1.4.1充分条件与必要条件课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语 1.4.1 充分条件与必要条件 1.命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. (1)分类：判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题. (2)结构形式：“若p，则q”，“如果p，那么q”. 其中p称为命题的条件, q称为命题的结论. 新知一：命题 （假） （假） （真） （假） 有些语句中含有变量，在不给定变量的值之前，我们无法确定这语句的真假，这样的语句叫开语句. 不是命题 a=2是偶数 (1)若x,y是无理数，则x + y是无理数. (2)若x+y是有理数，则x, y都是有理数 . (3)3 ≥3． (4)若整数a是质数，则a是奇数. (6)3能被2整除吗？ (7)x >15. (5)求证 是无理数. [例1]判断下列是否为命题，判定命题的真假： 注：开语句、疑问句、祈使句都不是命题. (8)直角的补角是直角 (9)同旁内角互补 （真） （假） 考点一：命题的判定 (1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形. (2)周长相等的两个三角形全等. [例2]将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假： (3)平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行. 若平面内的两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线互相平行. 若平行四边形的对角线互相垂直,则这个平行四边形是菱形. （真） 若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等. （假） （真） 考点一：命题的判定 2.充分条件与必要条件 如果“若p,则q”为真命题，我们就说由p可以推出q，记作p⇒q. 并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件. 命题真假 “若p，则q”真 推理关系 条件关系 例子 若x=2，则x2=4.(真) 若两个三角形周长相等， 则这两个三角形全等.(假) “若p，则q”假 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 新知二：充分条件与必要条件 2.充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”真 推理关系 条件关系 例子 若x=2，则x2=4.(真) 若两个三角形周长相等， 则这两个三角形全等.(假) “若p，则q”假 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 (1)“如果p,那么q”为真命题. (2)p是q的充分条件. (3)q是p的必要条件. (4)p的必要条件是q. (5)q的充分条件是p. “p⇒q”的几种不同说法： 新知二：充分条件与必要条件 [例3]下列“若p则q”形式的命题，哪些命题中的p是q的充分条件？ （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形; （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似; （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）若x2=1.则x=1; （5）若a=b.则ac=bc; （6）若x，y为无理数，则xy为无理数. ▲p⇒q：p是q的充分条件，q是p的必要条件 考点二：充分条件与必要条件的判定 [例3]下列“若p,则q”形式的命题，哪些命题中的p是q的充分条件？ （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形; （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似; （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； 这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q 所以p是q的充分条件. 这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q所以p是q的充分条件. 这是一条菱形的性质定理，p⇒q 所以p是q的充分条件. ▲p⇒q：p是q的充分条件，q是p的必要条件 考点二：充分条件与必要条件的判定 [例3]下列“若p,则q”形式的命题，哪些命题中的p是q的充分条件？ （4）若x2=1.则x=1; （5）若a=b.则ac=bc; （6）若x，y为无理数，则xy为无理数。 由等式的性质知，p⇒q所以p是q的充分条件. x=，y=为无理数，但 为有理数，p⇒q ，所以p不是q 的充分条件. 由于x2=1,则x=±1，p⇏q所以p不是q的充分条件. ▲p⇒q：p是q的充分条件，q是p的必要条件 考点二：充分条件与必要条件的判定 [思考1]p:“四边形是平行四边形”; q:“四边形的两组对角分别相等”. (1)p是q的一个充分条件，这样的充分条件唯一吗？ ①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形； ②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形； ③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形； 充分性：条件p是充足的,足以保证结论q成立的,有p就有q, 但不意味着只有条件p可推出结论q,即条件不是唯一的. 数学的每条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 不唯一 探究：充分条件与判定定理 [思考1]p:“四边形是平行四边形”; q:“四边形的两组对角分别相等”. (2)q是p的一个必要条件，这样的必要条件唯一吗？ 不唯一 必要性：必要就是必须的,必不可少的,但不是唯一的. 条件p可推出结论q，不意味着条件p只能推出结论q， q是p的一个必要条件 p⇒q 原问题转化成：p是否只能推出q？ 数学的每条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 探究：必要条件与性质定理 数学的每条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 数学的每条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 通俗理解，充分条件是判定其为什么成立， 必要条件是指其能推出什么结论(性质) [练习1]如图,直线a与b被直线l所截,分别得到了∠1,∠2,∠3和∠4.请根据这些信息,写出几个“a//b”的充分条件和必要条件. 巩固 [练习2]下列“ 若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上,则PA=PB; (2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等,则这两个三角形全等; (3)若两个三角形相似,则这两个三角形的面积比等于周长比的平方. 是 不是 不是 考点二：充分条件与必要条件的判定 [练习3]下列“ 若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若ac＝bc，则a＝b； (2)若xy为无理数，则x，y为无理数； (3)若x是无理数，则x2也是无理数； (4)若直线l与圆O有且仅有一个交点，则l为圆O的切线. 不是 不是 是 是 举反例是判断命题为假命题的重要方法. 考点二：充分条件与必要条件的判定 充分、必要条件的判断方法 (1)定义法：判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，同时考虑反过来，若q成立时，能否推出p成立． (2)集合法：常用集合的包含关系判断，如果条件甲“x∈A”．条件乙“x∈B”．若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 总结 未完待续…… $$