2025年湖南省长沙市明德教育集团中考模拟考试数学试卷

2024-2025-明德教育联盟中考模拟考式 数学试卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符 合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1.下列各组数互为相反数的是 A.2与-2 B.2°与(-1)2 C.2与2月 D.-(（-2)与--2 2.窗花是一种民间艺术，是贴在窗户上的剪纸。下列四个窗花作品是中心对称图形 的是 B D 3.最新数据显示，2024年前三季度，张家界共吸引接待入境游客129.43万人次，同 比增长255.47%；创造入境旅游收入35854.12万美元，同比增长307.61%，韩国依 然是最大客源国.其中数据129.43万用科学记数法表示为 A.1.2943×106B.1.2943×103C.1.2943×10 D.129.43×101 4.如图，直线y=-2x+4与坐标轴分别交于A,B两点，O为坐标原点，则△AOB的 面积为 A,8 B.4 C.2 D.1 \y=-2x+4 第4题图 第5题图 5.如图，直线1∥m,等边△ABC的顶点B,C分别在l,m上，若I=20°，则∠2的 度数为 A.70° B.40° C.30° D.20° 6.下列计算正确的是 A.(x+y)}=x2+y B.(x+y)(x-y)=x2-y2 C.4W3-35=1 D.a-(-a+1)=-l T.如图，点E,F,G,H分别为四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.下列 说法中不正确的是 A.若四边形ABCD是矩形，则四边形EFGH是正方形 B.若AC=BD,则四边形EFGH是菱形 C,若AC⊥BD,则四边形EFGH是矩形 D.四边形EFGH一定是平行四边形 第7题图 第8题图 8.如图，已知⊙O是等边△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D,交BC于 点E.若DE=3,则四边形ABDC的面积为 A.18W3 B.24W3 C.36√3 D.72W5 第1页（共4页） 9.某数学课外活动小组调查学校附近一家超市的销售情况，发现本学期前五周的销售 总额一共是186万元，图1，图2分别是其销售总额统计图和零食类销售额占当周 销售总额的百分比统计图.根据图中信息，下列判断中正确的是 销售总额统计图 零食类销售额占比统计图 A销售额/万元 百分比 0 9 20 0 -0 ◇第一周第二周第三周第四周第五周周次 第一周第二周第三周第四周第五周周次 图1 图2 ①超市第四周销售总额为20万元：②对比上一周，第四周零食类销售额下降幅度最 大：③第二周和第五周零食类销售总额相同；④第四周零食类销售额比第三周的零 食类销售额增加了10%；⑤第五周的零食类销售额比第四周的零食类销售额增加了. A.①④⑤ D.①②③ C.①④ D.①⑤ 10.用四根长度相等的木条制作学具，先制作一个如图1所示的正方形ABCD,测得 BD=10cm,活动学具成图2所示的四边形ABCD,测得∠A=120°，则图2中BD 的长是 图1 图2 A.53cm B.10v3 cm C.5v6 cm D.10/6cm 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11.若x-1≠0，则x的取值范围是 12.若正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数为 13.小明与小雅玩一种比较数字大小的小游戏：两人各有三张卡片，小明的卡片上分别 标有数字1,4,9，小雅的卡片上分别标有数字2,5,8，两人各从自己的卡片中 随机抽一张，则“小雅所抽数字大于小明所抽数字”的概率是 14.已知(a2+b2+3)(a2+b2-3)=7,ab=5,则(a+b)2=」 15.如图，正方形ABCD的边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF,再以CF为边 作第3个正方形FCGH,…,按照这样的规律作下去，第2025个正方形的面积 为 第15题图 第16题图 16.如图，在Rt△40B中，∠0AB=90°，∠AOB=60°，顶点A在反比例函数y=-4 (x<0)的图象上，顶点B在反比例函数y=的图象上.若Rt△AOB的面积恰好 被y轴平分，则k= 第2页（共4页） 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8 分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤) 1n.计第号-s-4cs60-3+(. 18.已知a+2b+3=0,求a-4)+4=2地的值 0 2a 19.如图是由边长均为1的小正方形组成的6×6的正方形网格，每个小正 方形的顶点称为格点，A,B两点都在格点上，连接AB,请完成下列：-！ 作图： (1)在网格中找一个格点M,使得△ABM是等腰直角三角形（作一个 即可)： (2)在网格中找一个格点N,使得△ABN的面积为6（作一个即可）.第19题图 20.某校举行了“防涵水，防性侵”安全知识竞赛.为了解竞赛成绩，随机抽样调查了 七、八年级部分学生的分数，过程如下： 【收集数据】从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的 分数如下：81,83,84,85,86,87,87,88,89,90,92,92,93,95,95,95， 99,99,100,100. 【整理、描述数据】 分数段 80≤x<85 85≤x<90 90≤x<95 95≤x≤100 七年级人数 4 6 2 8 八年级人数 3 Q 4 7 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91 89 97 八年级 91 6 c 根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)表中a,b,c的值分别是多少？ (2)样本数据中，七年级的甲同学和八年级的乙同学的分数都为90分，甲、乙两 位同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序哪位更靠前？请说明理由； (3)若七年级共有400人参赛，则该年级约有多少人的分数不低于95分？ 21,如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,G是BC中点，连接DG, 过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC的延长线于点F,且 BE=CF. (1)求证：DG⊥BC: (2)若AB=5,AC=3,求BE的长 22.某物流公司需将一批紧急物资运往灾区，现可租用甲、乙两种型 第21题图 号的卡车.已知租用2辆甲种卡车和3辆乙种卡车一次可运输46吨物资；租用1 辆甲种卡车和2辆乙种卡车一次可运输28吨物资. (1)求每辆甲种卡车和每辆乙种卡车一次分别能装运多少吨物资： (2)已知甲种卡车每辆租金为450元，乙种卡车每辆租金为400元，现租用甲、乙 共9辆卡车，请求出租用卡车的总费用W(元)与租用甲种卡车的数量α（辆） 之间的函数解析式： (3)在(2)的条件下，为了保障能运完这批物资，发现甲种卡车不少于5辆，请 你为该物流公司设计如何租车费用最少？并求出最少费用是多少元？ 第3页（共4页） 23.“板车”是一种以前在街头巷尾经常能看到的人力或畜力牵引的运输工具.它主要 部分是一块平板，平板下面安装轮子，图1是板车把手端点C着地时侧面示意图， 图2是板车后尾端点E着地时侧面示意图.AB为车轮⊙O的直径，车架CE过圆 心O,AE=AB,地面与车轮⊙O相切于点D. 图1 图2 (1)如图1，连接AD,BD,若an∠BDC=二， CD=2.4m. ①求证：∠ADC=∠DBC; ②求车轮⊙0的半径长， (2)在(1)的条件下，如图2所示，当板车后尾端点E着地时，求板车把手端点 C到地面的距离， 24.如图1，在矩形MNPg中，点E,F,G,H分别在NP,P2,M,MW上.若 ∠1=∠2=∠3=∠4，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的“内嵌四边形” G 图1 图2 图3 图4 (1)判断矩形MNPQ的“内嵌四边形”EFGH的形状并说明理由； (2)图2，图3中，四边形ABCD为矩形，且AB=4,BC=8,点E,F分别在 BC,CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的“内嵌四边 形”EFGH,并分别求出其周长： (3)如图4中，AB=a,BC=b,猜想矩形ABCD的“内嵌四边形”的周长是否 为定值.为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于点M, 试利用小华同学给我们的启发证明你的猜想， 25.如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(1,0),点B(4,0),与y轴交于点 C(O,4).过点A作AD∥BC交抛物线于点D,P是AD下方抛物线上的点，过点P 与x轴垂直的直线分别交BC,AD于点E,F,EG⊥AD于点G (1)求该抛物线的解析式： (2)求△PEG面积的最大值及此时点P的坐标： (3)当△PEG的面积最大时，在抛物线上是否存在点2， 使得∠PMB=2PCB,其中M为直线PQ与直线BC 的交点.若存在，求出点2的坐标：若不存在，请说 明理由， 第25题图 1、 选择题答案速查 题号 1 2 3 4 5 答案 D C A B B 题号 6 7 8 9 10 答案 B A C D C 1. D【解析】本题考查了相反数、绝对值、乘方、指数幂等，根据只有符号不同的两个数互为相反数逐项判断即可得出答案．A、 , 所以2与不互为相反数，故此选项不符合题意； B、 , , 所以与不互为相反数，故此选项不符合题意； C、 , 所以2与不互为相反数，故此选项不符合题意； D、 , , 所以与互为相反数，故此选项符合题意； 故选：D. 2. C【解析】本题考查中心对称图形的识别，理解定义，找准图形中的对称中心是解答的关键。选项C的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形。故选：C. 【知识归纳】中心对称图形是指绕某一点旋转180°后能与自身重合的图形。C选项符合这一特性。 3. A【解析】129.43万 = 1294300 = 1.2943 × 10⁶ 【知识归纳】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. B【解析】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于结合函数图象进行解答.由一次函数解析式分别求出点A和点B的坐标，即可作答． 当时，  ∴点B的坐标为(0, 4), ; 当时， , 解得： , ∴点A的坐标为(2, 0), , 故选：B. 5. B 【解析】本题考查了平行线的判定与性质，等边三角形的性质，根据平行线的性质及等边三角形的性质求解即可．掌握平行线的性质，等边三角形的性质是解题的关键． 如图，过A作AM平行于l ., , 是等边三角形，, ∵, 故选：B. 6. B 【解析】本题考查了完全平方公式以及平方差公式等，正确应用乘法公式是解题的关键A、 , 故此选项不符合题意； B、 , 故此选项符合题意； C、 , 故此选项不符合题意； D、 , 故此选项不符合题意； 故选：B. 7.A【解析】本题考查了中点四边形，中位线的性质，特殊四边形的判定，根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定定理逐项分析判断，即可求解． ∵点E, F, G, H分别为四边形ABCD的边AB, BC, CD, DA的中点， 、FG、GH分别为、 的中位线，   ,    BD,     , , ∴四边形EFGH为平行四边形， 当时， , 则平行四边形EFGH为菱形， 当时， , 则平行四边形EFGH是矩形， 若四边形A BCD是矩形，则四边形EFGH是菱形，不一定是正方形， 故不正确的选项是A 故选：A 8. C 【解析】如图，连接OB, 为等边三角形， , A , . , . , , 由勾股定理得： . 四边形- 故选：C. 9.D 【解析】本题考查了条形统计图及折线统计图，解题的关键是正确的从这两种图象中整理出有关的信息，根据条形统计图和折线统计图逐一判断即可． 超市第四周销售总额为： (万元), 故①结论正确； 由题意可知，第四周零食类销售额为： (万元), 第三周零食类销售额为： (万元), 第四周零食类销售额比第三周增加了，故②结论错误； 由题意可知，第二周零食类销售额为： (万元), 第五周零食类销售额为： (万元), 第二周和第五周零食类销售总额不同，故③结论错误； 由题意可知，第四周零食类销售额为： (万元), 第三周零食类销售额为： (万元), 所以第四周零食类销售额比第三周的零食类销售额增加了 , 故④结论错误； 由题意可知，第四周零食类销售额为： , 第五周零食类销售额为： (万元), 所以第五周的零食类销售额比第四周的零食类销售额增加了，故⑤结论正确； 所以判断中正确的是①⑤故选：D. 10. C 【解析】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． ∵图(1)中正方形A BCD的对角线BD的长为10cm , 如图(2), 连接AC, 交BD于O, , 四边形A BCD为菱形， , , . , 故选：C. 【解题思路】在图（1）中先利用正方形的性质求出；在图（2）中，连接交于O，证明四边形是菱形，则，求出，进一步求出，则． 11. x = ±1【解析】|x| = 1 ⇒ x = ±1 12. 6【解析】内角120° ⇒ 外角60° ⇒ 边数 = 360/60 = 6 13.  .【解析】小雅抽数字大于小明所抽数字的情况有：2, 1; 5, 1; 5, 2; 8, 1; 8, 4, 共5种可能， 总共有9种可能， 故. 故答案为： . 14. 14【解析】本题考查完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．, , , , ; 故答案为：14. 15.   【解析】本题考查了图形中数字的规律，发现规律是为底数，以图形序号数减去1为指数的幂是解题的关键． 根据题意，得第一个正方形的边长为 ; 第二个正方形的边长为; 第三个正方形的边长为; 第四个正方形的边长为 ; 由此得到第n个正方形的边长为 ; 故第2025个正方形的边长为  16. 10.【解析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，用待定系数法求函数的解析式，等知识，综合性较强，难度适中． 如图，过点A、点B分别作y轴的垂线，垂足分别为M, N , 则 的面积恰好被y轴平分，即 , , , , ,  , , , , :   , , 故答案为：10. 17. 【解析】 18. , 提供的题目算不出 , 19. 【解析】(1)如图，点M即为所求(答案不唯一)。 (2)如图，点N即为所求(答案不唯一)。 20.(1) , , . (2)七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前； （3）该年级约有160人的分数不低于95分。 【解析】本题考查了中位数的定义、众数的定义、样本估计总体；(1)∵七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数， , 八年级学生的成绩从低到高排列，第10, 11名学生的成绩为90分，92分， (分), 八年级成绩的95分出现了3次，次数最多， , 答： , , . (2)甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前，理由如下： ∵八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分， 分大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数， ∴七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前； (3)因为样本中七年级不低于95分的有8人， 所以(人), 故该年级约有160人的分数不低于95分。 【知识归纳】掌握估算方法，理解相关定义“一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数；将这组数据按从小到大的顺序排列，当数据的个数是奇数时，中间的数为中位数，当数据的个数是偶数时，中间两个数的平均数为中位数．” 21. (1)证明：连接BD, C D, 如图， 平分, 于E,  交AC 的延长线于F, . , 在和中， ( . , , 是BC中点， ; (2)由(1)知：  在和 中，  , , , , , . 22.(1)甲种货车一次原装8吨水泥，乙种货车一次能装10吨水泥 (2) (3)租用甲货5辆，租用乙货车4辆时，费用最少，为3850元 【解析】（1）解：设甲种货车一次原装吨水泥，乙种货车一次能装吨水泥，由题意得， ，解得， ∴设甲种货车一次原装8吨水泥，乙种货车一次能装10吨水泥． （2）解：∵甲种货车有辆，∴乙种货年有辆． （3）解：， ， ，， 随的增大而增大， ∴当时， 有 （元） ∴租用甲出租车5辆，租用乙货车4辆时，费用最少，为3850元． 【解题思路】此题主要考查方程组与函数的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列出方程与函数求解．（1）设甲种货车一次原装吨水泥，乙种货车一次能装吨水泥，依题意列出二元一次方程组，故可求解； （2）根据甲种货车有辆，则乙种货年有辆，即可列出函数关系； （3）先根据题意求出a的取值，再根据一次函数的性质即可求解． 23. 本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的外角，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握切线垂直于过切点的半径，是解题的关键． (1)①证明：连接OD, 如图， 为圆的切线， . , , 为圆的直径， , , . , , ②由(1)①知：  由(1)①知： 。 , , , , , , , , . . ∴车轮⊙O的半径长为 . (2)连接OD, 过点C作于点H, 如图， 由(1)②知：图1中， . , , . , ∴当板车后尾端点E着地时，CE的长度不变，圆的半径不变， , , 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的外角，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握切线垂直于过切点的半径，是解题的关键． 24. (1)四边形EFGH是平行四边形。 理由：∵四边形MNPQ是矩形， . , , , . ∴, , ∴四边形EFGH是平行四边形。 (2)作图如下： 在图2中， ， ∴四边形EFGH的周长为 在图3中，  ∴四边形EFGH的周长为 (3) 矩形A BCD的"内嵌四边形"的周长是定值； 证法一：延长GH交CB的延长线于点N. , , 而  ∴, , , 同理： , , ，。 。 过点G作于K, 则 , . ∴四边形EFGH的周长为 证法二： , , 而 ∴ , , , 而, 同理：  ∴四边形EFGH是平行四边形。 . 而, ∵ 过点G作于K, 则 b . ∴四边形EFGH的周长为 25. (解析)(1)把A(1, 0), 点B(4, 0)代入得：    解得  ∴抛物线的解析式为; (2)过A作于K, 过G作于H, 如图： 设, , C(0, 4), , 直线BC解析式为 , 是等腰直角三角形， ∴ , , , ∴四边形AKEG是矩形， , , , , 是等腰直角三角形， , , ∴当时， 取最大值3, 此时; 面积的最大值为3, 此时点P的坐标为; (3)在抛物线上存在点Q, 使得, 理由如下： 当 (3)在抛物线上存在点Q, 使得, 理由如下： 当M在B上方时，如图： ∵, , 设, , C(0, 4), 解得, , 由, 得直线PQ解析式为, , 联立  解得  （舍去）     , 当M'在B下方时，如上图， ∵, 设 解得(舍去)或, , 由   得直线PQ'解析式为 , 联立联立  解得 （舍去）     . ; 综上所述，Q是坐标为(10, 54)或  学科网（北京）股份有限公司 $$