5.5.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式 基础过关练 考点一　利用二倍角的三角函数公式解决给角求值问题 1.sin2-sin2=(　　) A.　　B.　　C.-　　D.- 2.(多选题)下列等式成立的是(　　) A.sin 40°+cos 40°=sin 70° B.=-1 C.coscoscos=- D.tan 255°=2+ 3.若a=,b=cos2-sin2,c=,则(　　) A.a<b<c　　B.a<c<b　　C.c<a<b　　D.c<b<a 4.计算:sin 140°×(tan 10°-)=(　　) A.-　　B.-　　C.-1　　D.- 5.求下列各式的值: (1)cos275°+cos215°+cos 75°cos 15°; (2)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°. 考点二　利用二倍角的三角函数公式解决条件求值问题 6.已知tan α=2,则cos 2α=　(　　) A.-　　B.　　C.-　　D. 7.已知角α的终边经过点P(3,4),则cos=(　　) A.-　　B.　　C.-　　D. 8.(多选题)若α为锐角,且sin2α+sin=-,则(　　) A.sin2α=　　B.sin 2α=　C.cos 2α=±　　D.tan α= 9.已知sin=,则sin=(　　) A.　　B.-　　C.-　　D. 10.已知θ∈,且cos θ-sin θ=-,则等于(　　) A.-　　B.-　　C.　　D. 11.已知cos α=-,α∈. (1)求tan α的值; (2)求sin2+sin 2α的值; (3)求cos的值. 12.已知α,β为锐角,sin α=,tan β=. (1)求tan 2α的值; (2)求α+2β的大小. 考点三　二倍角的三角函数公式的综合运用 13.(多选题)下列命题正确的是(　　) A.p:α是第二或第三象限角,q:cos α<0,则p是q的充分不必要条件 B.若α为第一象限角,则+= C.在△ABC中,若tan A·tan B>1,则△ABC为锐角三角形 D.已知α∈,且cos 2α=,则tan α= 14.(多选题)已知函数f(x)=sin x·,则(　　) A. f(x)是奇函数 B. f(x)的最小正周期为π C. f(x)在上单调递增 D. f(x)的最小值为- 15.已知p:=sin x-cos x,q:角x为第二象限角,则p是q的(　　) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 16.函数f(x)=sin x+sin 2x在区间(0,3π)上的零点个数为(　　) A.4　　B.5　　C.6　　D.7 17.函数f(x)=sin2x+-3cos x的最小值为　　　　.  18.已知函数f(x)=sin 2x+2cos2x. (1)求f(x)的单调递减区间; (2)若-<α<0,且f(α)=,求sin 2α的值. 19.已知斜三角形ABC. (1)证明:tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C; (2)利用(1)中结论求值: ①; ②tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°; (3)若C=135°,求tan A+tan B的最小值. 答案 1.D　sin2-sin2=sin2-sin2=sin2-cos2=-cos =-. 2.CD　对于A,sin 40°+cos 40°=sin(40°+60°)=sin 100°=sin 80°,故A错误; 对于B,===1,故B错误; 对于C,coscoscos=·sincos·coscos=··sincoscos=··sincos=··sin=··=-,故C正确; 对于D,tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°=tan(45°+30°)===2+,故D正确. 3.B　b=cos2-sin2=cos =, c===sin=sin =,a=<<<, 所以a<c<b. 4.C　sin 140°(tan 10°-) =sin 40° = = =-=-=-1. 5.解析　(1)原式=sin215°+cos215°+sin 15°cos 15°=1+sin(2×15°)=1+sin 30°=1+=. (2)原式=sin 10°sin 50°sin 70° =cos 80°cos 40°·cos 20° =··· =·=·=. 6.A　cos 2α=cos2α-sin2α= ===-. 7.A　∵角α的终边经过点P(3,4), ∴cos α==,sin α==, ∴cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-, sin 2α=2sin αcos α=2××=, ∴cos=cos 2αcos -sin 2αsin =-×-×=-. 8.ABD　sin2α+sin=sin2α-cos 2α=sin2α-(1-2sin2α)=3sin2α-1=-,则sin2α=,故A正确; 因为α为锐角,所以sin α>0,cos α>0,所以sin α=,cos α==, 所以sin 2α=2sin αcos α=2××=,故B正确; cos 2α=1-2sin2α=1-2×=,故C错误; tan α===,故D正确. 9.D　∵sin=, ∴sin=sin=cos =1-2sin2=1-2×=. 10.A　∵cos θ-sin θ=-,∴1-sin 2θ=, ∴sin 2θ=-.∵θ∈,∴cos θ+sin θ<0, ∴sin θ+cos θ=-=-=-=-,∴==(cos θ+sin θ)=-. 11.解析　(1)∵cos α=-,α∈,∴sin α=, ∴tan α==-. (2)sin2+sin 2α=+2sin αcos α=-=-. (3)∵cos 2α=cos2α-sin2α=,sin 2α=2sin αcos α=-, ∴cos=cos 2αcos +sin 2αsin =×+×=. 12.解析　(1)因为α∈,sin α=, 所以cos α==, 所以tan α==, 所以tan 2α===. (2)因为tan β=, 所以tan 2β===, 所以tan(α+2β)===1, 因为tan α=<1,且α∈,所以0<α<, 因为tan 2β=<1,且β∈,所以0<2β<, 所以0<α+2β<,所以α+2β=. 13.ACD　对于A,若α是第二或第三象限角, 则cos α<0,即充分性成立; 若cos α<0,不妨取α=π,则cos α=-1<0,此时α不是第二或第三象限角,即必要性不成立, 故p是q的充分不必要条件,故A正确. 对于B,因为α为第一象限角,所以cos α>0,sin α>0,所以+=+=+=,故B错误. 对于C,解法一:在△ABC中,若tan A·tan B>1>0,则A,B是锐角,所以cos A>0,cos B>0, 所以tan A·tan B=>1, 所以sin Asin B>cos Acos B, 所以cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C<0,所以cos C>0,所以C也是锐角, 所以△ABC是锐角三角形,故C正确. 解法二:在△ABC中,若tan A·tan B>1>0,则A,B是锐角,tan A>0,tan B>0, 所以tan(A+B)=<0, 又因为tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C, 所以tan C>0,所以C也是锐角,所以△ABC是锐角三角形,故C正确. 对于D,因为cos 2α=cos2α-sin2α===,所以3-3tan2α=+tan2α, 所以tan2α==, 因为α∈,所以tan α>0,所以tan α=,故D正确. 14.AD　由题意得f(x)=sin x·=sin x·|cos x|. 对于A,∵函数f(x)的定义域为R, f(-x)=sin(-x)·|cos(-x)|=-sin x·|cos x|=-f(x), ∴f(x)是奇函数,故A正确. 对于B,∵f(x+π)=sin(x+π)·|cos(x+π)|=-sin x·|cos x|=-f(x),∴π不是函数f(x)的周期,故B错误. 对于C,当x∈时,cos x≥0, f(x)=sin xcos x=sin 2x,2x∈[0,π], ∴f(x)在上不是单调递增函数或举特例:f(0)=f=0,故C错误. 对于D,易得f(x)=sin x·|cos x|≥-|sin xcos x|=-|sin 2x|, ∵x∈R,∴-|sin 2x|≥-, ∴f(x)的最小值为-,故D正确. 15.B　===|sin x-cos x|, 若角x为第二象限角,则sin x>0,cos x<0, 可得sin x-cos x>0,所以=sin x-cos x, 即必要性成立; 取x=,则sin 2x=0,sin x=1,cos x=0, 满足=sin x-cos x,但不为第二象限角, 故充分性不成立. 综上,p是q的必要不充分条件. 16.B　令f(x)=0,则sin x+sin 2x=sin x+2sin xcos x=sin x(1+2cos x)=0, 故sin x=0或1+2cos x=0, 又x∈(0,3π), 所以x=π或x=2π或x=或x=或x=, 故函数f(x)共有5个零点. 17.答案　-4 解析　f(x)=sin-3cos x=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1=+, ∵-1≤cos x≤1,∴结合二次函数可知当cos x=1时, f(x)min=-4,故函数f(x)的最小值为-4. 18.解析　(1)f(x)=sin 2x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1=sin+1, 令2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z, 所以f(x)的单调递减区间为,k∈Z. (2)由(1)得f(α)=sin+1=, 所以sin=,又-<α<0, 所以0<2α+<, 所以cos==, 所以sin 2α=sin=sin×-cos×=-. 19.解析　(1)证明:在△ABC中,易得C=π-(A+B), ∴tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B), ∴tan C=-, ∴tan C(1-tan Atan B)=-(tan A+tan B), ∴tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C. (2)① ==tan 120°=-. ②tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40° =tan 20°+tan 40°+tan 120°+tan 20°tan 40°+ =tan 20°tan 40°tan 120°+tan 20°tan 40°+ =-tan 20°tan 40°+tan 20°tan 40°+=. (3)∵C=135°,∴0°<A<45°,0°<B<45°,且A+B=45°, ∴tan A>0,tan B>0, ∴tan A+tan B=-tan 135°+tan Atan Btan 135° =1-tan Atan B≥1-, ∴(tan A+tan B)2+4(tan A+tan B)-4≥0, 解得tan A+tan B≥2-2或tan A+tan B≤-2-2,∵tan A>0,tan B>0, ∴tan A+tan B≥2-2,当且仅当tan A=tan B=-1时取等号,∴tan A+tan B的最小值为2-2. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$