1.1.2集合的表示方法课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.1 集合的概念 1.元素:一般把研究对象统称为元素，元素可为数、点、函数等. 2.集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称集). 常用小写字母a, b, x, y, …表示. 常用大写字母A, B, R, Z, …表示. 3.元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 a是集合A的元素 a___A a属于集合A 不属于 a不是集合A中的元素 a___A a不属于集合A ∈ ∉ 注：符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向． 温故知新 数集 符号 含义 实数集 R 全体实数 自然数集 N 非负整数(含0) 正整数集 N*或N+ 大于0的整数(不含0) 整数集 Z 全体整数(正/负/0) 有理数集 Q 全体有理数(整数/分数) Real number Natural number zhěng 德Zahlen Quotient(商) 4.常用数集及其记法 Rational number 温故知新 (1)能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能判断它属不属于给定集合． (2)任何两个对象都是不同的． (2)互异性：一个给定集合中的元素互不相同, 即集合中的元素不重复出现. (3)无序性：构成集合的元素无先后顺序之分,可任意交换位置. 不能构成集合: 较小的数 接近2的数 视力好的人 {1,2,3,4}={4,2,3,1} 5.元素的特征 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的. 构成两个集合的元素一样，就称两个集合相等. 6.判断对象能否构成集合的两个条件 温故知新 观察： (1)1~10之间的所有偶数； (2)立德中学今年入学的全体高一学生； (3)方程 x2-3x+2=0 的所有实数根 [思考]上述例子都是用自然语言描述的集合，除此之外，你还可以用什么方式表示集合呢？ 探究 1.列举法:把所有元素一一列举出来,并用“,”隔开,用“{}”括起来 如：A={2,4,6,8,10} 适用于元素个数有限或无限但有规律的集合. {1,2,3,…,1000} N={0,1,2,3,…} 注意: ①“{}”表示“所有”的含义，不能省略; ②元素之间用“，”隔开，而不能用“、”； ③书写时不需要考虑元素的顺序． 新知一：集合的表示方法——列举法 【解】方程(x－1)2(x－2)＝0的解为1或2,因此可以用列举法表示为{1，2}． 新知一：集合的表示方法——列举法 用列举法表示集合的三个步骤 (1)求出集合的元素； (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来． 注意:用列举法表示集合，应先明确集合中的元素是什么． 新知一：集合的表示方法——列举法 A＝{1，3，5，15}． B＝{(3,2)}． C＝{(1,4)}． 新知一：集合的表示方法——列举法 [思考](1)你能用自然语言描述集合{0,3,6,9}吗? (2)你能用列举法表示下列集合吗？ ①不等式 x-7<3的实数解集 ②所有的正方形； ③到直线l的距离等于定长d的所有的点； “10以内能被3整除的所有自然数” 满足“x<10”的实数有无数个，无法一一列举. 元素的共同特征 x∈R、x<10 探究 2.描述法：把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为 如：数集{x∈Z | x<10} 点集{(x, y) | y=x+3, x, y∈R} {x|x为三角形},不写为{x|x为所有三角形} 代表元素 共同特征 有时也用冒号或分号代替竖线， 写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)} 新知二：集合的表示方法——描述法 描述法表示集合时的4个关注点 (1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等． (2)说明该集合中元素的共同特征,如方程、不等式、函数式或几何图形等． (3)不能出现未被说明的字母． (4)约定：若从上下文的关系看, x∈R, x∈Z是明确的,则可省略不写. 2.描述法：把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为 新知二：集合的表示方法——描述法 【解】被除数＝商×除数＋余数，此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N}． 【解】{x|2x－3<5}，即{x|x<4}． 【解】{(x，y)|x＞0，y＞0}． 提示：偶数和奇数的共同特征是什么? 偶数集：{x | x=2k,k∈Z} 奇数集：{x | x=2k+1,k∈Z} 有理数:整数+分数 新知二：集合的表示方法——描述法 【解】被除数＝商×除数＋余数，此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N}． 【解】不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}． 【解】第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x＞0，y＞0}． 新知二：集合的表示方法——描述法 描述法表示集合的2个步骤 ▲认清代表元素： A={x|y=x2+4} B={y|y=x2+4} C={(x,y)|y=x2+4} 代表元素 共同特征 新知二：集合的表示方法——描述法 [思考](1)A,B,C三个集合是否表示同一个集合？ 不表示同一个集合 A=｛ x|y=x2+4｝表示的是y=x2+4中自变量的取值范围， ∴A=｛ y=x2+4｝=R B={y|y=x2+4}表示的是y=x2+4中函数值的取值范围， ∴B={y|y=x2+4}=｛x|x≥4｝ C=｛(x,y)|y=x2+4｝表示的是y=x2+4图象上所有点. ▲认清代表元素： A={x|y=x2+4} B={y|y=x2+4} C={(x,y)|y=x2+4} (2)集合{x|x<3}与{t|t<3}是否表示同一个集合？集合{x|y=x2+4}与{y|y=x+3}呢？ {x|y=x2+4}={y|y=x+3} {x|x<3}={t|t<3} =R 新知二：集合的表示方法——描述法 {(x，y)|y＝－2x2＋x}． (1)3和4的所有正的公倍数构成的集合； (3)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合； {x|x＝12n，n∈N*}． (4)二次函数y＝x2 - 4的函数值组成的集合； (6)如图中阴影部分的点(含边界)的集合． 高中求“解集”要写成集合的形式 新知二：集合的表示方法——描述法 集合的表示方法 1.自然语言 如：“小于6的所有正整数” 2.集合语言 ①列举法：{_,_,_,_}，适用于元素有限个或无限个但有规律 ②描述法：{x∈A | P(x)}或{(x,y) | P(x,y)} 偶数集{x∈Z|x=2k,k∈Z} 奇数集{x∈Z|x=2k+1,k∈Z} ▲约定：若从上下文的关系看, x∈R, x∈Z是明确的,则可省略不写. 思考：你能说出列举法和描述法的优缺点吗？ 总结 优点 缺点 列举法 直观、明了 不易看出元素所具有的属性，且有些集合不能用列举法表示 描述法 把集合中元素所具有的性质描述出来，具有抽象性、概括性、普遍性的特点 不易看出集合的具体元素 列举法和描述法的优缺点： 总结 (1)中国古代四大发明； (2)由1,2,3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数; (3){2,4,6,8,10}; (4){x∈N∣3<x<7}; (5)A={x∣(x-1)(x+2)=0}; (6)B={x∈Z∣-3<2x-1<3}. {造纸术、指南针、火药、印刷术} {1,2,3,12,21,23,32,13,31,123,132,213,231,312,321} {x|x=2k,1≤k≤5且k∈Z} 1~10之间的所有偶数 {x|x=2k,k=1,2,3,4,5} {4,5,6} {1,-2} {x∈Z|-1<x<2} ={0,1} 考点：集合表示方法的综合应用 二次项系数不确定时， 考虑为一次or二次方程 考点：集合表示方法的综合应用 考点：集合表示方法的综合应用 集合与方程的综合问题的解题步骤 (1)弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根； (2)当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论； (3)求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性． 总结 考点：集合表示方法的综合应用 考点：集合表示方法的综合应用 考点：集合表示方法的综合应用 [练习6]定义集合A⊙B={(x+y,xy)│x∈A,y∈B}，其中集合 A={1,2}，B={1,2,3}，则A⊙B中元素个数为 . x y x+y xy 1 1 2 1 2 3 2 3 4 3 2 1 3 2 2 4 4 3 5 6 重复出现！ 5 考点：集合表示方法的综合应用 未完待续…… 【解】函数y＝2x－1的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为 (0，－1)，因此可以用列举法表示为. 解：若1∈A，则1是方程ax2＋2x＋1＝0的实数根． 所以a＋2＋1＝0，解得a＝－3， 所以方程为－3x2＋2x＋1＝0， 解得x＝1或x＝－， 所以A＝. 解：当a＝0时，方程ax2＋2x＋1＝0，即2x＋1＝0， 解得x＝－.此时A＝； 当a≠0时，若集合A中有且只有一个元素，则方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根， 所以解得a＝1，此时A＝{－1}． 综上，当a＝0或a＝1时，集合A中有且只有一个元素， 所以a的值组成的集合B＝{0，1}． $$