5.7 三角函数的应用 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.7　三角函数的应用 同步练习 考点一　三角函数模型在物理中的应用 1.(多选题)已知电流强度I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的函数I=Asin(ωt+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,则(　　) A.A=60 B.ω= C.φ= D.在一个周期内,电流强度不超过30 A的时长为 s 2.(多选题)如图,弹簧挂着的小球做上下运动,将小球视为质点,它在t s时相对于平衡位置(图中h=0处)的高度h(单位:cm)由关系式h=Asin(ωt+φ)确定,其中A>0,ω>0,t≥0,φ∈[0,π].小球从最高点出发,经过0.5 s后,第一次到达最低点,经过的路程为10 cm,则下列说法正确的是(　　) A.ω=2π B.φ= C.小球在t∈[8,9]内经过的路程为10 cm D.当t=9.75时,小球正在向上运动 3.(多选题)已知某单摆运动的振幅为2,单摆离开平衡位置的位移y(单位:cm)和时间t(单位:s)近似满足函数关系y=Asin(ωt-φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0),其部分图象如图所示,则(　　) A.该单摆运动的周期为3π B.该单摆运动的初相为 C.当t=时,该单摆离开平衡位置的位移的大小为 D.当t∈时,y随着t的增大而增大 4.主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声,然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声(如图所示),已知某噪声声波曲线f(x)=Asin(A>0,0≤φ<π),其振幅为2,且经过点(1,-2). (1)求该噪声声波曲线f(x)的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线g(x)的解析式; (2)证明:g(x)+g(x+1)+g(x+2)为定值. 考点二　三角函数模型在生活中的应用 5.商场人流量是指每分钟通过入口的人数,已知某商场春节期间的人流量满足:F(t)=50+4sin (t≥0),则下列时间段内人流量是增加的是(　　) A.[0,5]　　B.[5,10] C.[10,15]　　D.[15,20] 6.如图,某港口某天从6 h到18 h的水深y(单位:m)与时间x(单位:h)之间的关系可用函数y=Asin(ωx+φ)+5A>0,ω>0,|φ|<近似刻画,据此可估计当天12 h的水深为(　　) A. m　　B.4 m　　 C.m　　D.m 7.某地区2024年全年月平均温度y(单位:℃)与月份t之间近似满足y=Asin+k(A>0,-π<φ<0).已知该地区2月份的月平均温度为-1 ℃,全年月平均温度最高的月份为6月份,且月平均温度为32 ℃,则该地区12月份的月平均温度为　(　　) A.-12 ℃　　B.-10 ℃　　C.-9 ℃　　D.-6 ℃ 8.已知人的血压在不断变化,心脏每收缩和舒张一次构成一个心动周期,血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压.已知某人某次测量自己的血压得到收缩压为126 mmHg,舒张压为78 mmHg,心动周期约为0.75 s,假设他的血压p(mmHg)关于时间t(s)近似满足函数关系式p(t)=b+asin ωt(a>0,ω>0),则当t∈[0,0.75]时,此人的血压在90 mmHg到114 mmHg的时长约为(　　) A.0.125 s　　B.0.25 s　　C.0.375 s　　D.0.5 s 9.某市拟建的一块运动场地的平面图如图,其中有一条运动赛道由三部分构成:赛道的前一部分为曲线段BCD,该曲线段为函数y=Acos(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<在x∈[-4,0]上的图象,且图象的最高点为C(-1,4);赛道的中间部分为长度是2的水平跑道DE;赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧EF. (1)求ω,φ和∠EOF的值; (2)若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个矩形草坪PQMN,其中M,Q在OF上,P在弧EF上,N在OE上,如图所示.记∠POF=θ,求矩形草坪PQMN面积的最大值及此时θ的值. 考点三　三角函数模型的建立及其应用 10.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针针尖的位置为P(x,y).若初始位置为P0,当秒针从P0(此时t=0)开始走时,点P的纵坐标y与时间t(单位:s)的函数关系为(　　) A.y=sin　　B.y=sin C.y=sin　　D.y=sin 11.某摩天轮示意图如图所示,其半径为100 m,最低点A到地面的距离为8 m,该摩天轮上一吊箱B(视为质点)从A点出发,按顺时针方向匀速旋转,且每24 min转动一圈,则吊箱B第4次距离地面158 m时,所经历的时长为　　　　min.  12.风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转,当风吹向叶片时,驱动风轮转动,风能转化成动能,进而来推动发电机发电.如图,风机由一座塔和三个叶片组成,每两个叶片之间的夹角均为,现有一座风机,叶片旋转轴离地面100米,叶片长40米.叶片按逆时针方向匀速转动,并且每5秒转动一圈.风机叶片端点P从离地面最低的位置开始,转动t秒后离地面的距离为h米,在转动一周的过程中,h关于t的函数解析式为h(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π). (1)求函数h(t)的解析式; (2)当风机叶片端点P从离地面最低位置开始,在转动一周的过程中,求点P离地面的高度不低于80米的时长. 13.为了打造美丽社区,某小区准备将一块由一个半圆和一个长方形组成的空地进行美化,如图,长方形的边AB为半圆的直径,O为半圆的圆心,AB=2AD=100 m,现要将此空地规划出一个等腰三角形区域PMN种植观赏树木,其余区域种植花卉(其中P,N,M分别在线段AD,DC,圆弧AB上,且底边MN⊥CD).设∠MOB=θ,θ∈. (1)当θ=时,求△PMN的面积; (2)求三角形区域PMN面积的最大值. 答案 1.ABD　对于A,由题图可知A=60,故A正确; 对于B,由题图知=-=,得T=,则ω==,故B正确; 对于C,由题图知60sin=-60,得+φ=+2kπ(k∈Z),得φ=-+2kπ(k∈Z), 因为|φ|<,所以φ=-,故C错误; 对于D,由60sin≤30,得sin≤, 得+2kπ≤t-≤+2kπ(k∈Z),得+k≤t≤+k(k∈Z), 所以在一个周期内,电流强度不超过30 A的时长为-= s,故D正确. 2.ABD　对于A,由题意得=0.5,∴T=1,∴ω==2π,故A正确; 对于B,当t=0时,小球位于最高点,则sin φ=1,又φ∈[0,π],∴φ=,故B正确; 对于C,由题意得A=5,当t∈[8,9]时,恰好为一个周期,则小球经过的路程为4A=20(cm),故C错误; 对于D,当t=9.75时,h=5sin=5sin 20π=0, 由正弦函数的图象可知,图象自下而上穿过x轴,故小球正在向上运动,故D正确. 3.ABC　由题图知=π-,则T=3π,故A正确; 由单摆运动的振幅为2,得A=2,由3π=,解得ω=,所以y=2sin,因为函数图象过点, 所以×-φ=2kπ+,k∈Z,解得φ=--2kπ,k∈Z, 又-π<φ<0,所以φ=-,即y=2sin,故该单摆运动的初相为,故B正确; 当t=时,y=2sin=2sin =,故C正确; 当t∈时,由题图知y=2sin在上单调递增,在上单调递减,故D错误. 4.解析　(1)由已知可得A=2,则f(x)=2sin, 由噪声声波曲线经过点(1,-2),得-2=2sin,则sin=-1,故+φ=+2kπ,k∈Z,得φ=+2kπ,k∈Z, 又0≤φ<π,所以φ=,则f(x)=2sin, 又降噪声波曲线与噪声声波曲线的振幅相同、相位相反, 所以g(x)=-2sin. (2)证明:由(1)得g(x)=-2sin =-2sin=-2cos, 则g(x)+g(x+1)+g(x+2) =-2cos-2cos-2cos =-2cos+2cos x+2cos =-2+2cos x+2-cos x-sin x =-cos x+sin x+2cos x-cos x-sin x=0, 即g(x)+g(x+1)+g(x+2)为定值0. 5.C　令2kπ-≤≤2kπ+,k∈Z,得4kπ-π≤t≤4kπ+π,k∈Z,所以函数F(t)=50+4sin 的单调递增区间为[4kπ-π,4kπ+π],k∈Z.当k=1时,t∈[3π,5π],结合选项知[10,15]⊆[3π,5π],故当t∈[10,15]时,人流量是增加的. 6.A　由题图可得=18-6=12,则ω=, 当sin(ωx+φ)=-1时,y取得最小值,为-A+5=2,得A=3, ∵函数y=3sin+5的图象过点, ∴3sin+5=,即sin φ=-,又|φ|<, ∴φ=-,∴y=3sin+5. 当x=12时,y=3sin+5=-+5=. 7.A　由题意可知,当t=6时,y=Asin+k取得最大值, 所以6×+φ=2kπ+,k∈Z,即φ=2kπ-,k∈Z. 又-π<φ<0,所以φ=-, 所以y=Asin+k=-Acos t+k. 因为全年月平均温度的最大值为32 ℃,所以A+k=32①. 又当t=2时,y=-1,所以-Acos+k=-1,所以A-2k=2②. 由①②解得A=22,k=10,所以y=-22cos t+10, 则当t=12时,y=-22cos+10=-12,故该地区12月份的平均温度为-12 ℃. 8.B　由题意可知解得 ω==2π×=,则p(t)=24sin t+102, 令90≤24sin t+102≤114,得-≤sin t≤, 令x=t,由t∈[0,0.75]得x∈[0,2π], 则-≤sin x≤,x∈[0,2π], 画出函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象,如图所示, 由图可知,此人的血压在90 mmHg到114 mmHg的时长约为×=0.25(s). 9.解析　(1)由题意可得A=4,=-1-(-4)=3,则T=12,故ω==, 将(-1,4)代入y=4cos,得cos-+φ=1,所以φ=+2kπ,k∈Z, 又0<φ<,所以φ=, 故曲线段BCD对应的函数解析式为y=4cos,-4≤x≤0. 令x=0,可得y=6,所以D(0,6),E(2,6), 所以tan∠EOD===,则∠EOD=, 所以∠EOF=-∠EOD=-=. (2)由(1)可知OE==4,故OP=4, 由∠POF=θ,得PQ=4sin θ,OQ=4cos θ,OM===4sin θ, 所以矩形草坪PQMN的面积S=PQ·(OQ-OM)=4sin θ(4cos θ-4sin θ)=16(sin θcos θ-sin2θ)=16-8=16sin2θ+-8, 易知0<θ<,所以<2θ+<, 故当2θ+=,即θ=时,Smax=16-8=8, 故矩形草坪PQMN面积的最大值为8,此时θ=. 10.C　根据题意,设y=Asin(ωt+φ)(A>0,ω<0,-π≤φ<π), 由题意可知,φ为第一象限角,且 又因为-π≤φ<π,所以φ=,A==1, 函数y=sin(ω<0)的最小正周期T=60, 所以ω=-=-=-, 所以点P的纵坐标y与时间t的函数关系为y=sin. 11.答案　40 解析　以O为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图, 设吊箱B离地面的高度为h m,转动的时间为t min,由已知得h=100sin+108=-100cos t+108, 令h=158,得cos t=-, ∴t=+2kπ,k∈Z或t=+2kπ,k∈Z, ∴t=8+24k,k∈Z或t=16+24k,k∈Z, 当k=0时,t=8或t=16,当k=1时,t=32或t=40, ∴当t=40时,吊箱B第4次距离地面158 m. 12.解析　(1)由题意,得ω=,当t=0时,h=60. 所以解得 ∴h(t)=40sin+100=-40cos t+100(0≤t≤5). (2)令h(t)≥80,得-40cos t+100≥80,即cos t≤,在一个周期内,易得≤t≤,解得≤t≤,则-=, ∴在转动一周的过程中,点P离地面的高度不低于80米的时长为 秒. 13.解析　(1)设MN与AB相交于点E,过P作PF⊥MN,垂足为F,易知AE=PF.在Rt△OME中,易得ME=OM·sin =50×=25,OE=OM·cos =50×=25,可得MN=ME+EN=25+50,AE=AO+OE=50+25=75, 所以S△PMN=MN·AE=×(25+50)×75=(1 875+3 750), 即△PMN的面积为(1 875+3 750)m2. (2)由(1)得PF=AE=50+50cos θ, 且MN=ME+EN=50sin θ+50,三角形区域PMN的面积S=MN·PF=(50+50sin θ)(50+50cos θ)=1 250(1+sin θ)(1+cos θ)=1 250(1+sin θ+cos θ+sin θcos θ), 设t=sin θ+cos θ=sin,由θ∈,得θ+∈,故t∈[1,], 结合sin θcos θ=,可得S=1 250=625(t+1)2,t∈[1,]. 易知当t=时,S取得最大值,且Smax=625×(+1)2=1 875+1 250, 即三角形区域PMN面积的最大值为(1 875+1 250)m2. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$