1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语 1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 1.全称量词：所有的、任意的、任给、每个. 全称量词命题：含有全称量词的命题. 存在量词命题：含有存在量词的命题. 2.存在量词：存在(一个)、至少有一个、有些. 说明： (1)大多数定理、公式、定义都是全称量词命题. (2)全称(存在)量词命题含有全称量词，有些全称(存在)量词命题中的全称(存在)量词是省略的，理解时需要把它补充出来. 温故知新 【总结】量词命题真假判断 (1)要判断存在量词命题是真命题, 只需要找出一个满足条件；如果找不到, 则这个命题是假命题. (2)要判断全称量词命题是真命题, 需要推导证明; 要判断全称量词命题是假命题, 只需举出一个反例即可. 温故知新 1.对一个命题进行否定，得到的新命题称为原命题的否定. 一个命题和它的否定只能一真一假，不能同真同假. 原命题 命题的否定 56是7的倍数 56不是7的倍数 我段考一数学能考130分以上 我段考一数学不能考130分以上 所有的平行四边形都是矩形 所有的平行四边形都不是矩形 并非所有的平行四边形都是矩形 有的平行四边形不是矩形 假 真 假 真 假 真 假 真 新知一：全称量词命题与存在量词命题的否定 [探究1]写出下列命题的否定，并分析它们与原命题在形式上有什么变化？ (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3). (4)存在一个实数的绝对值是正数； (5)有些平行四边形是菱形； (6). 并非所有的矩形都是平行四边形 并非每一个素数都是奇数 并非所有的∀x∈R, x+|x| ≥ 0 存在一个矩形不是平行四边形 存在一个素数不是奇数 ∃x∈R, x+|x| < 0 不存在一个实数，它的绝对值是正数 所有实数的绝对值都不是正数 没有一个平行四边形是菱形 每一个平行四边形都不是菱形 不存在x∈R, x2-2x+3=0 ∀x∈R, x2-2x+3≠0 量词被否定，结论被否定 探究：量词命题的否定 ②否定量词和结论p(x). 命题 命题的否定 全称量词命题 存在量词命题 一真一假 2.量词命题的否定 ③全称量词命题的否定是存在量词命题， 存在量词命题的否定是全称量词命题. 探究：量词命题的否定 [例1]写出下列全称量词命题的否定: (1)所有能被3整除的整数都是奇数; (2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； (3)对任意x∈Z,x2的个位数字不等于3； (4)∃x∈R,x+2≤0; (5)有的三角形是等边三角形; (6)有一个偶数是素数. 存在能被3乘除的整数不是奇数. 存在一个四边形的四个顶点不在同一个圆上. 真 对角互补的四边形的四个顶点共圆. 所有的三角形都不是等边三角形 所有的偶数都不是素数 考点一：量词命题的否定 (2)否定结论：把全称量词命题的结论否定. (1)更换量词：把全称量词变成存在量词，把存在量词变成全称量词； 方法总结：否定量词命题的步骤 注意：量词命题否定时，条件是不否定的. 总结 词语 词语的否定 等于 不等于 大于 不大于(即小于或等于) 小于 不小于(即大于或等于) 是 不是 都是 不都是(注意和都不是区别开来) 至多一个 至少两个 至少一个 一个也没有 任意 某个 所有的 某些 常见词语的否定： 总结 [练习1]写出下列命题的否定，并判定其真假． (1)p：∀x∈N*，2x>0. (2)∀n∈Z，n∈Q； (3)每个平行四边形都是中心对称图形． (4)∀x∈R，|x|＋1－x≠0； (5)∃a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点； (6)有些实数的绝对值是正数； (7)被8整除的数能被4整除; (8)末位数字是0或5的整数都能被5整除. ∃x∈N*，2x≤0. 假命题 ∃n∈Z，n ∉Q 存在一个平行四边形不是中心对称图形． ∃x∈R，|x|＋1－x＝0，假命题 ∀a∈R，一次函数y＝x＋a的图象不经过原点，假命题 所有实数的绝对值都不是正数，假命题 存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题 存在末位数字是0或5的整数不能被5整除 考点一：量词命题的否定 [练习2]对于某次考试, 命题p: 所有学生都会做第1题, 那么命题p的否定是(　　) A．所有学生都不会做第1题 B．存在一个学生不会做第1题 C．存在一个学生会做第1题 D．至少有一个学生会做第1题 √ 解：根据全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题p：所有学生都会做第1题的否定是存在一个学生不会做第1题．故选B. 练习3：关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　　) A．¬p：∃x∈R，x2＋1＝0 B．¬p：∀x∈R，x2＋1＝0 C．p是真命题，¬p是假命题 D．p是假命题，¬p是真命题 √ √ 解：命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”．所以p是真命题，¬p是假命题． 考点一：量词命题的否定 [例2](1)已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题,求实数a的取值范围． 考点二：根据命题否定求参数 [例2](2)命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围． 解：因为命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题， 所以此命题的否定“任意x>a，使得2x＋a≥3”是真命题， 因为对任意x>a有2x＋a>3a，所以3a≥3，解得a≥1. 所以实数a的取值范围是{a|a≥1}． 考点二：根据命题否定求参数 法1: 法2: 考点二：根据命题否定求参数 未完待续…… 【解】因为原命题为假命题，所以原命题的否定为真命题， 即命题“∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0”为真命题． 则关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实根． 所以a＝0或即a＝0或a≤1且a≠0，所以a≤1. 所以a的取值范围为{a|a≤1}． $$