第2章 分式（基础+中等类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（湘教版2024）

第2章 分式思维导图 【类型覆盖】 类型一、分式与分式方程的定义 【解惑】下列各式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是理解分式的概念，即形如、B是整式，B中含有字母且的式子叫做分式． 根据分式的定义，判断每个选项的分母是否含有字母；分母不含字母的是整式，分母含有字母的是分式，由此对各选项进行分析判断． 【详解】解：分式的定义为：形如、B是整式，B中含有字母且的式子叫做分式． 选项，式子中没有分母含字母的形式，属于整式． 选项，分母是常数，不是字母，属于整式． 选项，分母为其中含有字母a和符合分式的定义，属于分式． 选项，式子中没有分母含字母的形式，属于整式． 故选：C． 【融会贯通】 1．下列各式中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是掌握分式方程的定义，根据分式方程的定义对各选项进行分析即可． 【详解】解：A、 B、 C三个方程中的分母均含有未知数，是分式方程，故A、 B、C均不符合题意； D中的式子是方程但分母中不含未知数，不是分式方程，故本选项符合题意． 故选：D． 2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式的有 （只填序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是紧扣分式定义中“分母含有字母"这一核心特征（注意是常数，不属于字母）． 明确分式定义（分母含字母）；逐个分析式子分母是否含字母（排除等常数）；确定符合分式定义的序号． 【详解】解析：分式的定义是形如（是整式，B中含有字母且）的式子． 分母含字母x，是分式； ②分母是常数（非字母），是整式； ③分母含字母x，是分式； ④是整式的和，是整式； ⑤分母含字母x、y，是分式； ⑥是单项式，是整式． 因此，是分式的有①③⑤． 故答案为：①③⑤． 3．有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）． 【答案】② 【分析】此题主要考查了分式方程的定义，利用分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进而判断即可． 【详解】解：①是一元一次方程， ②是分式方程， ③（为不等于2的常数），是一元一次方程， 故答案为：②． 类型二、分式有、无意义、值为0 【解惑】要使分式有意义，则x的取值应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是解题的关键．分式有意义的条件是分母不为0，由此解答即可． 【详解】解：要使分式有意义， 则的取值应满足，即， 故选：B． 【融会贯通】 1．下列说法错误的是（   ） A．当时，分式无意义 B．当时，分式的值为正数 C．当分式时， D．分式与的最简公分母是 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件及分式为零的条件，最简公分母的求法，解题的关键是掌握分式值为0，及分子为零，计算后需要验证分母有没有意义．利用分式有意义的条件及分式为零的条件，最简公分母的求法依次判断即可． 【详解】解：A．当时，分母为0，分式无意义，正确，不符合题意； B．当时，分母大于0，与分子同号，故分式的值为正数，正确，不符合题意； C．当分式时，即，解得，当时，分母无意义，故错误，符合题意； D．分式与的最简公分母是，正确，不符合题意； 故选：C． 2．若分式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零，根据此解答即可． 【详解】解：若分式有意义， 则， 则． 故答案为：． 3．当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，关键是注意分式的分母不能为零．当且时，此分式的值为0． 【详解】解：根据题意得：且， 解得，． 故答案为： 类型三、零、负指数幂 【解惑】若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查零指数幂，根据零指数幂的定义，任何非零实数的零次方都等于1，因此底数必须不为零． 【详解】由题意，得， 解得， 故选：B． 【融会贯通】 1．若，，，比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，有理数比较大小，零指数幂，负整数指数幂，先根据零指数幂，负整数指数幂和乘方计算法则求出的值，再根据有理数比较大小的方法求解即可． 【详解】解：∵，，，，且， ∴， 故选：C． 2．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了零指数幂和负整数指数幂．根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则计算，再求和即可． 【详解】解：， 故答案为： 3．已知，则 ． 【答案】1或4 【分析】本题考查零指数幂以及有理数的乘方运算．根据，，（为整数），进行分类讨论求解即可． 【详解】解：当时：，此时，满足题意； 当时，即时：，满足题意； 当时：即时，，不满足题意； 综上：当或时，； 故答案为：1或． 类型四、最简分式与最简公分母 【解惑】下列代数式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的定义，掌握最简分式的定义是解题的关键． 根据分子和分母没有公因式的分式叫最简分式，逐项判断即可． 【详解】解：A、不是分式，故此选项不符合题意； B、∵，∴不是最简分式，故此选项不符合题意； C、∵，∴不是最简分式，故此选项不符合题意； D、是最简分式，故此选项符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．分式和的最简公分母为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简公分母，掌握确定最简公分母的方法是解题的关键． 根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此求解即可． 【详解】解：分式和的最简公分母为． 故选：C． 2．分式①；②；③；④中，属于最简分式的有 （填序号）． 【答案】② 【分析】根据最简分式的定义逐个分式进行判断，若能约分，则不是最简分式． 本题考查了最简分式的相关知识，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：①因为，所以①不是最简分式； ②因为分子分母没有公因式，所以②是最简分式； ③因为，所以③不是最简分式； ④因为，所以④不是最简分式． 故答案为：②． 3．分式、的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，掌握最简公分母的定义是解题的关键． 根据最简公分母的定义即可求解． 【详解】解：分式、的最简公分母是， 故答案为：． 类型五、列分式方程 【解惑】某校学生参加非遗体验活动，已知甲手艺人每幅作品比乙手艺人多花4小时，甲手艺人160小时所做作品与乙手艺人120小时所做作品数量相同，若甲手艺人每幅作品需要小时，则根据题意列出方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列分式方程，读懂题意，找准等量关系，是解题的关键．根据甲手艺人160小时所做作品与乙手艺人120小时所做作品数量相同，列出方程即可． 【详解】解：甲手艺人每幅作品比乙手艺人多花4小时，且甲手艺人每幅作品需要小时， 乙手艺人每幅作品需要小时． 根据题意得：． 故选：B． 【融会贯通】 1．中国古代传统文化中的书写工具：纸、笔、墨、砚被称为“文房四宝”．它们既表现了中华民族不同于其他民族的风俗，又为世界文化的进步和发展做出了贡献．为宣扬传统文化，新华中学开设了书法课，并为学生购置新的毛笔．已知市场上A型毛笔的单价比B型毛笔的单价高，且学校购买了两种型号毛笔共500只，A型毛笔共花费4200元，B型毛笔共花费4500元，求B型毛笔的单价是多少元．设B型毛笔的单价是x元，则可列分式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是列出分式方程，设B型毛笔的单价是x元，则A型毛笔的单价为元，根据两种型号毛笔共500只列出分式方程进行求解即可． 【详解】解：设B型毛笔的单价是x元，则A型毛笔的单价为元， 由题意得：， 故选：A． 2．浦模东校七年级全体师生共340人进行社会考察活动．如果租用中客车若干辆，则还有20位学生没有座位坐；如果租用大客车，那么同样多的车辆，就会有60个座位没人坐．已知每辆大客车载客人数比中客车的载客人数多10人，设每辆中客车的载客人数为x人，列出方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设中客车的载客x人，则大客车的载客人，根据等量关系：大客车的数量中客车的数量，列出方程即可． 【详解】解：设中客车的载客x人，则大客车的载客人， 由题意得：， 整理得， 故答案为：． 3．阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某县教育体育局向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是米/分，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，列出方程即可． 【详解】解：设乙同学的速度是米/分，则：甲同学的速度为米/分，由题意，得： 故答案为：． 类型六、通分与约分 【解惑】约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的约分，掌握分式的基本性质是解答本题的关键． （1）分子分母同时除以约分即可； （2）将分子分母因式分解，再约分即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【融会贯通】 1．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的化简，掌握分式的约分成为解题的关键． （1）先对分子、分母分别进行因式分解，然后约分即可； （2）先对分子、分母分别进行因式分解，然后约分即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 2．计算： (1)（约分）： (2)（通分）：与 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）分子为平方差公式，分母提取公因式后，可约去公因式即可解答． （2）分别分析分母的系数和字母部分，找到最小公倍数后合并分子． 本题考查了分式的基本性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2），． 3．通分 (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了通分．解答此题的关键是熟知找公分母的方法：系数取各系数的最小公倍数；凡出现的因式都要取；相同因式的次数取最高次幂． （1）最简公分母是，利用分式的性质变形即可； （2）中分式的分母分别为，，确定最简公分母是，然后利用分式的基本性质变形即可． 【详解】（1）解：∵最简公分母为， ∴，； （2）解：∵最简公分母为， ∴， ． 类型七、分式的加减法运算 【解惑】（1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算及分式的减法运算： （1）利用含乘方的有理数的混合运算法则即可求解； （2）利用分式的减法运算法则即可求解； 熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】（1）按照同分母分式的加减运算法则进行计算即可； （2）先化为同分母分式，再计算即可； （3）先通分化为同分母分式，再计算即可； （4）先通分化为同分母分式，再计算即可； 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3） ． （4） ． 【点睛】本题考查的是分式的加减运算，掌握分式的加减运算的运算法则是解本题的关键． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将分子分母能因式分解的进行因式分解，再通分计算即可； （2）先将分子分母能因式分解的进行因式分解，再通分计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则． 3．计算下列各式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的除法法则进行计算即可； （2）先通分，再把分子相加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查的是分式的除法及分式的加减法，熟知运算法则是解题的关键． 类型八、分式的乘除法运算 【解惑】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的乘方，乘除混合运算； （1）把除法化为乘法运算，再约分即可； （2）先计算乘方，再计算乘除运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘除，熟练掌握分式的乘除运算法则是解答的关键． （1）按照分式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）按照分式乘除运算法则，结合因式分解进行计算即可； （3）先乘方运算，再按照分式乘除混合运算法则进行计算即可； （4）先乘方运算，再按照分式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 2．计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的乘除运算，因式分解的运用，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简． （1）由分式的乘除运算进行化简，即可得到答案； （2）先计算括号内异分母分式减法、再计算分式的除法运算，即可得到答案； （3）先计算括号内异分母分式减法、加法、再计算分式的除法运算，即可得到答案． 【详解】（1）解：原式     ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 3．计算下列各题 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握十字相乘法分解因式、分式乘除的运算法则是解题的关键． （1）先对各分子分母因式分解同时除法运算转化成乘法运算，然后约分即可． （2）先对各分子分母因式分解，然后约分即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 类型九、整数指数幂的混合运算 【解惑】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的运算，整数指数幂的混合运算，熟练掌握同底数幂的运算法则和整数指数幂的运算法则是解题的关键； （1）先计算幂的乘方、积的乘方，再计算同底数幂的乘法； （2）先利用整数指数幂化简，再计算． 【详解】（1）解： ， ； （2） ， ， ， ． 【融会贯通】 1．计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是零指数幂的运算、负整数指数幂的运算、完全平方公式、平方差公式、整式的混合运算，解题关键是熟练掌握相关运算法则． （1）根据零指数幂的运算、负整数指数幂的运算法则即可得解； （2）结合完全平方公式、平方差公式进行整式的混合运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．计算： (1)． (2) 【答案】(1)8 (2)4 【分析】本题考查了整数指数幂的运算法则，平方差公式，掌握相关公式并灵活运用是解题的关键； （1）利用整数指数幂的运算法则，绝对值的意义化简，再进行加减运算； （2）利用平方差公式计算． 【详解】（1）， ， ． （2）， ， ， ． 3．计算： (1) (2) (3) (4)(运用乘法公式) 【答案】(1)2 (2) (3)1 (4) 【分析】本题考查了整式的四则混合运算，负整数指数幂，零指数幂，利用平方差公式计算，解题关键是熟练掌握相关运算公式，以及运算的顺序． （1）先计算有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，再计算加减； （2）利用同底数幂相乘，幂的乘方运算法则计算，再降次排列； （3）先将后面的用平方差公式计算，再作加减； （4）先将式子调整为平方差公式形式，再利用平方差公式展开计算； 【详解】（1） ， ． （2） ， ． （3） ， ， ， ． （4） ， ， ， ． 类型十、解分式方程与化简求值 【解惑】解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】此题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤尤其不要忘记检验是解题的关键． （1）去分母化为整式方程，解整式方程，检验后即可得到答案； （2）去分母化为整式方程，解整式方程，检验后即可得到答案； 【详解】（1）解： 去分母得， 解得， 经检验是分式方程的解． （2）解： 去分母得，， 整理得， 解得， 当时，， 是增根， 原分式方程无解． 【融会贯通】 1．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）根据解分式方程的方法，先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可； （2）根据解分式方程的方法，先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘，得， 解得：， 检验：把代入， 分式方程的解为； （2）解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入， 分式方程的解为． 2．化简求值．先化简，再从0，1，2，中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】，0 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． 本题先将括号里面的式子通分并进行计算，然后将因式分解，然后按照加减运算法则进行计算，然后即可求解． 【详解】解： 原式 ； 当时，； 3．先化简代数式，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式；当时，原式 【分析】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母． 先通分，再按同分母分式计算加减，最后或代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ，，且，a为整数， ，1 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 分式思维导图 【类型覆盖】 类型一、分式与分式方程的定义 【解惑】下列各式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列各式中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式的有 （只填序号） 3．有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）． 类型二、分式有、无意义、值为0 【解惑】要使分式有意义，则x的取值应满足（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列说法错误的是（   ） A．当时，分式无意义 B．当时，分式的值为正数 C．当分式时， D．分式与的最简公分母是 2．若分式有意义，则实数x的取值范围是 ． 3．当 时，分式的值为0． 类型三、零、负指数幂 【解惑】若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若，，，比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．已知，则 ． 类型四、最简分式与最简公分母 【解惑】下列代数式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．分式和的最简公分母为（    ） A． B． C． D． 2．分式①；②；③；④中，属于最简分式的有 （填序号）． 3．分式、的最简公分母是 ． 类型五、列分式方程 【解惑】某校学生参加非遗体验活动，已知甲手艺人每幅作品比乙手艺人多花4小时，甲手艺人160小时所做作品与乙手艺人120小时所做作品数量相同，若甲手艺人每幅作品需要小时，则根据题意列出方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．中国古代传统文化中的书写工具：纸、笔、墨、砚被称为“文房四宝”．它们既表现了中华民族不同于其他民族的风俗，又为世界文化的进步和发展做出了贡献．为宣扬传统文化，新华中学开设了书法课，并为学生购置新的毛笔．已知市场上A型毛笔的单价比B型毛笔的单价高，且学校购买了两种型号毛笔共500只，A型毛笔共花费4200元，B型毛笔共花费4500元，求B型毛笔的单价是多少元．设B型毛笔的单价是x元，则可列分式方程是（   ） A． B． C． D． 2．浦模东校七年级全体师生共340人进行社会考察活动．如果租用中客车若干辆，则还有20位学生没有座位坐；如果租用大客车，那么同样多的车辆，就会有60个座位没人坐．已知每辆大客车载客人数比中客车的载客人数多10人，设每辆中客车的载客人数为x人，列出方程是 ． 3．阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某县教育体育局向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是米/分，根据题意可列方程为 ． 类型六、通分与约分 【解惑】约分： (1)； (2)． 【融会贯通】 1．化简： (1) (2) 2．计算： (1)（约分）： (2)（通分）：与 3．通分 (1) (2) 类型七、分式的加减法运算 【解惑】（1）计算：． （2）化简：． 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算下列各式 (1)； (2)． 类型八、分式的乘除法运算 【解惑】计算： (1)； (2)． 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 2．计算 (1)； (2)； (3)． 3．计算下列各题 (1)． (2)． 类型九、整数指数幂的混合运算 【解惑】计算： (1) (2) 【融会贯通】 1．计算下列各题： (1)； (2)． 2．计算： (1)． (2) 3．计算： (1) (2) (3) (4)(运用乘法公式) 类型十、解分式方程与化简求值 【解惑】解分式方程： (1)； (2)． 【融会贯通】 1．解方程： (1) (2) 2．化简求值．先化简，再从0，1，2，中选择一个合适的数代入并求值． 3．先化简代数式，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$