第1章 因式分解 单元测试-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（湘教版2024新教材）

第1章 因式分解 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（　　）． ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．多项式因式分解的结果是，则的值为（    ） A． B． C．1 D．7 3．把分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 4．下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 6．已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（  ） A． B．2 C．10 D．15 7．长和宽分别为的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（    ） A．2560 B．490 C．80 D．49 8．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值为（   ） A．6 B． C．6或 D．不能确定 9．若为任意整数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 10．设a，b，c为整数，且．则可能值是（　　） A．133 B．1599 C．2916 D．3603 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．分解因式： . 12．分解因式： ． 13．运用简便方法计算： （1） ； （2） ． 14．若，，用含的代数式表示，则 ． 15．若，则 ． 16．代数式的最小值是 ． 三、解答题：本题共9小题，共72分． 17．下列各式因式分解： (1)； (2)． 18．分解因式： (1)； (2)． 19．因式分解： (1)； (2)． 20．用简便方法计算： ． 21．已知，，求下列式子的值． (1)； (2)用两种方法，一种直接计算，一种因式分解相关方法） 22．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______； (2)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 23．如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2所示． (1)通过观察，图1阴影部分的面积是 ，图2中阴影部分的面积是 ，可以得到的乘法公式是 ；（用含a，b的等式表示） (2)应用上述乘法公式解答下列问题： ①计算：； ②若，，求的值． 24．如图，，两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式． (1)若抽中的卡片是． ①求整式； ②当时，求整式的值； (2)若无论取何值，整式的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片． 25．【阅读材料】 可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如： ． 根据以上材料，回答下列问题： (1)因式分解（利用配方法）：； (2)求多项式的最小值； (3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 因式分解 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（　　）． ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，将多项式化为整式的积的形式叫作因式分解．根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：①是乘法运算，则①不是因式分解； ②符合因式分解的定义，则②是因式分解； ③是乘法运算，则③不是因式分解． 综上，是因式分解的有1个． 故选：B． 2．多项式因式分解的结果是，则的值为（    ） A． B． C．1 D．7 【答案】C 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求解参数．通过将给定的因式分解结果展开，与原多项式对比一次项系数即可确定p的值. 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：C． 3．把分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了提公因式进行分解因式，根据的公因式是，则把分解因式，应提取的公因式是，即可作答． 【详解】解：的公因式为， ∴把分解因式，应提取的公因式是． 故选：C． 4．下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的应用，需识别多项式是否符合的结构， 平方差公式为，其结构为两项且符号相反，据此求解即可． 【详解】解：A、为两项平方相加，无法用平方差公式分解，不符合题意． B、为完全平方式，可写为，不符合平方差结构，不符合题意． C、中，是，是，符合结构，分解为，符合题意． D、为完全平方式，可写为，不符合平方差结构，不符合题意． 故选：C． 5．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．两个平方项的符号需相同；另一项是两底数积的2倍，是易错点．能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两平方项底数积的2倍，据此逐项分析即可． 【详解】A中，不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； B中，不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； C中，，符合题意； D中，不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意， 故选：C． 6．已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（  ） A． B．2 C．10 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式相等的条件．设另一个因式为，则，根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 而， 所以， 解得：， ， 故选：C． 7．长和宽分别为的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（    ） A．2560 B．490 C．80 D．49 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解和代数式求值，准确计算、整体代入求值是解题的关键． 根据题意得到，，然后将因式分解整体代入求解即可． 【详解】长方形的长为，宽为 ∴长方形的面积为，周长为， ， ． 故选：C． 8．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值为（   ） A．6 B． C．6或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解运用公式法，解决本题的关键是熟练运用完全平方公式分解因式． 因为能用完全平方公式进行因式分解，所以，据此求出． 【详解】解：因为能用完全平方公式进行因式分解， 所以， 因为， 所以． 故选：C． 9．若为任意整数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】解： ∴的值总能被4整除． 故选：B． 10．设a，b，c为整数，且．则可能值是（　　） A．133 B．1599 C．2916 D．3603 【答案】C 【分析】本题主要考查因式分解的应用，本题将式子 变形，尽量凑出来这三个式子，最后发现结果是一个数的平方，因此可以判断最后的值肯定是一个完全平方数，根据四个选项进行二次根式计算即可． 【详解】解：将 两边同时加上，得到， 同理，将 两边同时加上，可以得到， 将 两边同时加上，可以得到， 因此 ，因此值只能是完全平方数． 观察四个选项，选项A，133不是完全平方数，错误； 选项B，1599不是完全平方数，错误； 选项C，2916是完全平方数，即，正确； 选项D，3603不是完全平方数，错误． 故答案为：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．分解因式： . 【答案】 【分析】本题主要考查公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．根据平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 12．分解因式： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，首先提取公因式m，进而利用完全平方公式分解因式即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 13．运用简便方法计算： （1） ； （2） ． 【答案】 9400 2000 【分析】此题主要考查利用因式分解简化比较复杂的计算，此题分别利用了提取公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）分解因式，通过分解因式可以大大简化计算过程，平时应该多训练这方面的问题． （1）利用平方差公式分解因式即可简化计算，从而求出结果； （2）先提公因式80，然后利用完全平方公式分解因式即可求出结果． 【详解】解：（1） ； （2）      ； 故答案为：9400；2000． 14．若，，用含的代数式表示，则 ． 【答案】 【分析】此题考查因式分解，由已知等式变形得，再变形，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15．若，则 ． 【答案】2026 【分析】根据已知条件，求出，然后把所求代数式中的拆成的形式，然后先把分解因式，然后再整体代入求值即可． 本题主要考查了因式分解的应用，解题关键是利用拆项和分解因式的方法，使所求代数式出现的形式． 【详解】， ， ， 故答案为： 16．代数式的最小值是 ． 【答案】13 【分析】本题考查利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，把原式化为：可求出最小值． 【详解】解：∵ ； ∵， ∴ ∴的最小值为13． 故答案为：13． 三、解答题：本题共9小题，共72分． 17．下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是因式分解； （1）直接提取公因式即可； （2）直接提取公因式即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； 18．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式，熟练掌握十字乘法分解因式是解决本题的关键． （1）直接利用十字乘法分解因式即可； （2）直接利用十字乘法分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 19．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练应用公式是解题关键． （1）直接提公因式即可分解因式； （2）首先提取公因式，进而利用平方差分解因式得出答案； 【详解】（1）解： （2）解： 20．用简便方法计算： ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了因式分解的应用， 先提取公因式，再进行简便计算即可． 【详解】解：原式： ． 21．已知，，求下列式子的值． (1)； (2)用两种方法，一种直接计算，一种因式分解相关方法） 【答案】(1)15 (2)19 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，是解此题的关键． （1）先提公因式分解因式，然后整体代入求值即可； （2）利用完全平方公式及其变形进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：方法一：∵，，， ∴， ∴． 方法二：∵，， ∴ ． 22．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______； (2)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 【答案】(1) (2)式子的值是某一个整数的平方，理由见详解 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是理解并掌握整体思想和换元思想． （1）利用整体思想和完全平方公式进行化简即可； （2）利用乘法的结合律和多项式乘多项式的法则对原式进行整理，再利用整体思想和完全平方公式进行整理即可． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则原式， 再将“”还原，得：原式， 故答案为：； （2）证明：式子的值是某一个整数的平方， 理由如下： ， 令， 则上式， ∵为正整数， ∴是整数， ∴式子的值是某一个整数的平方． 23．如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2所示． (1)通过观察，图1阴影部分的面积是 ，图2中阴影部分的面积是 ，可以得到的乘法公式是 ；（用含a，b的等式表示） (2)应用上述乘法公式解答下列问题： ①计算：； ②若，，求的值． 【答案】(1)；； (2)①；②5 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据几何图形得出平方差公式，并利用平方差公式和完全平方公式进行计算，本题熟练掌握平方差公式是关键． （1）分别根据面积公式进行计算，根据图1的面积图2的面积列式即可； （2）①利用平方差公式和完全平方公式进行计算，即可得到计算结果；②先将化为，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积是， 图2中阴影部分的面积是， 可以得到的乘法公式是； 故答案为：；；； （2）解：① ； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．如图，，两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式． (1)若抽中的卡片是． ①求整式； ②当时，求整式的值； (2)若无论取何值，整式的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片． 【答案】(1)①；②4 (2)抽到的是卡片 【分析】此题考查整式的混合运算和因式分解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）①根据卡片各项改变符号后得出 ，再与整式相加，合并同类项即可； ②把代入整式C计算即可； （2）分抽中的卡片是B和抽中的卡片是A两种情况进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①； ②当时，； （2）由（1）知，若抽中的卡片是，则． ，， 无论取何值，整式的值都是非负数； 若抽中的卡片是，则． ，， 无论取何值，整式的值都是非正数， 抽到的是卡片． 25．【阅读材料】 可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如： ． 根据以上材料，回答下列问题： (1)因式分解（利用配方法）：； (2)求多项式的最小值； (3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)2025 (3)12 【分析】本题主要考查配方法的应用，平方差公式，因式分解； （1）根据题意利用配方法进行因式分解即可； （2）先根据题意将多项式因式分解，再求出最小值即可； （3）先根据题意将多项式因式分解，得到，求出的值，再进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：， 多项式的最小值为2025． （3）解：， ， ， ， ，，， ，，． ∵， ∴，，可以作为三角形的三条边． ， 的周长为12． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$