1.4.2充要条件 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语 1.4.2 充要条件 如果“若p,则q”为真命题,我们就说由p可以推出q,记作p q. 并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件. 命题真假 “若p,则q”真 推理关系 条件关系 “若p,则q”假 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 (1)“如果p,那么q”为真命题. (2)p是q的充分条件. (3)q是p的必要条件. (4)p的必要条件是q. (5)q的充分条件是p. “p q”的几种不同说法: 举反例是判断命题为假命题的重要方法. 温故知新 数学的每条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 数学的每条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 通俗理解,充分条件是判定其为什么成立, 必要条件是指其能推出什么结论(性质) 温故知新 1.逆命题:将命题“若p,则q”中的条件p和结论q互换,就得到一个新的命题“_”,称这个命题为原命题的逆命题. 若q,则p [例1](1)命题“若x>1,则x>0”的逆命题是_. (2)命题“正三角形都相似”的逆命题是_. 答案:若x>0,则x>1 答案:若三角形相似,则这些三角形是正三角形 原命题:若三角形是正三角形,则这些三角形相似. 逆命题:若三角形相似,则这些三角形是正三角形. 新知一:逆命题 [探究]如果p q,p是q的什么条件?q是p的什么条件? 如果q p, p是q的什么条件?q是p的什么条件? 若p q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. 若q p,则p是q的必要条件,q是p的充分条件. 若既有p q,又有q p,则称p是q的充分必要条件,简称充要条件,记作p q. p是q的充要条件,则q也是p的充要条件), 新知一:逆命题 2.四种条件 条件p 结论q p能否推q q能否推p p与q的关系 x=1 x3=1 p是q的_条件 x>2 x2>4 p是q的_条件 ab=0 a=0 p是q的_条件 |a|>|b| a>b p是q的_条件 充分必要(充要) 充分不必要 必要不充分 既不充分也不必要 (1)充要条件:若既有p q,又有q p,则称p是q的充要条件,记作p q. (2)四种条件 新知二:四种条件 充要条件:若既有p q,又有q p,则称p是q的充要条件,记作p q. (1)p是q的充要条件:即“p成立则q一定成立;p不成立则q一定不成立”. (2)p是q的充要条件,则q也是p的充要条件. 充要 新知二:四种条件 [例1]下列各组命题中,p是q的什么条件? (1)p:四边形是正方形,q:四边形的对角线互相垂直且平分; (2)p:两个三角形相似,q:两个三角形三边成比例; (4)p:x=1是一元二次方程ax +bx+c=0的一个根,q:a+b+c=0(a≠0). (3)p:xy>0,q:x>0,y>0; 新知二:四种条件 [例1]下列各组命题中,p是q的什么条件? (1)p:四边形是正方形,q:四边形的对角线互相垂直且平分; 正方形对角线互相垂直且平分,pq; 对角线互相垂直且平分不一定是正方形qp. 所以p是q的充分不必要条件 (2)p:两个三角形相似,q:两个三角形三边成比例; 相似则三边乘比例,pq;三边成比例一定相似,qp. 所以p是q的充要条件 考点一:条件的判定 (4)p:x或y是有理数,q:xy是有理数. xy>0即x>0,y>0或x<0,y<0,pq, x>0,y>0可以得到xy>0,qp; 所以p是q的必要不充分条件 p是q的既不充分也不必要条件 [例1]下列各组命题中,p是q的什么条件? (3)p:xy>0,q:x>0,y>0; 考点一:条件的判定 [练习1]下列各组命题中,p是q的什么条件? (1)p:三角形为等腰三角形,q:三角形存在两角相等; (2)p:圆O内两条弦相等,q:圆O内两条弦所对的圆周角相等; (3)p:A∩B为空集,q:A与B之一为空集 (4)p:a∈P∩Q,q:a∈P (5)p:a∈P∪Q,q:a∈P 两条弦相等 两条弦所对的圆周角相等或互补 p是q的必要不充分条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 充分不必要条件 必要不充分条件 (6)p:A⊆B,q:A∪B=B p是q的充要条件 考点一:条件的判定 [练习2]“x2+|y-2|=0”是“x(y-2)=0”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:由x2+|y-2|=0,得x=0且y=2,所以x(y-2)=0. 反之,由x(y-2)=0,得x=0或y=2,x2+|y-2|=0不一定成立.故选B. 考点一:条件的判定 p q 考点二:充要条件的证明 充要条件的证明策略 有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,谁是谁的什么条件. 思路一:证明要分两个环节: (1)一证充分性:“条件” “结论” (2)二证必要性:“结论” “条件” 思路二:在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p与q的解集是相同的. 总结 考点二:充要条件的证明 p q 考点二:充要条件的证明 充分 P Q 必要 P(Q) Q P P(Q) 充要 “充小必大”: 充分条件范围小 必要条件范围大 新知三:条件与集合的关系 ①p是q的充分条件: ③p是q的充要条件: ④p是q的充分不必要条件: ⑤p是q的必要不充分条件: 已知p: x∈P,q: x∈Q,则p,q对应的集合满足“充小必大” 充分条件范围小 必要条件范围大 ②p是q的必要条件: P Q Q P 小范围是大范围的充分不必要条件, 大范围是小范围的必要不充分条件. 新知三:条件与集合的关系 √ [练习5](多选)下列式子: ①x<1;②0<x<1;③-1<x<1;④-1<x<0. 其中,可以是-1<x<1的一个充分条件的序号为( ) A.① B.② C.③ D.④ 解析:因为-1<x<1,所以②③④是-1<x<1的充分条件. √ √ 考点三:条件与集合的关系 [练习6]“x2<9”的必要不充分条件是_. 析:即_是“x2<9”的必要不充分条件. 析:即_是“-3<x<3”的必要不充分条件. 大 小 A.0<x<3 B.1<x<3 C.﹣3≤x≤3 D.﹣3<x<3 C 考点三:条件与集合的关系 [例4]设p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是_. 0<m≤3 或 考点三:条件与集合的关系 [练习7]已知集合A={x|0≤x≤4},集合B={x|1-a≤x≤1+a}(a>0),是否存在实数a,使得x∈A是x∈B成立的充分不必要条件? 考点三:条件与集合的关系 未完待续…… 解:由已知,A是B的真子集, 所以或解得a≥3, 所以存在a,a的取值集合M={a|a≥3}. $$