第2章 分式 单元测试-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（湘教版2024新教材）

第2章 分式 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．在，，，，中，分式有（   ） A．1个 B．3个 C．2个 D．4个 2．若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．“慈母手中线，游子身上衣”，以前用来缝衣服的针的直径为毫米，毫米=米，那么米用科学记数法表示为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 4．若，，，则a，b，c的大小关系是  （    ） A． B． C． D． 5．把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，则分式的值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．不变 D．缩小为原来的 6．计算的结果等于（   ） A． B． C．2 D． 7．芦笙，为西南地区苗、瑶、侗等民族的簧管乐器．发源于中原，后传入少数民族地区，其前身为汉族的竽．在贵州各地少数民族居住的村寨，素有“芦笙之乡”“歌舞之乡”的称誉，是少数民族特别喜爱的一种乐器之一．已知A型芦笙比B型芦笙的单价低20元，用2700元购买A型芦笙与用4500元购买B型芦笙的数量相同，设B型芦笙的单价为x元，根据题意列出正确的方程是（   ） A． B． C． D． 8．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 9．甲、乙两人同时从A地出发沿同一条路线去B地，若甲用一半的时间以的速度行走，另一半时间以的速度行走；而乙用的速度走了一半的路程，另一半的路程以的速度行走（a，b均大于0，且），则（    ） A．甲先到达 B．乙先到达 B地 C．甲、乙同时到达B地 D．甲、乙谁先到达B地不确定 10．若关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．请写出一个使分式值为0的x值： ． 12．若，，的值为 ． 13．若是分式方程的解，则的值为 ． 14．已知，则的值是 ． 15．已知分式的值是正整数，则整数的值为 ． 16．如果记，并且表示当时y的值，即；表示，当时y的值，即；那么 ． 三、解答题：本题共9小题，共72分． 17．计算：． 18．计算： (1)； (2)； (3)． 19．解分式方程： (1)； (2)． 20．先化简，再求值：，其中． 21．北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统走巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12000公里，走巴拿马运河航线大约20000公里．北极航线路近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航线的速度是走巴拿马运河航线速度的1.2倍．求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？ 22．小明在一本数学课外书上看到这样一道题：已知，求分式的值．该题没有给出，的值，怎样求出分式的值?数学课外书上介绍了两种方法： 方法1：，，，， 原式． 方法2：，将分式的分子、分母同时除以，得 原式 (1)“方法1”中运用了“分式与分式方程”这一章的数学依据是________； (2)请你将“方法2”中剩余的解题过程补充完整． 23．寿阳建设工程指挥部对某工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的招标书、从招标书中得知：甲队单独完成这项工程所需的时间是乙队单独完成这项工程所需时间的3倍，若由甲队先做2个月，剩下的工程由甲、乙两队合作4个月可以完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？ (2)已知甲队每月的施工费用是75万元，乙队每月的施工费用是165万元，工程预算的施工费用为980万元，为缩短工期以减少对交通的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断，并说明理由． 24．【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“”或“”）： ①当时，_______；②若，，________ （2）试比较与的大小，并说明理由； 【拓展运用】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，且，两船同时顺流航行后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，，请通过比较，的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 25．阅读理解 材料1：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； 当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； (2)①当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； ②当为整数时，请求出正整数x的值； (3)当时，求代数式值的范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 分式 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．在，，，，中，分式有（   ） A．1个 B．3个 C．2个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，牢记分式的分母一定含有字母且不是字母是解答本题的关键．根据分式的定义逐一判断即可． 【详解】解：在，，，，中，分式有，，共有个， 故选：C． 2．若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分母不为零列出不等式计算即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：B． 3．“慈母手中线，游子身上衣”，以前用来缝衣服的针的直径为毫米，毫米=米，那么米用科学记数法表示为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，解题关键是掌握用科学记数法表示绝对值较小的数的方法． 根据用科学记数法表示绝对值较小的数的方法求解． 【详解】解：米 =米， 故选：D． 4．若，，，则a，b，c的大小关系是  （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负整数指数幂运算，零指数幂的运算，熟练掌握幂的运算是解决本题的关键． 分别计算a、b、c的值，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ∴． 故选：A ． 5．把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，则分式的值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．不变 D．缩小为原来的 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本概念，熟练掌握分式的基本概念是解决本题的关键． 将分式中x和y都扩大为原来的2倍后化简比较即可求解． 【详解】解：∵把分式中的x和y都扩大为原来的2倍， ∴分式变为， ∴分式的值不变． 故选：C ． 6．计算的结果等于（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查通分母的分式加法．先整理，再根据同分母的分式加法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 7．芦笙，为西南地区苗、瑶、侗等民族的簧管乐器．发源于中原，后传入少数民族地区，其前身为汉族的竽．在贵州各地少数民族居住的村寨，素有“芦笙之乡”“歌舞之乡”的称誉，是少数民族特别喜爱的一种乐器之一．已知A型芦笙比B型芦笙的单价低20元，用2700元购买A型芦笙与用4500元购买B型芦笙的数量相同，设B型芦笙的单价为x元，根据题意列出正确的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题，抽象出分式方程．设设B型芦笙的单价为x元，则A型芦笙的单价为元，根据用2700元购买A型芦笙与用4500元购买B型芦笙的数量相同，列方程即可． 【详解】解：设B型芦笙的单价为x元，则A型芦笙的单价为元， 根据题意可得． 故选：A． 8．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的增根问题．先将方程两边乘以最简公分母化为整式方程，再将增根代入整式方程求解参数． 【详解】解：， 去分母得：， 即， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9．甲、乙两人同时从A地出发沿同一条路线去B地，若甲用一半的时间以的速度行走，另一半时间以的速度行走；而乙用的速度走了一半的路程，另一半的路程以的速度行走（a，b均大于0，且），则（    ） A．甲先到达 B．乙先到达 B地 C．甲、乙同时到达B地 D．甲、乙谁先到达B地不确定 【答案】A 【分析】本题考查分式的应用．设从A地到B地的路程为s，甲走完全程所用时间为，乙走完全程所用时间为，根据题意，分别表示出甲、乙所用时间的代数式，然后再作比较即可． 【详解】解：设从A地到B地的路程为s，甲走完全程所用时间为，乙走完全程所用时间为， 由题意得，， 解得，， a，b均大于0，且， ， ， 甲先到达， 故选A． 10．若关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0． 分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数及分式方程分母不为0求出a的范围即可． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ， ∵方程的解为负数， ∴， ∴． ∵且， ∴且， ∴且． 故选B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．请写出一个使分式值为0的x值： ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的值为零，分式有意义，根据分式值为0得出分子为0，分母不为0进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵分式值为0 ∴，， 解得， 故答案为：2（答案不唯一）. 12．若，，的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查同底数幂的除法的逆运算，根据同底数幂的除法运算法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：2． 13．若是分式方程的解，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查分式方程的解，关键理解分式方程的解的定义． 将代入分式方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：将代入分式方程可得， ， 解得：， 故答案为：10． 14．已知，则的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，涉及了整式的乘法，负整数指数幂的运算，利用已知，通过平方已知等式，利用完全平方公式展开，将中间项化简后即可求解. 【详解】解：对已知等式两边平方： 展开左边，应用完全平方公式： 移项并合并常数项： 因此，的值为7， 故答案为：7． 15．已知分式的值是正整数，则整数的值为 ． 【答案】或0或1 【分析】本题考查了分式的值为整数问题，将分式化为，根据分式的值是正整数，是整数进行求解即可． 【详解】解： ， 分式的值是正整数，是整数， 或， 解得：或1或0， 故答案为：或0或1． 16．如果记，并且表示当时y的值，即；表示，当时y的值，即；那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的加减运算法则，难度适中，解题的关键是发现规律：，然后利用加法的结合律求解即可．首先利用分式的加减运算法则求得的值，然后利用加法的结合律，即可求得的值． 【详解】解：， ； 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共72分． 17．计算：． 【答案】1 【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂、有理数的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．先化简绝对值、计算零指数幂与负整数指数幂、有理数的乘方，再计算加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 18．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据同分母分式的加法法则计算即可； （）先通分，再根据同分母分式的加法法则计算即可； （）先进行括号内的减法运算，再进行除法运算即可； 本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 19．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以，得，   去括号得， 解得：， 检验：把代入， ∴是原分式方程的解； （2）解： 方程两边同时乘以，得，   解得：， 检验：把代入， ∴是原分式方程的解． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先通分，同时将除法转化为乘法，并对分子和分母进行因式分解，然后约分，再将x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】 ， 当时，原式． 21．北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统走巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12000公里，走巴拿马运河航线大约20000公里．北极航线路近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航线的速度是走巴拿马运河航线速度的1.2倍．求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？ 【答案】公里/天 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走x公里，则集装箱货轮走北极航线每天能走公里，根据走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走公里， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走1000公里． 22．小明在一本数学课外书上看到这样一道题：已知，求分式的值．该题没有给出，的值，怎样求出分式的值?数学课外书上介绍了两种方法： 方法1：，，，， 原式． 方法2：，将分式的分子、分母同时除以，得 原式 (1)“方法1”中运用了“分式与分式方程”这一章的数学依据是________； (2)请你将“方法2”中剩余的解题过程补充完整． 【答案】(1)分式的加减运算法则 (2)见解析 【分析】此题考查分式的基本性质，分式的化简求值， （1）根据分式的基本性质解答； （2）先计算分子和分母中的除法，再代值求出结果． 【详解】（1）解：“方法1”中运用了“分式与分式方程”这一章的数学依据是分式的加减运算法则， 故答案为：分式的加减运算法则． （2）解：原式 ， 原式． 23．寿阳建设工程指挥部对某工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的招标书、从招标书中得知：甲队单独完成这项工程所需的时间是乙队单独完成这项工程所需时间的3倍，若由甲队先做2个月，剩下的工程由甲、乙两队合作4个月可以完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？ (2)已知甲队每月的施工费用是75万元，乙队每月的施工费用是165万元，工程预算的施工费用为980万元，为缩短工期以减少对交通的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断，并说明理由． 【答案】(1)甲队单独完成这项工程需18个月，乙队单独完成这项工程需6个月 (2)工程预算的施工费用不够用，需追加100万元，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需个月，根据甲队先做2个月，剩下的工程由甲、乙两队合作4个月可以完成建立方程求解即可； （2）设甲、乙两个工程队合作需要y个月，根据两人合作完成整个过程建立方程求出合作的时间，进而求出对应的费用即可得到结论． 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需个月， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 此时． 答：甲队单独完成这项工程需18个月，乙队单独完成这项工程需6个月． （2）解：工程预算的施工费用不够用．理由如图： 设甲、乙两个工程队合作需要y个月， 由题意得，， 解得， ∴施工费用为（万元）， ， 工程预算的施工费用不够用， 需追加（万元）． 答：工程预算的施工费用不够用，需追加100万元． 24．【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“”或“”）： ①当时，_______；②若，，________ （2）试比较与的大小，并说明理由； 【拓展运用】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，且，两船同时顺流航行后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，，请通过比较，的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）甲船返航先返回A港 【分析】本题主要考查行程问题，整式的混合运算，分式加减混合运算的综合，理解行程中的数量关系，掌握整式的混合运算的方法，“作差法”的计算与比较方法是解题的关键． （1）根据材料提示，运用“作差法”即可求解； （2）运用“作差法”，乘法公式，不等式的性质，即可求解； （3）根据题意可得甲、乙船顺流速度与路程，分别求出返航时间，再用“作差法”比较即可求解． 【详解】解：（1）①由题意得：由于， 则， ， 故答案为：； ②由于，，则 ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 由题意得： ， 则； （3）甲船返航先返回A港，理由如下： 由题意得：甲船顺流速度为，则甲船顺流的路程为， 乙船顺流速度为，则乙船顺流的路程为， 返航时甲船速度为，则， 返航时乙船速度为，则， ， 由于， ， ， 则甲船返航先返回A港． 25．阅读理解 材料1：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； 当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； (2)①当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； ②当为整数时，请求出正整数x的值； (3)当时，求代数式值的范围． 【答案】(1)减少，减小 (2)①2；②2、3、5 (3) 【分析】本题考查分式的性质. （1）由、的变化情况，判断、的变化情况即可； （2）①由，即可求解； ②由，即可求解； （3）由，再结合的取值范围即可求解. 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大而减小， ∴随着的增大，的值减小； ∵当时，随着的增大减小， ∵ ∴随着的增大，的值减小. 故答案为：减小；减小； （2）解：①∵， ∴当时，的值无限接近， ∴的值无限接近； ②∵为整数，x的值为正整数， ∴为整数，， ∴或2或4， ∴x的值可为2、3、5； （3）解：∵，， ∴， ∴. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$