第四章 指数函数与对数函数 单元检测-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 第4章　 指数函数与对数函数 单元检测 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.“1<n<m”是“logmn<1”的(　　) A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件 C.充要条件　　D.既不充分也不必要条件 2.已知函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且f(0)>0, f(1)>0, f(2)>0, f(3)<0, f(4)<0,则在下列区间中,一定包含f(x)的零点的是(　　) A.(0,1)　　B.(1,2)　　C.(2,3)　　D.(3,4) 3.设a=0.50.4,b=log0.50.3,c=log80.4,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a<b<c　　B.c<b<a　　C.c<a<b　　D.b<c<a 4.函数y=f(x)=x(ex-e-x)的图象大致为(　　) 　　　　　　 5.已知函数f(x)=ex+e-x+lg|x|,则不等式f(x+1)>f(2x-1)的解集为(　　) A.(0,2)　　B.∪　　 C.(0,3)　　D.∪ 6.沙漏也叫做沙钟,是一种测量时间的装置.现有一个沙漏(如图)上方装有a cm3的细沙,细沙从中间小孔由上方慢慢漏下,经过t min后剩余的细沙量为y cm3,且y=a·e-bt(b为常数),经过7 min后,上方还剩下一半细沙,若上方细沙是开始时的,则经过的时间为(　　) A.16 min　　B.21 min　　C.26 min　　D.29 min 7.记max{a,b}表示a,b二者中最大的一个,函数f(x)=-x2-7x-5,g(x)=max{31-x,log3(x+2)},若∀x1∈[a-1,a+1],∃x2∈[0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,则a的取值范围是(　　) A.[-5,-2]　　B.[-4,-3]　　C.　　D. 8.已知函数f(x)=若存在x2>x1>0,使得f(x2)=2f(x1),则x1·f(x2)的取值范围是(　　) A.　　B.　　 C.[4,+∞)　　D.∪[4,+∞) 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知函数f(x)=log2(1-x)+log2(1+x),则(　　) A. f(x)的定义域为(-1,1)　　B. f(x)为偶函数 C. f(x)在(0,1)上单调递增　　D. f(x)的最大值是0 10.已知函数f(x)=,则(　　) A.f(x)在[2,+∞)上单调递增 B. f(x)的值域为(0,+∞) C.不等式f(x)<256的解集为(-1,5) D.若g(x)=2-ax·f(x)在(-∞,1]上单调递减,则实数a的取值范围为[-2,+∞) 11.定义区间(α,β)的长度为β-α,记函数f(x)=lg[ax-(1+a2)x2](其中a>0)的定义域的长度为L(a),则下列说法正确的有(　　) A.L(a)= B.L(a)的值域为 C.L(a)在(0,1)上单调递增 D.给定常数k∈(0,1),当a∈[1-k,1+k]时,L(a)的最小值为 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.若f(x)为定义在R上的偶函数,函数g(x)=f(x)(ex-e-x)+2,则g(-2 024)+g(2 024)=　　　　　.  13.已知函数f(x)=loga(4-ax)(a>0且a≠1)在区间[0,1]上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　.  14.已知函数f(x)=若方程f(x)=1的一个实根在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k的所有可能取值形成的集合为　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)求值: (1)-(-9.6)0-+1.5-2; (2)log25·log45-lo3-log24+. 16.(15分)设函数f(x)=lg(-2x),g(x)=4x-2x+2+3. (1)判断函数y=f(x)的奇偶性,并证明; (2)写出函数y=f(g(x))的单调区间(直接写出结果); (3)若∀x∈[0,log23],g(x)≥a·2x-1成立,求a的取值范围. 17.(15分)已知函数f(x)=(log2x-2)log2. (1)求函数f(x)的最小值; (2)若对于任意的x∈[2,16], f(x)<mlog4x恒成立,求m的取值范围; (3)若关于x的方程|f(x)|=b有两个不同的实数解,求实数b的取值范围. 18.(17分)已知函数f(x)=ln x. (1)若函数g(x)=且g(x)是增函数,求实数k的取值范围; (2)若对任意的正数x,不等式f((2-a)ex-1)≤f(a)+2x恒成立,求a的取值范围. 19.(17分)已知函数f(x)和g(x)的定义域分别为D1和D2,若对任意x0∈D1,恰好存在n个不同的实数x1,x2,…,xn∈D2,使得g(xi)=f(x0)(其中i=1,2,…,n,n∈N*),则称g(x)为f(x)的“n重覆盖函数”. (1)判断g(x)=|x|是不是f(x)=x2-1的“2重覆盖函数”,请说明理由; (2)若g(x)=为f(x)=log2的“2重覆盖函数”,求实数a; (3)函数[x]表示不超过x的最大整数,如[1.2]=1,[2]=2,[-1.2]=-2,若g(x)=ax-[ax],x∈[0,2)为f(x)=,x∈[0,+∞)的“2 024重覆盖函数”,求正实数a的取值范围. 答案 1.A　当1<n<m时,logmn<logmm=1,所以充分性成立; 若logmn<1,即logmn<logmm, 当0<m<1时,n>m,当m>1时,n<m,所以1<n<m不一定成立,故必要性不成立. 综上,“1<n<m”是“logmn<1”的充分不必要条件. 2.C　因为f(x)的图象是一条连续不断的曲线, 且f(0)f(1)>0, f(1)f(2)>0, f(2)f(3)<0, f(3)f(4)>0, 所以由函数零点存在定理可知一定包含f(x)零点的区间是(2,3). 3.C　∵0<a=0.50.4<0.50=1,b=log0.50.3>log0.50.5=1,c=log80.4<log81=0, ∴c<a<b. 4.D　∵f(x)=x(ex-e-x)的定义域为R,且f(-x)=-x(e-x-ex)=x(ex-e-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,排除B,C; 取特殊值: f(0)=0, f(1)=e-, f(2)=2e2-,易得f(2)-f(1)>f(1)-f(0),∴当x>0时, f(x)增加的速度越来越快,即函数图象越来越陡,排除A. 5.B　∵f(x)的定义域为{x|x≠0},且f(-x)=e-x+ex+lg|-x|=ex+e-x+lg|x|=f(x),∴f(x)为偶函数. 当x>0时, f(x)=ex+e-x+lg x, 令t=ex(x>0),则t>1, 由y=t+的图象知,函数y=t+在(1,+∞)上单调递增,且t=ex是增函数,∴函数f(x)=ex+e-x+lg|x|在(0,+∞)上单调递增, 因此,不等式f(x+1)>f(2x-1)⇔|x+1|>|2x-1|,且x+1≠0,2x-1≠0, 解得0<x<或<x<2,即不等式f(x+1)>f(2x-1)的解集为∪. 6.B　依题意有ae-7b=a,即e-7b=, 两边取对数得-7b=ln =-ln 2,所以b=,则y=a, 当上方细沙只有开始时的时,a=a,所以=, 两边取对数得-t=ln =-3ln 2,所以t=21. 所以经过21 min后,上方细沙是开始时的. 7.A　因为∀x1∈[a-1,a+1],∃x2∈[0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立, 所以f(x)在[a-1,a+1]上的值域为g(x)在[0,+∞)上的值域的子集. 易知y=31-x在R上单调递减,y=log3(x+2)在(-2,+∞)上单调递增, 当x=1时,31-x=log3(x+2)=1,故g(x)= 则g(x)在[0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 故g(x)在[0,+∞)上的最小值为g(1)=1,即g(x)在[0,+∞)上的值域为[1,+∞). f(x)=-x2-7x-5=+≤, 令f(x)=-x2-7x-5=1,则x2+7x+6=(x+1)(x+6)=0,则x=-1或x=-6,因为f(x)在[a-1,a+1]上的值域为[1,+∞)的子集, 所以解得-5≤a≤-2,即a的取值范围是[-5,-2]. 8.D　当0<x1<x2<1时,若f(x2)=2f(x1)∈(0,1), 则f(x1)∈,即∈,所以x1∈, 此时x1·f(x2)=2x1f(x1)=2, 因为y=x3在上单调递增,所以x1·f(x2)=2∈. 当0<x1<1≤x2时, f(x1)=∈(0,1), f(x2)=∈[2,+∞), 所以f(x2)>2f(x1),故不存在0<x1<1≤x2,使得f(x2)=2f(x1). 当1≤x1<x2时, f(x1)=, 若f(x2)=2f(x1),则x1·f(x2)=2x1f(x1)=2x1·, 令g(x)=2x·2x,x∈[1,+∞),易知g(x)在[1,+∞)上单调递增, 所以g(x)≥g(1)=4,即x1·f(x2)∈[4,+∞). 综上所述,x1·f(x2)的取值范围是∪[4,+∞). 9.ABD　由f(x)=log2(1-x)+log2(1+x),可得解得-1<x<1, 故函数f(x)的定义域为(-1,1),因此A正确; 由A知f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,又f(-x)=log2(1+x)+log2(1-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,因此B正确; f(x)=log2(1-x2),由复合函数的单调性可知, f(x)在(0,1)上单调递减,因此C错误; 易知f(x)=log2(1-x2)≤log21=0,因此D正确. 10.ACD　设t=x2-4x+3. 对于A,t=x2-4x+3的图象开口向上,对称轴为直线x=2,则t=x2-4x+3在[2,+∞)上单调递增,又y=2t在R上单调递增,所以f(x)在[2,+∞)上单调递增,A正确. 对于B,t=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,则y=2t≥,故f(x)的值域为,B错误. 对于C,不等式f(x)<256=28,即x2-4x+3<8,解得-1<x<5,即原不等式的解集为(-1,5),C正确. 对于D,g(x)=2-ax·f(x)=,设m=x2-(4+a)x+3, 若g(x)=2-ax·f(x)在(-∞,1]上单调递减,则m=x2-(4+a)x+3在(-∞,1]上单调递减,必有(4+a)≥1,解得a≥-2,即实数a的取值范围为[-2,+∞),D正确. 11.ACD　对于A,令ax-(1+a2)x2>0,其中a>0,解得0<x<,故f(x)的定义域为,故L(a)=,A正确; 对于B,因为a>0,所以L(a)==≤=,当且仅当a=,即a=1时,等号成立,又L(a)=>0,故L(a)的值域为,B错误; 对于C,任取a1,a2∈(0,1)且a1<a2, 则L(a1)-L(a2)=-===, 因为a1,a2∈(0,1)且a1<a2,所以a1-a2<0,1-a1a2>0, 故L(a1)-L(a2)=<0,即L(a1)<L(a2), 故L(a)=在(0,1)上单调递增,C正确; 对于D,和C选项同理,由定义法可知L(a)=在(1,+∞)上单调递减,结合C选项知,给定常数k∈(0,1),当a∈[1-k,1]时,L(a)单调递增,当a∈[1,1+k]时,L(a)单调递减,故L(a)的最小值为L(1-k)或L(1+k), L(1-k)-L(1+k)=- = = =, 因为k∈(0,1),所以-2k3<0, 又k2-2k+2=(k-1)2+1>0,k2+2k+2=(k+1)2+1>0, 所以<0,即L(1-k)<L(1+k), 所以L(a)的最小值为,D正确. 12.答案　4 解析　由题意知g(-x)=f(-x)(e-x-ex)+2=-f(x)(ex-e-x)+2=-g(x)+4,故g(x)+g(-x)=4,则g(-2 024)+g(2 024)=4. 13.答案　(1,4) 解析　设t=4-ax.因为a>0且a≠1,所以函数t=4-ax在[0,1]上单调递减,又函数f(x)=loga(4-ax)(a>0且a≠1)在区间[0,1]上单调递减,所以函数y=logat在定义域上单调递增,则a>1,且对任意的x∈[0,1],t=4-ax>0恒成立,即tmin=4-a>0,解得a<4. 综上所述,实数a的取值范围是(1,4). 14.答案　{-4,-3,1} 解析　由x2-9=1(x≤-3),解得x=-或x=(舍去), 因为-∈(-4,-3),所以k=-4. 易知x=0不是方程xlg(x+3)=1的根,当x>-3且x≠0时,由xlg(x+3)=1(x>-3)得lg(x+3)=,作出y=lg(x+3)和y=在(-3,0)∪(0,+∞)上的图象,如图. 结合图象知,方程lg(x+3)=在区间(-3,-2)上有且只有一个实根. 故方程xlg(x+3)=1在区间(-3,-2)内有且仅有一个实根,此时k=-3. 令g(x)=lg(x+3)-,则g(1)=lg 4-1<0,g(2)=lg 5-=(lg 25-1)>0,即g(1)g(2)<0, 故函数g(x)=lg(x+3)-在区间(1,2)内仅有一个零点, 即方程lg(x+3)=在区间(1,2)内有且仅有一个实根,此时k=1. 综上,k的所有可能取值构成的集合为{-4,-3,1}. 15.解析　(1)-(-9.6)0-+1.5-2 =-1-+(3分) =-1-+=-1=.(6分) (2)log25·log45-lo3-log24+ =-log52·log25+log33-2log22+2(10分) =-+1-2+2=.(13分) 16.解析　(1)函数y=f(x)是奇函数.(1分) 证明:因为>=2|x|≥2x, 所以函数f(x)=lg(-2x)的定义域为R,(3分) 又f(-x)+f(x)=lg[-2(-x)]+lg(-2x) =lg{[-2(-x)](-2x)}=lg 1=0, 所以函数y=f(x)是奇函数.(5分) (2)函数y=f(g(x))的单调递减区间为[1,+∞),单调递增区间为(-∞,1).(10分) (3)因为∀x∈[0,log23],g(x)≥a·2x-1成立,g(x)=4x-2x+2+3, 所以4x-(4+a)2x+4≥0, 令t=2x,则t∈[1,3],因此t2-(4+a)t+4≥0,t∈[1,3]恒成立,所以a≤t+-4,(13分) 又t+-4≥2-4=0,当且仅当t=2时,等号成立, 所以a≤0,故a的取值范围为(-∞,0].(15分) 17.解析　(1)由题意得函数y=f(x)的定义域为(0,+∞), f(x)=(log2x-2)log2=(log2x-2)(log2x-1), 令s=log2x,则s∈R,故求f(x)的最小值即求y=(s-2)(s-1)=s2-3s+2在R上的最小值.(3分) 由y=s2-3s+2=-结合二次函数的性质得当s=时,ymin=-,故f(x)min=-.(5分) (2)由f(x)<mlog4x,得(log2x-2)(log2x-1)<log2x. 令t=log2x,由x∈[2,16],得t∈[1,4]. 由题意可知,对于任意的t∈[1,4],(t-2)(t-1)<t恒成立,即t+-3<恒成立.(7分) 令h(t)=t+-3,t∈[1,4],则h(t)max<. 由对勾函数的单调性可知h(t)在[1,]上单调递减,在[,4]上单调递增,且h(1)=0,h(4)=, 所以当t∈[1,4]时,h(t)max=h(4)=.(9分) 因此<,解得m>3,即m的取值范围是(3,+∞).(10分) (3)结合(1)可知,y=-在上单调递减,在上单调递增,令log2x=,得x==2,结合复合函数的单调性可知f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,且f(2)=-,令f(x)=0,得x=2或x=4.画出函数|f(x)|=的大致图象如图: (12分) 则函数y=|f(x)|在(0,2)上单调递减,在(2,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增,(13分) 因此当b∈{0}∪时,关于x的方程|f(x)|=b有两个不同的实数解.(15分) 18.解析　(1)因为函数g(x)是R上的增函数, 所以即(4分) 解得2≤k≤3,故k的取值范围为[2,3].(6分) (2)因为f(x)的定义域为(0,+∞),所以(8分) 由(2-a)ex-1>0得a<2-在x∈(0,+∞)上恒成立, 因为x>0,所以ex>1,所以0<<1,所以2->1,所以0<a≤1.(11分) 因为对任意的正数x,不等式f((2-a)ex-1)≤f(a)+2x恒成立, 所以f((2-a)ex-1)≤f(ae2x), 因为f(x)在(0,+∞)上为增函数, 所以(2-a)ex-1≤ae2x在(0,+∞)上恒成立, 所以a≥在(0,+∞)上恒成立,(13分) 令t=2ex-1,t∈(1,+∞),则ex=, 所以a≥在t∈(1,+∞)上恒成立, 因为=≤=4-2,当且仅当t=时,等号成立, 所以a≥4-2.(16分) 综上,a的取值范围为[4-2,1].(17分) 19.解析　(1)对于f(x)=x2-1, f(0)=-1,又g(x)=|x|≥0, 所以g(x)不是f(x)的“2重覆盖函数”.(2分) (2)易知f(x)=log2=log2的定义域为R, 则对任意x0∈R,存在2个不同的实数x1,x2∈[-2,+∞), 使得g(xi)=f(x0)(其中i=1,2),(3分) 由2x>0,得2x+1>1⇒0<<1⇒1<1+<2, 故0<log2<1,即∀x0∈R,log2∈(0,1), 即对任意k∈(0,1),g(x)=k有2个实根, 当x>1时,x-1>0,g(x)=x-1=k有一个根, 故只需-2≤x≤1时,g(x)=k(0<k<1)仅有1个根.(5分) 当-a≥0,即a≤0时,g(x)=2x-a∈[g(-2),g(1)]=, 则此不等式组无解.(6分) 当-a<0,即a>0时,令g(x)=|2x-a|=0,解得x=log2a, 当log2a≤-2=log2,即0<a≤时,g(x)=2x-a∈[g(-2),g(1)]=,所以解得a=.(7分) 当-2=log2<log2a<log22=1,即<a<2时,不满足g(x)=k(0<k<1)仅有1个根.(8分) 当log2a≥1=log22,即a≥2时,g(x)=a-2x∈[g(1),g(-2)]=,所以解得a=2.(9分) 综上所述,a=或a=2.(10分) (3)对于f(x)=,x∈[0,+∞), 当x=0时, f(0)=0;(11分) 当x>0时, f(x)>0且f(x)==≤=,(12分) 当且仅当x=1时取等号,所以0<f(x)≤. 综上,0≤f(x)≤,即∀x0∈[0,+∞), f(x0)=∈,(14分) 则对任意m∈,g(x)=m,x∈[0,2)有2 024个根, g(x)=ax-[ax]=(16分) 作出函数g(x)的部分图象,如图,要使g(x)=m,m∈,x∈[0,2)有2 024个根,则<2≤点拨:y=g(x)的图象与直线y=的交点的横坐标依次为,,,…, 又a>0,所以<a≤1 012,故正实数a的取值范围是. (17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$