第1章 因式分解（基础+中等类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（湘教版2024）

第1章 因式分解思维导图 【类型覆盖】 类型一、因式分解的定义 【解惑】下列各式因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解：提公因式法、运用公式法，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．根据平方差公式、完全平方公式、提公因式法分解因式即可． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．下列因式分解中正确的个数为（   ） ①；②；③ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的相关知识，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．对每个式子进行因式分解，然后判断其正确性． 【详解】解：① 原式子变形错误． ② 该式子正确． ③ 该式子正确． 综上，正确的式子有②和③，共个． 故选：B． 2．甲同学分解因式时看错了9，分解结果为，则多项式分解因式的正确结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解和整式化简之间的关系，牢记各自的特点并能灵活应用是解题关键．先根据分解因式时，甲看错了9，分解结果为，求出，再分解因式即可． 【详解】解：∵分解因式时，甲看错了9，分解结果为， ∴在中，是正确的， ∴． 故答案为：． 3．已知可因式分解为，其中a、b均为整数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．先提取公因式，再计算整式的加减法即可完成因式分解，然后求出的值，代入计算即可得． 【详解】解： ． ∵可因式分解为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 类型二、公因式与完全平方式 【解惑】把分解因式，提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解-提公因式法，原式提取公因式即可． 【详解】解：， 则提取的公因式是． 故选：C． 【融会贯通】 1．下列多项式中是完全平方式的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据完全平方式（完全平方式有和两个）逐个判断即可． 【详解】解：A．多项式不是完全平方公式，故本选项不符合题意； B．，所以多项式是完全平方公式，故本选项符合题意； C．多项式不是完全平方公式，故本选项不符合题意； D．多项式不是完全平方公式，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．多项式中各项的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的概念，掌握多项式中各项都含有相同的数字因数，相同的字母，相同字母的指数也相同是解题的关键．观察多项式的数字因数，字母，根据一个因式能同时整除几个多项式，这个因式叫做这几个多项式的公因式，即可求解． 【详解】解：多项式中各项的公因式是， 故答案为：． 3．已知多项式． （1）当时，因式分解： ． （2）若是一个完全平方式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解和求完全平方式字母系数： （1）直接提取公因数x即可； （2）根据完全平方式的构成可得k的值． 【详解】解：（1）当时， ∴； 故答案为：； （2）∵是一个完全平方式， ∴ ∴， 故答案为： 类型三、提公因式法因式分解 【解惑】把下列各式分解因式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了公式法分解因式． （1）首先利用完全平方公式去括号，进而合并同类项，再利用完全平方公式分解因式得出即可； （2）首先提取公因式，进而结合平方差公式分解因式得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【融会贯通】 1．将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． （1）先提取公因式分解； （2）先提取公因式，再用完全平方公式分解． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 2．因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，熟练运用乘法公式是解题的关键． （1）提公因式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式，进行因式分解即可； （3）先提公因式，再利用平方差公式，进行因式分解即可； （4）先利用平方差公式，再利用完全平方公式，进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 3．用提公因式法将下列各式分解因式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1） ； （2） ． 类型四、平方差法因式分解 【解惑】分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式： （1）利用平方差公式分解因式； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【融会贯通】 1．因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先提取公因式，得到，再根据完全平方公式，将分解为 ． （2）先提取公因式，得到，再依据平方差公式，把分解成 ． （3）先将展开，然后合并同类项得到，最后利用完全平方公式分解为 ． 本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法（完全平方公式、平方差公式），熟练掌握提公因式法和公式法的运用是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 2．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解的综合运用，涉及平方差公式、完全平方公式等知识，综合运用提公因式法及公式法因式分解是解题的关键． （1）利用平方差公式分解即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （3）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （4）根据完全平方公式进行分解即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 3．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法及公式法因式分解是解题的关键． （）先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解即可； （）先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解即可； （）先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解即可； （）根据平方差公式进行分解即可； （）先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解即可； （）先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 类型五、完全平方公式法因式分解 【解惑】计算：． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的应用，利用完全平方公式计算即可，熟练掌握计算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【融会贯通】 1．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式（第一步） （第二步） （第三步） ．（第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了下列因式分解的___________；（请填写序号） ①提取公因式法②平方差公式法③两数和的完全平方公式法 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果； (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)③ (2)不彻底，最后结果为 (3) 【分析】本题考查了换元法和完全平方公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式法分解因式是解题的关键． （1）根据两数和的完全平方公式的形式即可求解； （2）利用两数和的完全平方公式法即可求解； （3）设，利用完全平方公式法分解因式即可求解． 【详解】（1）解：， 则某同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式法， 故答案为：③． （2）解：设， 原式 ； （3）解：设， 原式 ． 2．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用提取公因式法进行分解即可得； （2）利用完全平方公式法进行分解即可得． 本题考查因式分解的知识点，熟练掌握因式分解的技巧方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．【阅读材料】因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：； (2)证明：若为正整数，则的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将B还原即可； （2）设，则原式化为，即，再将C还原求解即可． 【详解】（1）解：设， 则原式， 将“”还原，原式． （2）证明：原式． 设，则原式． 将“”还原，原式． 为正整数， 为正整数， 的值一定是某个整数的平方． 类型六、十字相乘法 【解惑】某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用十字相乘法分解因式： （1）仿照题干，利用十字相乘法分解因式； （2）仿照题干，利用十字相乘法分解因式． 【详解】（1）解：如图① 由答图①知． （2）解：如图②． 由答图②可知． 【融会贯通】 1．分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键． （1）提取公因式，分解因式即可得； （2）提取公因式，分解因式即可得； （3）先利用十字相乘法分解因式可得，再利用十字相乘法分解因式即可得； （4）利用十字相乘法分解因式即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式． 2．阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； （3）根据十字相乘法分解因式即可； 理解阅读材料，掌握十字相乘法的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：∵常数项，一次项系数， ∴； （2）∵常数项，一次项系数， ∴； （3）①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． 3．小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示： (1)因式分解：； (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解的应用，解题的关键是理解十字相乘法中 “常数项为两数之积，一次项系数为两数之和” 的核心关系，并能找出符合条件的因数对． （1）找出乘积为 15 且和为 的两个数，利用十字相乘法分解因式． （2） 列出所有乘积为 的整数对，计算每对的和，得到整数a的所有可能值． 【详解】（1）解：根据十字相乘法，需找到两个数，使其乘积为常数项15，和为一次项系数． ∵ ∴满足条件的数为和， ∴ （2）对于，由十字相乘法可知，需找到整数p、q，使，且． 乘积为的整数对有：， 对应的和分别为：， 故整数a的所有可能值为． 类型七、分组分解法 【解惑】因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查的是分组分解法分解因式，把原式化为，再进一步分解即可． 【详解】解：原式． 【融会贯通】 1．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式，再用平方差公式进行因式分解； （2）先用平方差公式再用完全平方公式进行因式分解； （3）先添括号分组，再把前两项用平方差公式分解因式，最后再提公因式； （4）先用完全平方公式，再提公因式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式：              例2：若，求M的最小值．                                 ∵               ∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 【答案】(1)； (2)，； (3)13． 【分析】本题考查因式分解，偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，可解得答案； （2）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，可解得答案； （3）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，求出a、b，再根据两边之和大于第三边的条件判断出c的最大值，可解得答案； 【详解】（1） = = = （2） = = 当 ， 时，多项式有最小值为3 （3）， 变形为 ， 整理得， 根据两边之和大于第三边的判定， 又因为c是正整数，所以 所以周长的最大值= 3．常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但有的多项式只用上述的一种方法无法分解，如细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分再分别分解因式后就会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程如下： ． 这种分解因式的方法叫作分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：． (2)若三边，，满足，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形三边的关系，三角形的分类，熟知因式分解的方法是解题的关键． （1）先把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）先把原式变形为，进而分解因式得到，再根据三角形三边的关系得到，则，据此可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 类型八、整除问题 【解惑】追本溯源 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法，并完成题（2）． (1)两个连续的奇数的平方差能被8整除吗？为什么？ (2)①若k为任意整数，则的值总能________． A．被2整除    B．被3整除    C．被5整除    D．被7整除 ②必能被10和20之间某两个整数整除，求这两个数． 【答案】(1)两个连续的奇数的平方差能被8整除，理由见解析 (2)①C；②15和17 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式、平方差公式． （1）设两个连续的奇数分别为和，m为任意整数，则两个连续的奇数的平方差为，利用完全平方公式展开，再合并同类项后得，即可得出结论； （2）①利用完全平方公式展开，再合并同类项后得，即可得出答案； ②利用平方差公式展开得，即可得出答案． 【详解】（1）解：两个连续的奇数的平方差能被8整除，理由如下： 设两个连续的奇数分别为和，m为任意整数， ， ∵m为任意整数， ∴是8的整数倍， 即两个连续的奇数的平方差能被8整除； （2）解：① ， ∵k为任意整数， ∴是整数， ∴的值总能被5整除， 故选：C； ② ， ∴这两个数是15和17． 【融会贯通】 1．已知整式为任意有理数． (1)的值可能为负数吗？请说明理由； (2)试说明：当m是整数时，的值一定能被24整除． 【答案】(1)不可能，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，解题的关键是掌握平方差公式，整式的混合运算． （1）利用平方差公式，整式的混合运算计算； （2）利用平方差公式计算． 【详解】（1）解：∵为任意有理数， ， ， ∴的值不可能为负数； （2）解： ， ∵是整数， ∴能被 24 整除． ∴是整数时，的值一定能被 24 整除． 2．观察： 观察下列各式：；；………… 发现： 比任意一个偶数大7的数与此偶数的平方差都能被7整除． 验证： （1）的结果是7的 倍； （2）设偶数为，试说明比大7的数与的平方差都能被7整除； 延伸： （3）请利用整数k说明“比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数为3”． 【答案】（1）27；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了运用平方差公式分解因式、分解因式的应用等知识点，灵活运用因式分解成为解题的关键． （1）先运用平方差公式化简即可解答； （2）根据“比大7的数与的平方差”列式，再利用平方差公式计算即可解答； （3）根据“比任意一个整数大3的数与此整数的平方差”列式，再利用平方差公式计算即可解答； 【详解】解：（1）∵， ∴的结果是7的27倍． 故答案为：27． （2）设偶数为，则比大7的数为， 由题意得：， ， ∵为整数， ∴能被7整除， ∴比大7的数与的平方差都能被7整除． （3）∵比整数k大3的数为， ∴， ∵， ∴被6整除的余数是3， ∴比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数为3． 3．综合与实践 请仔细阅读并完成相应任务． 阅读材料1：初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．有很多小学数学学习过的结论，初中阶段可以论证结论的正确性，让学生在逻辑论证的过程中，逐渐形成推理能力，培养科学精神．（阅读材料来源于2022年版义务教育《数学课程标准》144页） 阅读材料2：华东版教材50页有一道练习题：两个连续整数的平方差必是奇数，请说明理由．师生一起研讨，理由如下： 设这两个连续整数为，其中为整数． ___________． 它必是奇数 (1)任务一：填空：上面横线上所缺内容是________； (2)任务二：证明：两个连续偶数的平方差必是4的倍数． (3)任务三：设是一个四位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平方差公式的应用，因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）用平方差公式展开，即可求解； （2）设两个连续偶数为 和 （ 为整数），根据平方差公式展开即可求解． （3）四位数 可表示为：，若 能被 3 整除，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这两个连续整数为，其中为整数． ∴． 它必是奇数 故答案为：． （2）证明：设两个连续偶数为 和 （ 为整数）， ∴ 是 4 的倍数； （3）解：四位数 可表示为： 其中 是 3 的倍数； 若 能被 3 整除，则整个数可表示为两个 3 的倍数之和， 因此 能被 3 整除． 类型九、因式分解的规律与应用 【解惑】（1）通过计算，探索规律： ，可写成， ，可写成， ，可写成， ，可写成， …… ，可写成________，，可写成________； （2）一个正整数的个位数是5，若去掉个位上的数字5之后的数为a，则该正整数可以表示为________； （3）证明：任意一个个位数是5的正整数平方后一定可以被25整除． 【答案】（1）；；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了数字变化的规律，完全平方公式的应用，因式分解的应用，根据已知数据得出变化规律是解题的关键． （1）根据已知数据得出变化规律即可； （2）由题意可知原数的十位及以上部分组成的数为a，个位数为5，因此原数可表示为； （3）任意一个个位数是5的正整数都可以写成，再利用完全平方公式分析即可． 【详解】解：（1）根据题意可得，，可写成； ，可写成， 故答案为：；； （2）一个正整数去掉个位上的数字5之后的数为a， 原数的十位及以上部分组成的数为a，个位数为5， 因此原数可表示为 （3）任意一个个位数是5的正整数都可以写成，即， 为奇数， 为25的倍数， 能被25整除， 任意一个个位数是5的正整数平方后一定可以被25整除． 【融会贯通】 1．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把这样的数称为“三角形数”，第个“三角形数”可表示为：，某数学兴趣小组对“三角形数”展开探究． (1)数学兴趣小组发现，每相邻两个“三角形数”的和有如下规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： ①写出第5个等式： ； ②写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明； (2)数学兴趣小组还发现：，，，即任意一个三角形数乘8再加1都是一个完全平方数，请你对发现的该结论加以证明． 【答案】(1)①；②，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查整式的混合运算的应用、因式分解，正确理解“三角形数”的概念是解题的关键． （1）①根据题意即可写出第5个等式； ②根据题意即可写出第n个等式，再进行求解即可； （2）根据规律得到等式并化简即可证明． 【详解】（1）解：（1）①第5个等式：； 故答案为：； ②猜想：； 证明如下： 等式左边 ． 等式右边 等式左边等式右边， 等式成立； （2）发现：， 证明如下： 等式左边， 等式右边， 等式左边等式右边， 等式成立， 任意一个三角形数乘8再加1都是一个完全平方数． 2．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：______；（直接列出等式即可） (2)若x，y，z为实数，，，利用（1）的结论求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为a，b的正方形纸片和长为b，宽为a的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：______（直接列出等式即可） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）两种方法表示出图形的面积，即可得出结果； （2）利用（1）中结论求解即可； （3）根据多项式，由3个边长为的小正方形和8个边长为的长方形和4个边长为的正方形组合成一个矩形，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示： ． 3．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为、宽为的全等小长方形，且．（以上长度单位：） (1)用含，的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和； (2)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________； (3)若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）根据整式的加减混合运算法则计算； （2）根据图形的面积的不同的表示方法解答； （3）变形完全平方公式，代入计算即可． 【详解】（1）解：图中一条竖直裁剪线长为，一条水平裁剪线长为， ∴所有裁剪线（虚线部分）长度之和为：； （2）解：大长方形的面积由长乘宽可得，由九个小图形之和可得， ∴ 即可以因式分解为：， 故答案为：； （3）解：依题意得，，， ， ， ． 类型十、试根法 【解惑】【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”． 【解决问题】 (1)当______时，多项式，所以可以因式分解为______； (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； (3)对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． （1）将代入即可； （2）由题意得，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式，设另一个因式为，则，再由系数关系求a、b即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 故答案为：，； （2）解：由题意可知， ∴， ∴，， ∴，； （3）解：当时，， ∴多项式有因式， 设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 【融会贯通】 1．【阅读材料】对于多项式，如果我们把代入，发现此多项式的值为，这时可以断定多项式中有因式，可设（为常数），通过展开多项式或代入合适的的值即可求出的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)请完成下列因式分解：______； (2)若多项式（，为常数）分解因式后，有一个因式是，求值； (3)多项式用“试根法”分解因式得（，，为常数），请直接写出，，的值． 【答案】(1)； (2)； (3)，，． 【分析】本题主要考查了“试根法”分解因式，解决本题的关键是读懂材料中的解题思路，按照材料中提供的解题思路进行解答． 因为，根据多项式乘以多项式的法则把等号左面的展开，可得：，因为两个多项式相等，所以这两个多项中同类项的系数相等，可得：； 因为多项式分解因式后，有一个因式是，所以方程有一个根是，把代入方程即可得到； 因为当时，，所以，所以可得：，根据多项式乘以多项式的法则把等号右边的展开，可得：，根据两个多项式相等，这两个多项中同类项的系数相等，可得：，． 【详解】（1）解：当时， ， 多项式中有因式， 设， 则有， ， ， 故答案为：； （2）解：多项式分解因式后，有一个因式是， 方程有一个根是， ， ； （3）解：当时，， ， ， ，， 解得：，，． 2．对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为，由此可以断定多项式中有因式，于是我们可以把多项式写成：，分别求出后再代入，就可以开始把多项式进行因式分解． (1)求式子中m、n的值： (2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式因式分解中的“试根法”，即通过寻找多项式的根来因式分解，并通过比较系数确定未知参数． （1）因为，所以，得到； （2）“试根法”得是根，得到． 【详解】（1）解： ， ， 解得； （2）解：当时，， 是根， ． 3．阅读下列材料： 对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中有另一个因式，于是我们可以得到：． 又如：对于多项式，发现当时，的值为0，则多项式有一个因式，我们可以设，解得． 于是我们可以得到： 请你根据以上材料，解答以下问题： (1)当______时，多项式的值为0，所以多项式有因式______，从而因式分解______； (2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：． 【答案】(1)1，，； (2)，过程见解析． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式和因式分解，理解阅读材料的方法，借助多项式乘法进行因式分解是解题的关键． （1）根据题意，当时，，设，求出m、n的值，进而即可求出答案； （2）根据题意，当时，，设， 求出m、n的值，进而即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，， 设， 解得， ∴因式分解， 故答案为1，，； （2）当时，， 设， 解得， ∴． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 因式分解思维导图 【类型覆盖】 类型一、因式分解的定义 【解惑】下列各式因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列因式分解中正确的个数为（   ） ①；②；③ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．甲同学分解因式时看错了9，分解结果为，则多项式分解因式的正确结果为 ． 3．已知可因式分解为，其中a、b均为整数，则的值为 ． 类型二、公因式与完全平方式 【解惑】把分解因式，提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列多项式中是完全平方式的为（　　） A． B． C． D． 2．多项式中各项的公因式是 ． 3．已知多项式． （1）当时，因式分解： ． （2）若是一个完全平方式，则的值是 ． 类型三、提公因式法因式分解 【解惑】把下列各式分解因式 (1)； (2)． 【融会贯通】 1．将下列各式因式分解： (1)； (2)． 2．因式分解： (1) (2) (3) (4) 3．用提公因式法将下列各式分解因式． (1)； (2)． 类型四、平方差法因式分解 【解惑】分解因式： (1)； (2)． 【融会贯通】 1．因式分解： (1)； (2)； (3)． 2．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 类型五、完全平方公式法因式分解 【解惑】计算：． 【融会贯通】 1．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式（第一步） （第二步） （第三步） ．（第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了下列因式分解的___________；（请填写序号） ①提取公因式法②平方差公式法③两数和的完全平方公式法 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果； (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 2．分解因式： (1)； (2)． 3．【阅读材料】因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：； (2)证明：若为正整数，则的值一定是某个整数的平方． 类型六、十字相乘法 【解惑】某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【融会贯通】 1．分解因式： (1) (2) (3) (4) 2．阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)． 3．小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示： (1)因式分解：； (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． 类型七、分组分解法 【解惑】因式分解：． 【融会贯通】 1．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式：              例2：若，求M的最小值．                                 ∵               ∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 3．常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但有的多项式只用上述的一种方法无法分解，如细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分再分别分解因式后就会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程如下： ． 这种分解因式的方法叫作分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：． (2)若三边，，满足，请判断的形状，并说明理由． 类型八、整除问题 【解惑】追本溯源 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法，并完成题（2）． (1)两个连续的奇数的平方差能被8整除吗？为什么？ (2)①若k为任意整数，则的值总能________． A．被2整除    B．被3整除    C．被5整除    D．被7整除 ②必能被10和20之间某两个整数整除，求这两个数． 【融会贯通】 1．已知整式为任意有理数． (1)的值可能为负数吗？请说明理由； (2)试说明：当m是整数时，的值一定能被24整除． 2．观察： 观察下列各式：；；………… 发现： 比任意一个偶数大7的数与此偶数的平方差都能被7整除． 验证： （1）的结果是7的 倍； （2）设偶数为，试说明比大7的数与的平方差都能被7整除； 延伸： （3）请利用整数k说明“比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数为3”． 3．综合与实践 请仔细阅读并完成相应任务． 阅读材料1：初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．有很多小学数学学习过的结论，初中阶段可以论证结论的正确性，让学生在逻辑论证的过程中，逐渐形成推理能力，培养科学精神．（阅读材料来源于2022年版义务教育《数学课程标准》144页） 阅读材料2：华东版教材50页有一道练习题：两个连续整数的平方差必是奇数，请说明理由．师生一起研讨，理由如下： 设这两个连续整数为，其中为整数． ___________． 它必是奇数 (1)任务一：填空：上面横线上所缺内容是________； (2)任务二：证明：两个连续偶数的平方差必是4的倍数． (3)任务三：设是一个四位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除，请说明理由． 类型九、因式分解的规律与应用 【解惑】（1）通过计算，探索规律： ，可写成， ，可写成， ，可写成， ，可写成， …… ，可写成________，，可写成________； （2）一个正整数的个位数是5，若去掉个位上的数字5之后的数为a，则该正整数可以表示为________； （3）证明：任意一个个位数是5的正整数平方后一定可以被25整除． 【融会贯通】 1．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把这样的数称为“三角形数”，第个“三角形数”可表示为：，某数学兴趣小组对“三角形数”展开探究． (1)数学兴趣小组发现，每相邻两个“三角形数”的和有如下规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： ①写出第5个等式： ； ②写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明； (2)数学兴趣小组还发现：，，，即任意一个三角形数乘8再加1都是一个完全平方数，请你对发现的该结论加以证明． 2．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：______；（直接列出等式即可） (2)若x，y，z为实数，，，利用（1）的结论求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为a，b的正方形纸片和长为b，宽为a的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：______（直接列出等式即可） 3．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为、宽为的全等小长方形，且．（以上长度单位：） (1)用含，的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和； (2)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________； (3)若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，求的值． 类型十、试根法 【解惑】【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”． 【解决问题】 (1)当______时，多项式，所以可以因式分解为______； (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； (3)对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 【融会贯通】 1．【阅读材料】对于多项式，如果我们把代入，发现此多项式的值为，这时可以断定多项式中有因式，可设（为常数），通过展开多项式或代入合适的的值即可求出的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)请完成下列因式分解：______； (2)若多项式（，为常数）分解因式后，有一个因式是，求值； (3)多项式用“试根法”分解因式得（，，为常数），请直接写出，，的值． 2．对于多项式，我们把代入此多项式，发现能使多项式的值为，由此可以断定多项式中有因式，于是我们可以把多项式写成：，分别求出后再代入，就可以开始把多项式进行因式分解． (1)求式子中m、n的值： (2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式． 3．阅读下列材料： 对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中有另一个因式，于是我们可以得到：． 又如：对于多项式，发现当时，的值为0，则多项式有一个因式，我们可以设，解得． 于是我们可以得到： 请你根据以上材料，解答以下问题： (1)当______时，多项式的值为0，所以多项式有因式______，从而因式分解______； (2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$