22.3 实际问题与二次函数（建立直角坐标系解决问题）　课后作业　2025－2026学年人教版数学九年级上册

22.3 实际问题与二次函数 建立直角坐标系解决问题 课后作业 一、单选题 1．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（   ） A．y＝－(x－)2＋3 B．y＝－3(x+)2+3 C．y＝－12(x-)2＋3 D．y＝－12(x+)2+3 2．如图，某同学在投掷实心球，他所投掷的实心球的高与投掷距离之间的函数关系满足，则该同学掷实心球的成绩是（    ） A． B． C． D． 3．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01（x-20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为（  ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为 y=﹣x2，当水位线在 AB位置时，水面宽 12m，这时水面离桥顶的高度为（    ） A．3m B．m C．4m D．9m 5．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再下降，水面宽度为（    ）．    A． B． C． D． 6．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　） A．4米 B．5米 C．2米 D．7米 7．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为（    ）    A．0.5米 B．米 C．米 D．0.85米 8．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（　　） A． B． C． D． 9．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系，则水流喷出的最大高度为（  ） A． B． C． D． 10．向空中发射一枚炮弹，第秒时的高度为米，且高度与时间的关系为，若此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ） A．第秒 B．第秒 C．第秒 D．第秒 二、填空题 11．一男生推铅球，铅球行进高度y与水平距离x之间的关系是，则铅球推出的距离是 ．此时铅球行进高度是 ． 12．如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段上离中心处5米的地方，桥的高度是 米． 13．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y=-，当水面离桥拱顶的高度OC是4m时，水面的宽度AB为 m．    14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为M，直线与x轴平行，且与抛物线交于点A和点B，如果为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B两点之间部分与线段围成的图形称为该抛物线的准蝶形，顶点M称为碟顶，线段的长称为碟宽．抛物线的碟宽为 ． 15．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米． 16．崇左市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是 米． 三、解答题 17．图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？ 18．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是． (1)喷头离地面的高度是多少？ (2)水流喷出的最大高度是多少？ (3)若不计其他因素，水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？ 19．一座隧道的截面由抛物线和长方形的构成，长方形的长为8米，宽为2米，隧道的最高点P位于AB的中央且距地面6m. (1)建立适当的直角坐标系，求抛物线解析式； (2)如果隧道为单行道，一辆货车高4米，宽3米，能否从隧道内通过，说明理由． 20．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB； (3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 21．图（1）是一座拱桥，图（2）是以左侧桥墩与水面接触点为原点建立的平面直角坐标系下，其抛物线形桥拱的示意图，经测量得水面宽度，拱顶到水面的距离为． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)为迎接新年，管理部门在桥下以为水平距离对称的悬挂了11个长为的灯笼，中间的灯笼正好悬挂在处，为了安全，要求灯笼的最低处到水面的距离不得小于．根据气象局预报，过年期间将会有一定量的降雨，桥下水面会上升，请通过计算说明，现在的悬挂方式是否安全． 22．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）； （1）求二次函数的解析式； （2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由． （3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 2．C 3．C 4．D 5．D 6．B 7．A 8．C 9．D 10．C 11． 10 0 12．15 13．16 14．6 15． 16．4 17．解：建立平面直角坐标系.设二次函数的解析式为(a≠0). ∵图象经过点（2，-2）， ∴-2=4a， 解得：. ∴. 当y=-3时，. 答：当水面高度下降1米时，水面宽度为米. 18．（1）解：根据题意得，，当时，， ∴喷头离地面的高度是米． （2）解：， ∴二次函数的顶点坐标是， ∴水流喷出的最大高度是米． （3）解：原二次函数变形得，，即，解方程得，，， ∵， ∴，即当米时，水流不落在池外． 19．解：(1)由题意可知抛物线的顶点坐标(4，6)， 设抛物线的方程为y＝a(x﹣4)2+6， 又∵点A(0，2)在抛物线上， ∴2=a(0-4)2+6， ∴a=- 因此有：y=-(x﹣4)2+6． (2)令y＝4，则有4=-(x﹣4)2+6， 解得x1＝4+2，x2＝4﹣2， |x1﹣x2|＝4>3， 故货车可以通过． 20．（1）解：设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2＋10． 把（0，0）代入，得400a＋10＝0，解得a＝﹣． ∴y＝﹣（x﹣20）2＋10．即y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）． （2）解：把x＝30代入y＝﹣x2＋x，得y＝﹣×900＋30＝7.5． ∵7.5＞3＋3，∴石块能飞越防御墙AB． （3）解：设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0）． 把（30，3）代入，得3＝30k， ∴k＝． 故直线OA的解析式为y＝x． 设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为（t，﹣t2＋t）． 过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t）． ∴PQ＝﹣t2＋t﹣t＝﹣t2＋t＝﹣（t﹣18）2＋8.1． ∴当t＝18时，PQ取最大值，最大值为8.1． 答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是8.1米． 21．（1）解：根据题意得：顶点的坐标为， 令抛物线的表达式为：， 将点代入得：， 解得：， （2）解：由题意得：最右侧灯笼悬挂点到点的水平距离为：， 所以它的横坐标为， 当时，． 因为， 所以现在的悬挂方式是安全的． 22．解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0）， 设二次函数的解析式为：y=a， 把C（0，2）代入得：2=a， a=-1， ∴y==-x2-x+2， ∴二次函数的解析式为：y=-x2-x+2； （2）如图1，过N作ND∥y轴，交AC于D，设N（n，-n2-n+2）， 设直线AC的解析式为：y=kx+b， 把A（-2，0）、C（0，2）代入得：， 解得： ， ∴直线AC的解析式为：y=x+2， ∴D（n，n+2）， ∴ND=（-n2-n+2）-（n+2）=-n2-2n， ∴S△ANC=×2×[-n2-2n]=-n2-2n=-（n+1）2+1， ∴当n=-1时，△ANC的面积有最大值为1，此时N（-1，2）， （3）存在，分三种情况： ①如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）； ②如图2，由勾股定理得：BC=， 以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM3=， 此时，M2（1-，0），M3（1+，0）； ③如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4， 设OM4=x，则CM4=BM4=x+1， 由勾股定理得：22+x2=（1+x）2， 解得：x=， ∵M4在x轴的负半轴上， ∴M4（，0）， 综上所述，当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，M的坐标为（-1，0）或（1±，0）或（，0）； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$