第22章 二次函数 章末检测 —2025-2026学年人教版九年级上册数学

第22章 二次函数章末检测（提升题） 一、单选题 1．下列函数中是二次函数的是(   ) A． B． C． D． 2．抛物线 y＝2（x＋3）2－5 的顶点坐标是（　　） A．(3，5) B．(－3，5) C．(3，－5) D．(－3，－5) 3．二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的对称轴是（　　） A．x=1 B．x=﹣1 C．x=3 D．x=﹣3 4．将二次函数y＝x2﹣14x+13化为y＝(x﹣h)2+k的形式，结果为（　　） A．y＝(x+7)2+49 B．y＝(x+7)2﹣36 C．y＝(x﹣7)2+49 D．y＝(x﹣7)2﹣36 5．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．无法确定 6．由抛物线平移而得到抛物线，下列平移正确的是（　　） A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 7．已知函数图象如图所示，则关于x的方程根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根 8．已知函数（是常数，），下列结论正确的是（    ）． A．当时，函数图象经过点 B．当时，函数图象与轴有两个交点 C．若，函数图象顶点始终在轴的下方 D．若，当时，随的增大而减小 9．某超市将进货单价为l8元的商品按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每件提价1元，日销售就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？（　　） A．22元 B．24元 C．26元 D．28元 10．直线y=ax+c与抛物线y=ax2+c的图象画在同一个直角坐标系中，可能是下面的（ ） A．B．C． D． 11．已知二次函数y＝（x﹣m）2+2m（m为常数），在自变量x的值满足1x3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为4，则m的值为（　　） A．2 B．2或 C．2或﹣ D．2或或﹣ 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线x=1，有下列四个判断： ①关于x的一元二次方程的两个根分别是； ②； ③若抛物线上有三个点分别为（﹣2，y1）、（1，y2）、（2，y3），则y1＜y2＜y3； ④当OC=3时，点P为抛物线对称轴上的一个动点，则△PCA的周长的最小值是， 上述四个判断中正确的 有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 13．抛物线开口方向是 ． 14．若是二次函数，则m的值是 ． 15．抛物线与轴交点坐标为 ． 16．已知二次函数，若，则y的取值范围是 ． 17．抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为是 ． 18．已知实数x、y满足x2﹣2x+4y=5，则x+2y的最大值为 ． 三、解答题 19．抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），试确定抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴的交点坐标． 20．用配方法把二次函数化为的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 21．已知抛物线的顶点是直线与的交点，且抛物线经过直线与轴的交点． （1）求点的坐标； （2）求抛物线的函数表达式； （3）写出当时的取值范围． 22．小明进行实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，实心球从y轴上的点A处出手，运动路径可看作抛物线，在点B处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示． (1)根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式． (2)若实心球投掷距离（实心球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于9.6m，成绩为满分，请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到满分． 23．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式． （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与y轴的交于点A（0，3），与x轴的交于点B和C，点B的横坐标为2．点A关于抛物线对称轴对称的点为点D，在x轴上有一动点E（t，0），过点E作平行于y轴的直线与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在线段AC的下方时，求△APC面积的最大值； (3)当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似．若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 25．如图，抛物线与轴交于点和点．与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第二象限内抛物线上的一点，当点到，距离相等时，求点的坐标； (3)如图2，点在抛物线上，点在直线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 2．D 3．A 4．D 5．C 6．D 7．D 8．D 9．B 10．A 11．C 12．C 13．向下 14．﹣3 15． 16． 17． 18． 19．解：∵抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1）， ∴，解得 ， 抛物线的解析式为y=-x2+4x-3， 令y=0，得-x2+4x-3=0，即 x2-4x+3=0， ∴x1=1，x2=3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）． 20．解：， ∵ 抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是． 21．解：（1）由已知得， 解得， ； （2）在直线中，令，则， ， 设抛物线的解析式为， 代入得，， 解得， 抛物线的表达式为， 即； （3）抛物线与直线的交点为，， 当时的取值范围是或． 22．（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，点A的坐标为， 设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点A， ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）令，即， 解得或（舍去）， ， ， 所以，小明此次试投的成绩能达到满分． 23．解：（1）由题意得：， ∴w与x的函数关系式为：． （2）， ∵﹣2＜0， ∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200． 答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元． （3）当w=150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200=150， 解得x1=25，x2=35． ∵35＞28， ∴x2=35不符合题意，应舍去． 答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元． 24．（1）解：将A（0，3）、B（2，0）代入y=x2+bx+c，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+3． （2）解：当y=0时，有x2﹣2x+3=0， 解得：x1=2，x2=6， ∴点C的坐标为（6，0）． 设直线AC的解析式为y=mx+n（m≠0）， 将A（0，3）、C（6，0）代入y=mx+n，得： ，解得：， ∴直线AC的解析式为y=﹣x+3． 设直线l与直线AC的交点为F， 如图1所示，则点F的坐标为（t，﹣t+3）． ∵点P的坐标为（t，t2﹣2t+3）， ∴PF=﹣t+3﹣（t2﹣2t+3）=﹣t2+t， ∴S△APC=S△APF+S△CPF=OE•PF+CE•PF=OC•PF=×6×（﹣t2+t）=﹣（t﹣3）2+． ∵a=﹣＜0，当t=3时，△APC的面积取最大值，最大值为． （3）假设存在． ∵∠AOB=∠AQP=90°， ∴分△AOB∽△AQP和△AOB∽△PQA两种情况考虑． ∵A（0，3），B（2，0），Q（t，3），P（t，t2﹣2t+3）， ∴AO=3，BO=2，AQ=t，PQ=|t2﹣2t|． ①当△AOB∽△AQP时，有=， 即=， 解得：t1=0（舍去），t2=，t3=， 经检验，t2=、t3=是所列分式方程的解； ②当△AOB∽△PQA时，有=， 即=， 解得：t4=0（舍去），t5=2（舍去），t6=14， 经检验，t6=14是所列分式方程的解． 综上所述：当t＞2时，存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似，此时t的值为或或14． 25．（1）解：将，代入， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：令，则，解得或，且点在正半轴上， ∴， ∴， 在中，， 如图所示，设与轴交于点，过作于点， ∵点到距离相等， ∴点在的角平分线上，则， ∴，则， 在中，，即，解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 联立方程组，解得或， ∴． （3）解：存在点，使四边形为菱形，理由如下， ∵，，设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图所示， 过点交于点，假设四边形为菱形，设， ∴，点与点关于直线对称，即点关于直线对称的点是，根据点关于直线对称点的坐标公式可知， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∴，解得或， ∴（舍）或， ∴点坐标为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$