23.1 图形的旋转 预习讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年人教版数学九年级上册 23.1 图形的旋转 预习讲义 思维导图 学习目标 1. 理解旋转的定义，掌握旋转三要素（中心、方向、角度） 2. 能准确描述旋转过程中的对应点、对应线段和对应角 3. 掌握旋转的三大基本性质并能灵活应用 4. 能够按要求作出简单图形旋转后的图形 5. 认识旋转对称图形及其特征 知识点梳理 1. 旋转的核心概念 · 旋转中心：固定不动的点 · 旋转方向：顺时针或逆时针 · 旋转角度：0°＜θ＜360° · 对应元素：旋转前后的点、线段、角一一对应 2. 旋转的性质定理 · 保形性：旋转前后的图形全等 · 等距性：对应点到旋转中心的距离相等 · 等角性：对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角 3. 旋转作图步骤 (1) 确定三要素 (2) 标记关键点 (3) 作关键点的对应点 (4) 连接对应点 (5) 检查验证 4. 旋转对称图形 · 最小旋转角：能使图形重合的最小角度 · 常见实例：正多边形、风车图案等 · 判定方法：图形能否绕某点旋转一定角度后与自身重合 易错点提醒 1. 概念理解类错误 · 混淆旋转与平移、轴对称 · 忽视旋转方向的判定 · 错误理解旋转角的范围 2. 性质应用类错误 · 误认为对应线段平行 · 忽略全等图形的对应关系 · 错误使用等距性定理 3. 作图实践类错误 · 旋转中心定位不准确 · 角度测量出现偏差 · 关键点选取不完整 · 连接顺序发生错乱 知识点小结 1. 核心要点 · 一个中心：旋转中心是运动基准点 · 两个方向：顺时针与逆时针 · 三大性质：保形性、等距性、等角性 · 四步作图：定要素→找点→旋转→连线 2. 应用要点 · 实际问题先确定旋转要素 · 复杂图形分解关键点处理 · 验证时检查对应关系 · 注意旋转对称图形的识别特征 注：本节内容为几何变换的重要基础，需重点理解旋转的本质特征，通过典型例题掌握作图方法，为后续学习中心对称等内容奠定基础。 巩固练习 一、选择题 1．如图，将长方形绕其顶点B顺时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（　　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，将线段绕原点按顺时针方向旋转，得线段，若点，点，点，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 3．绕点O逆时针旋转后得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．如图，△ABC按顺时针旋转到△ADE的位置，以下关于旋转中心和对应点的说法正确的是（　　） A．点A是旋转中心，点B和点E是对应点 B．点C是旋转中心，点B和点D是对应点 C．点A是旋转中心，点C和点E是对应点 D．点D是旋转中心，点A和点D是对应点 5．如图，该平面图形绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度可能是（　　）． A． B． C． D． 6．下列运动属于旋转的是（　　） A．滚动过程中的篮球的滚动 B．钟摆的摆动 C．一个图形沿某直线对折过程 D．气球升空的运动 二、填空题 7．在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，左脚正确的动作应是以　 　（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着　 　（填“顺时针”或“逆时针”）方向旋转　 　度． 8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，若点 P 是△ABC内一 点，则 PA + PB + PC 的 最小值为　 　. 9．如图，在平直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为．以，为边作矩形，若将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为　 　． 10．如图，将一副三角板重叠放置，其中30°和45°的两个角的顶点重合在一起．若将三角板AOB绕点O旋转，在旋转过程中，当AB∥OC时，∠BOC=　 　 11．如图，正方形的边长为6，以点为圆心，2为半径作．为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接．在点运动的过程中，的最大值是　 　． 三、解答题 12．如图，在正方形ABCD中，M是边CD的中点，那么正方形ABCD绕点M至少旋转　 　度与它本身重合． 13．如图，点 是正方形 的边 上一点，把 顺时针旋转 的位置． （1）旋转中心是点　 　，旋转角度是　 　度： （2）若连结 ，则 是　 　三角形，并证明你的结论． 14．已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点. （1）如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； （2）如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 15．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1； （2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2； （3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标． 16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，1），如果将线段OA绕点O旋转135°，得线段OB，求点B的坐标？ 参考答案 1．A 2．C 3．C 4．C 5．B 6．B 7．脚跟；逆时针； 8． 9． 10．45°或135° 11． 12．360 13．（1）A；90 （2）等腰直角；证明：∵△ADE顺时针旋转到△ABF的位置， ∴AF＝AE，∠FAE＝∠BAD， ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠FAE＝∠BAD＝90° ∴△AEF是等腰直角三角形 14．（1）证明：连接， 由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点 （2）结论：， 理由：在射线上取点H，使得，取的中点G，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 15．（1）解：如图1所示： （2）解：如图2所示： （3）解：找出A的对称点A′（1，﹣1）， 连接BA′，与x轴交点即为P； 如图3所示：点P坐标为（2，0）． 16．解：∵A（1，1）， 由勾股定理得：OA==， 分两种情况： ①线段OA绕点O按逆时针方向旋转135°，则点B在x轴负半轴上， ∴B（﹣，0）； ②线段OA绕点O按顺时针方向旋转135°，则点B在y轴负半轴上， ∴B（0，﹣）； 综上所述：点B的坐标为（﹣，0）或（0，﹣）． 学科网（北京）股份有限公司 $$