24.3正多边形和圆同步练习 2025-2026学年 人教版数学九年级上册

24.3正多边形和圆 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．对于下列说法：①正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；②正多边形一定有内切圆和外接圆；③有一个内切圆和一个外接圆的多边形一定是正多边形；④各边相等的圆内接多边形是正多边形，你认为正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．正六边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 3．同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距的比为（    ） A． B． C． D． 4．已知有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，则此地基的周长为（　　） A．12m B． C．24m D． 5．如图，已知正五边形内接于，连结BD，则的度数是（    ） A．72° B．54° C．36° D．64° 6．已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 7．一个正方形的边长为，则它的内切圆的面积为（ ） A． B． C． D． 8．如图，正六边形内接于，点C在上，则的大小为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知的内接正方形的边长为1，则的半径为（    ） A． B． C．1 D． 11．下列说法正确的是（　　） A．正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B．正多边形的外接圆圆心是这个正多边形的中心 C．正n边形的中心角与其每一个外角互补 D．正五边形的边长等于其外接圆的半径 12．如图，点O为正六边形的中心，P、Q分别从点同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2021次相遇地点的坐标为（    ） A． B．（1，0） C． D．（﹣1，0） 二、填空题 13．如图，正五边形内接于，则 ． 14．如图，四边形是的内接正方形，E是的中点，交于点F，则 度． 15．正六边形的边心距与边长之比为 ． 16．若正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为 ． 17．以圆内接正五边形为例证明： 如图，把分成相等的5段弧，依次连接各分点得到正五边形． ∵， ∴_______＝_______＝_________＝________， ∴， ∴_______， 同理， 又∵五边形的顶点都在上， ∴五边形是的___________， 是五边形的_____________． 三、解答题 18．如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”． (1)角的“接近度”定义：设正n边形的每个内角的度数为，将正n边形的“接近度”定义为．于是越小，该正n边形就越接近于圆， ①若，则该正n边形的“接近度”等于 ． ②若，则该正n边形的“接近度”等于______． ③当“接近度”等于______．时，正n边形就成了圆． (2)边的“接近度”定义：设一个正n边形的外接圆的半径为R，正n边形的中心到各边的距离为d，将正n边形的“接近度”定义为．分别计算时边的“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正n边形就成了圆？ 19．如图，在网格纸中，O、A都是格点，以O为圆心，为半径作圆，用无刻度的直尺完成以下画图： (1)在图①中画⊙O的一个内接正六边形； (2)在图②中画⊙O的一个内接正八边形． 20．用等分圆周的方法画下列图形．    21．如图，已知． (1)求作的内接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若的半径为，求它的内接正方形的边长． 22．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP． (1)求∠CPD的度数； (2)当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值． 23．如图， 的半径为，正六边形内接于．求： (1)圆心O到的距离； (2)正六边形的面积． 24．如图，已知及圆外一点，请过点作出的切线（保留作图痕迹，不写作法）．    《24.3正多边形和圆》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A C C D B C C B 题号 11 12 答案 B C 1．B 【分析】本题考查正多边形及正多边形与圆的关系，根据正多边形的对称性质可判断①；根据正多边形与圆的关系可判断②；通过举例说明可判断③；根据正多边形与圆的关系可判断④． 【详解】解：边数为偶数的正多边形既是轴对称又是中心对称图形；边数为奇数的正多边形是轴对称图形，故说法①不正确； 任何正多边形都有一个内切圆和一个外接圆，故说法②正确； 直角三角形有一个内切圆和一个外接圆，但它不是正多边形，故说法③不正确； 把圆分成等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正边形，故说法④正确； ∴正确的有个． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了正多边形中心角定义．根据题意正多边形中心角即为除以正多边形边数即可选出本题答案． 【详解】解：∵是正六边形， ∴中心角为：， 故选：C． 3．A 【分析】 本题主要考查了正多边形和圆的性质，构造直角三角形是解题的关键．经过圆心作圆的内接正变形的一边的垂线，垂足是，连接，再得到答案． 【详解】解：设圆的半径为， 则正三角形的边心距为， 正方形的边心距为， 正六边形的边心距为， 故正三角形、正方形、正六边形的边心距的比为． 故选A． 4．C 【分析】连接，则，得是等边三角形，求得的长度，即可得答案． 【详解】解：如下图，连接，则， 正六边形的边长为4m， ， 是等边三角形， ， 地基的周长为， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形，解题的关键是证明是等边三角形，通过正多边形的半径求得正六边形的边长． 5．C 【分析】连接、，先求出正五边形的中心角，再根据圆周角知识即可求出． 【详解】解：连接，如图， ∵正五边形内接于， ∴， ∵， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了求正五边形的中心角，圆周角定理等知识，熟知相关知识，求出正五边形的中心角是解题关键． 6．D 【分析】本题考查了正多边形的内角和和外角和，正多边形的中心角，根据题意列出方程求得边数，即可求得中心角的度数． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∴这个正n边形的中心角为， 故选：D． 7．B 【分析】此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、正多边形与圆等知识，正确地求出正方形的边心距是解题的关键． 先证明正方形的两条对角线的交点为正方形的内切圆的圆心，再从该圆心向正方形的一边作垂线，得到该正方形的边心距，求出它的长即得到该正方形的内切圆的半径，再求出该正方形的内切圆的面积即可． 【详解】解：如图，正方形的对角线、BD交于点O， ，，， ， 点O是正方形的外心，也是它的内心， 作于点E，以点O为圆心，以为半径作，则是正方形的内切圆， ， ， ， ， ， ， 该正方形内切圆的面积为． 故选：B．    8．C 【分析】本题考查正多边形的外接圆圆心角及圆周角，根据正多边形外接圆得到，根据圆周角等圆圆心角一半求解即可得到答案； 【详解】解：∵正六边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9．C 【分析】本题考查了正多边形的性质、坐标与图形的变化—旋转规律性问题，首先确定点的坐标，得出每次一个循环，计算出，由此即可得出答案，得出规律是解此题的关键． 【详解】解：正六边形的边长为，中心与原点重合，轴，交轴于点， ，，， ， ∴点的坐标为， 第次旋转结束时，点旋转到第四象限，坐标为， 第次旋转结束时，点旋转到第三象限，坐标为， 第次旋转结束时，点旋转到第二象限，坐标为， 第次旋转结束时，点的坐标为， 每次一个循环， ， 第2023次旋转结束时，点的坐标为， 故选：C． 10．B 【分析】利用正方形的性质结合勾股定理得出的半径． 【详解】解：连接，如图所示， ∵的内接正方形的边长为1， ∴， 在中，， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了正多边形和圆、勾股定理，正确掌握正方形的性质是本题的关键． 11．B 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．边数为偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形，边数为奇数的正多边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误； B．正多边形的外接圆圆心是这个正多边形的中心，故B正确； C．正n边形的中心角与其每一个外角都相等，都等于，故C错误； D．正六边形的边长等于其外接圆的半径，故D错误． 故选：B． 12．C 【分析】连接，证是等边三角形，得，过B作于点G，则，，得，再由题意得P，Q第一次相遇地点的坐标在点，第二次相遇地点在点，第三次相遇地点在点，如此循环下去，即可求出第2021次相遇地点的坐标． 【详解】解：连接OB，如图所示， ∵，O为正六边形的中心， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 过B作于点G，则，， ∴， ∴，， ∵正六边形的边长＝1， ∴正六边形的周长＝6， ∵点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度， ∴第1次相遇需要的时间为：（秒）， 此时点P的路程为，点的Q路程为， 此时P，Q相遇地点的坐标在点， 以此类推：第二次相遇地点在点， 第三次相遇地点在点，…如此下去， ∵， ∴第2021次相遇地点在点E，E的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、规律型﹣点的坐标、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正六边形的性质，解决本题的关键是找出规律. 13．/36度 【分析】先求出正五边形的每个内角的度数，利用圆内接正多边形的性质得到，再根据等边对等角求出度数即可． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正多边形的内角和，等边对等角求角度，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题的关键． 14．67.5 【分析】根据四边形是的内接正方形，得，根据，得，即可求出的度数． 【详解】解：∵边形是的内接正方形， ∴， ∵E是的中点， ∴ ∴， ∴． 故答案为：67.5． 【点睛】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 15．/ 【分析】根据正六边形的性质，得到等边三角形，作出边心距，设未知数，直接求出每边长度直接比即可． 【详解】如图所示，连接，过作于， ∴正六边形的边心距与边长之比即求之比， ∵在正六边形中，，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查正多边形的性质，解题关键是正六边形内部会形成等边三角形，即可将每条边都用未知数表示出来． 16． 【分析】根据正多边形的中心角的度数，进行计算即可． 【详解】解：由题意得：，解得：； ∴正多边形的边数为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形的中心角．熟练掌握中心角的度数，是解题的关键． 17．，，，，，内接正五边形，外接圆 【分析】根据在同一个圆中，等弧所对的弦相等得出，进而得出，，即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 同理， 又∵五边形的顶点都在上， ∴五边形是的内接正五边形， 是五边形的外接圆． 故答案为：，，，，，内接正五边形，外接圆 【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 18．(1)①120；②18；③0 (2)时，；时，，当边的“接近度”等于0时，正n边形就成了圆 【分析】（1）①根据正n边形的“接近度”的定义，即可求解；②根据正n边形的“接近度”的定义，即可求解；③根据正n边形的“接近度”的定义，即可求解； （2）结合正多边形的外接圆的半径与正多边形的中心到各边的距离构造的直角三角形，求解即可． 【详解】（1）解：①当时， ， ∴“接近度”等于； 故答案为：120 ②当时， ， ∴“接近度”等于； 故答案为：18 ③∵越小，该正n边形就越接近于圆， ∴当时，该正n边形就成了圆， 此时， ∴； 故答案为：0 （2）解：如图，当时，为正的外接圆，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，为正六边形的外接圆，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当边的“接近度”等于0时，正n边形就成了圆． 【点睛】此题考查了正多边形与其外接圆的关系．解此题的关键是注意数形结合思想的应用． 19．(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）设的延长线与圆交于点D，根据圆的内接正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即，故在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F,同理∶在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E，连接，如图，正六边形即为所求； （2）圆的内接八边形的中心角为，而正方形的对角线与边的夹角也为，根据正方形对角线能形成角，以此确定，同理即可确定另外4个点位置，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示， 如图①，正六边形即为所求； （2）如图所示， 如图②，正八边形即为所求． 【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图、正多边形和圆，解决本题的关键是掌握圆内接正多边的性质，准确画图． 20．见解析 【分析】根据正多边形和圆的性质求解即可． 【详解】在图1中用半径去截圆周使得，连接，，，，，即可； 在图2中作，连接，，，，即可．    【点睛】本题考查了正多边形和圆，利用圆画出正六边形，正五边形是本题的关键． 21．(1)见解析 (2) 【分析】（1）作出直径，再过点作的垂线，进而得出答案； （2）利用正方形的性质结合勾股定理得出正方形的边长． 【详解】（1）解：如图所示，正方形即为所求作图形． （2）因为的半径为，四边形是正方形， 所以，， 所以． 故的内接正方形的边长为． 【点睛】此题主要考查了复杂作图、正多边形和圆、勾股定理；正确掌握正方形的性质是解题关键． 22．(1) (2) 【分析】（1）连接OD，OC，根据正方形ABCD内接于⊙O，结合圆周角定理可得∠CPD； （2）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出∠COP的度数，进而得出答案． 【详解】（1）解：连接OD，OC， ∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴∠DOC＝90°， ∴． （2）解：连接PO，OB，如图所示： ∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴∠COB＝90°， ∵点P为的中点， ∴， ∴， ∴n＝360÷45＝8． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正方形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． 23．(1) (2) 【分析】（1）过点O作于点H，连结、，则可得，，在根据垂径定理和勾股定理即可求出的长； （2）由，，可得是等边三角形，先求出的面积，即可得正六边形的面积． 本题考查的是正多边形与圆、垂径定理，掌握正六边形的性质、垂径定理是解题的关键． 【详解】（1） 如图，过点O作于点H，连结、， 则，， ， 在中， ， ， ， 故圆心O到的距离为． （2），， 是等边三角形， ， ， ∴正六边形的面积为． 24．见解析 【分析】连接，以为直径作圆，交于，两点，过点，和点，分别作直线，，根据圆周角定理的推论可得到，即可得到结论． 【详解】解：①如图，连接，以为直径作圆，交于，两点； ②过点，和点，分别作直线，， 为直径， ， ，就是的切线．    【点睛】本题考查了作图——复杂作图，切线的性质定理和圆周角定理的推论，利用圆周角定理推论得到，找到切点位置是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$