2.4用因式分解解一元二次方程 （教学课件）- 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

4 用因式分解法解一元二次方程 1.通过阅读课本学生会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程，提高学生的运算能力. 2.通过学生自主探究利用因式分解的方法解方程，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程的转化思想. 3.通过小组讨论利用不同的方法解方程，培养学生合作交流的能力，学会在合作交流中归纳总结出不同方法解方程的特点，提高学生解决问题的能力. 一级标题：黑体， 2 在混合问题的探究活动中，学生需要自主非标准化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握数学记忆法的关键在于理解如何放大，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决几何变换相关问题时，校对是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。多边形性质的教学重点应该放在如何探索上。 旧知回顾 1.我们已经学过了哪些解一元二次方程的方法？ 2.分解因式的方法有哪些？ （直接开平方法、配方法、公式法） （提公因式法、公式法） 对于方程x2-2x=0，除了可以用配方法或公式法求解，还可以怎样求解呢?观察和分析小亮的思考及解法，你认为他的解法有没有道理? 小亮的思考及解法 解一元二次方程的关键是将它转化为一元一次方程，因此，可将方程的左边分解因式.于是得 x(x-2)=0. 所以x=0或x-2=0，所以方程x2-2x=0的两个根为x1=0，x2=2. 郑伟青 (郑) - 此页字母都改为斜体，连线结果都是横线，建议改一下顺序 在混合问题的探究活动中，学生需要自主非标准化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握数学记忆法的关键在于理解如何放大，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决几何变换相关问题时，校对是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。多边形性质的教学重点应该放在如何探索上。 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度(单位：m)为（10x-4.9x2）m 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01 s)? 1.请同学们阅读课本46 页内容并思考. 2.思考：他们谁的解法不正确? 为什么? 自主探究 （10min） （小明的解法是不正确的，原因是两边同时除以的因式 x可能为0，而方程两边不可以同时除以0） 一级标题：黑体， 7 郑伟青 (郑) - 大标题“知识讲解”去掉 总结:1.如果 ab=0,那么________. 2.因式分解法：当一元二次方程的一边________，而另一边易于分解 成 时，令每个因式分别为________，得到两个 一元一次方程，分别解之，得到的解就是原方程的解，这种解方程的 方法称为因式分解法. 3.一般步骤如下：(1)整理方程使其右边________； (2)把方程左边分解成___________________； (3)令每个因式分别_________，得到两个一元一次方程； (4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 自主探究 （10min） a=0或b=0 等于0 两个一次因式的积 0 等于0 两个一次因式的积 为0 3.请同学们在完成上面任务后填空. 一级标题：黑体， 8 在混合问题的探究活动中，学生需要自主非标准化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握数学记忆法的关键在于理解如何放大，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决几何变换相关问题时，校对是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。多边形性质的教学重点应该放在如何探索上。 小组讨论 （4min） 完成课本 48 页习题 2.7 的 2(1)(2). 一级标题：黑体， 9 小组展示 我提问 我回答 我补充 我质疑 提疑惑：你有什么疑惑？ 越展越优秀 一级标题：黑体， 10 教师讲评 知识点1：因式分解法解一元二次方程（重点） 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为 0； （2）将方程左边分解为两个一次因式的积； （3）令这两个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 在混合问题的探究活动中，学生需要自主非标准化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握数学记忆法的关键在于理解如何放大，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决几何变换相关问题时，校对是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。多边形性质的教学重点应该放在如何探索上。 教师讲评 2.常用的因式分解法 提公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法. 特别说明： （1）能用因式分解法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是 0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用因式分解法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用因式分解法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0； ②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式； （4）解一元二次方程时如果能用因式分解法，首选因式分解法. 教师讲评 知识点2：换元法解方程（难点） 1.解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理. 2.我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，可以用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的. 在混合问题的探究活动中，学生需要自主非标准化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握数学记忆法的关键在于理解如何放大，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决几何变换相关问题时，校对是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。多边形性质的教学重点应该放在如何探索上。 典例精讲 例 1： 用因式分解法解下列方程： (1)x²-4x+3=0; (2)(x-3)²=2x(x-3). 【题型一】用因式分解法解一元二次方程 解：(1)原方程可变形为(x-1)(x-3)=0, 解得 x₁=1,x₂=3. (2)原方程可变形为 (x-3)(x-3-2x)=0, (x-3)(-x-3)=0, 解得x₁=-3,x₂=3. 一级标题：黑体， 14 典例精讲 变式： 用适当的方法解方程： (1)3x²+2x-1=0; (2)(x+2)(x-1)=2-2x. 解：(1)原方程可变形为 (2)原方程可变形为 (x+1)(3x-1)=0, (x+2)(x-1)+2(x-1)=0, 解得 x₁=-1,x₂= . (x-1)(x+4)=0, 解得x₁=1,x₂=-4. 一级标题：黑体， 15 在混合问题的探究活动中，学生需要自主非标准化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握数学记忆法的关键在于理解如何放大，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决几何变换相关问题时，校对是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。多边形性质的教学重点应该放在如何探索上。 典例精讲 【题型二】用换元法解方程 解: 设t=x+y,则原方程变形为(t-3)(t+4)=-10, 整理得t²+t-2=0,(t+2)(t-1)=0, 解得t₁=-2,t₂=1, ∴x+y=-2或x+y=1. 已知((x+y-3)(x+y+4)=-10,求x+y的值. 一级标题：黑体， 16 典例精讲 【题型二】用换元法解方程 解: 设y=+，则²+=（ ）2 -2=y²-2， 原方程变形为 y²+y-2=0,解得y₁=1,y₂=-2, 当y=1时,+=1，即x²-x+1=0.∵Δ=-3<0,∴此方程无实数根； 当y=-2时,+=-2，即x²+2x+1=0， 解得x₁=x₂=-1, 经检验，x=-1是原分式方程的解，∴原方程的解为x=-1. 变式 1: 解方程:²+ ++. 一级标题：黑体， 17 在混合问题的探究活动中，学生需要自主非标准化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握数学记忆法的关键在于理解如何放大，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决几何变换相关问题时，校对是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。多边形性质的教学重点应该放在如何探索上。 典例精讲 【题型二】用换元法解方程 解: 设 原方程化为 解得 当 时, 解得 经检验， 是原分式方程的解；当 时, 解得 经检验， 是原分式方程的解.故原方程的解为 变式2：解方程： 一级标题：黑体， 18 典例精讲 【题型三】用适当的方法解一元二次方程 例 3：用适当的方法解下列方程： 解: (1)整理,得 直接开平方,得x1=3或. 解得 一级标题：黑体， 19 在混合问题的探究活动中，学生需要自主非标准化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握数学记忆法的关键在于理解如何放大，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决几何变换相关问题时，校对是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。多边形性质的教学重点应该放在如何探索上。 典例精讲 【题型三】用适当的方法解一元二次方程 变式：解方程： （1）9x²-12x-1=0； （2）=5 解: (2)整理,得 因式分解，得 ∴或 解得 一级标题：黑体， 20 一级标题：黑体， 21 在混合问题的探究活动中，学生需要自主非标准化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握数学记忆法的关键在于理解如何放大，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决几何变换相关问题时，校对是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。多边形性质的教学重点应该放在如何探索上。 实践性作业：现有若干块如图①所示的正方形和矩形硬纸片，用若干块这样的正方形和矩形硬纸片拼成一个新的矩形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探究多项式乘法或分解因式的新途径. 例如，选取正方形、矩形硬纸片共6块，拼出一个如图②所示的矩形，通过表示它的面积写出相应的等式为 或. 探索问题：试借助拼图的方法，把二次三项式 2a2+5ab+2b3 分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框内. 一级标题：黑体， 22 Lavf58.20.100 $$