刚好持平，请通过计算估算出的整数值． 29．（2024·湖南常德·一模）2023年6月29日，安乡“中国酱卤之乡”成功授牌，安乡的酱卤美食深受全国各地人们喜爱．某酱卤店开通了网上销售渠道，在开始售卖当天提供150件某酱卤制品，很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过网上预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m件（m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第x天（，且x为正整数）的供应量（单位：件）和需求量（单位：件）的部分数据如下表，其中需求量与x满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数） 第x天 1 2 … 6 … 11 … 15 供应量（件） 150 … … … 需求量（件） 220 229 … 245 … 220 … 164 (1)直接写出与x和与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围） (2)已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求m的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136件） (3)在第（2）问m取最小值的条件下，若每件酱卤制品售价为100元，求第4天的销售额． 30．（2023·山东青岛·三模）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表： 销售价格x（元/千克） 2 4 …… 10 市场需求量q（百千克） 12 10 …… 4 已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克． (1)直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃，解答下列问题： ①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围； ②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式； ③求厂家每天获得的最大利润y是多少？并求出取到最大利润时x的值． (3)若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为_________元/千克． 31．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）夏季大连海边浴场是游泳爱好者的去处，泳衣是畅销产品，去年大连商户赵某购进一批泳装，在40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系如图1所示，销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图2所示． (1)①直接写出y关于x的函数关系式__________； ②直接写出p关于x的函数关系式__________； ③求第20天的日销售量； (2)当时，求日销售额的最大值； (3)这批泳装数量为__________件． 32．（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）某超市拟端午节前50天销售某品牌食品，该食品进价为18，设第天的销售价格，销售量为千克．销售价格（）当时，与满足一次函数关系 销售价格（） 40 37 33 第天 36 44 第天销售量 (1)求时，与的函数关系式； (2)求为多少时，当天销售利润最大？ (3)若超市希望31天至35天日销售利润W随的增大而增大，则在当天的销售价格上涨，求整数的最小值． 33．（2022·湖北武汉·模拟预测）某超市销售A、B两种玩具，每个A型玩具的进价比每个B型玩具的进价高2元，若用600元进A型玩具的数量与用500元进B型玩具的数量相同． (1)求A、B两种玩具每个进价是多少元？ (2)超市某天共购进A、B两种玩具共50个，当天全部销售完． 销售A型玩具的价格（单位：元/个）与销售量（单位：个）之间的函数关系是：；销售B型玩具日获利（单位：元）与销售量（单位：个）之间的关系为：．若该超市销售这50个玩具日获利共300元，问B型玩具的销售单价是多少元？ (3)该超市购进的50个玩具中，B型玩具的数量不少于A型玩具数量的数量的4倍，超市想尽快售完，决定每个A型玩具降价元销售，B型玩具的销售情况不变，若超市销售这50个玩具日获利的最大值为820元，直接写出的值． 34．（2023·安徽宿州·模拟预测）甲、乙两汽车出租公司均有辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费元，那么辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加元，那么将少租出辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计元． 说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费月维护费； 在两公司租出的汽车数量相等且都为（单位：辆，）的条件下，甲的利润用表示（单位：元），乙的利润用（单位：元）表示，根据上述信息，解决下列问题： (1)分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？ (2)甲公司最多比乙公司利润多多少元？ (3)甲公司热心公益事业，每租出辆汽车捐出元（）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$