2.4—2.5 整数指数幂 可化为一元一次方程的分式方程 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（湘教版2024）
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内容正文：
2.4—2.5 整数指数幂 可化为一元一次方程的分式方程
一、整数指数幂
整数指数幂是数学中的基本概念，表示一个数被自身重复相乘的次数。其中，正整数指数幂表示重复相乘，负整数指数幂则表示倒数后再重复相乘。例如，a^3表示a乘以a再乘以a，而a^-3则表示1除以(a乘以a再乘以a)。
二、可化为一元一次方程的分式方程
1、分式方程的概念
分式方程是分母中含有未知数的有理方程。其核心特征是方程形式含分母且分母含未知数，通过去分母可转化为整式方程求解。
2、分式方程的解法
解分式方程的一般步骤是“一化二解三检验”：
一化：去分母，将分式方程化为整式方程。这通常是通过方程两边同时乘以最简公分母来实现的。
二解：解整式方程，求出整式方程的解。
三检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解；若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解。检验的目的是排除增根，即由于去分母过程中未知数取值范围扩大而导致的无效解。
3、注意事项
在解分式方程时，需要注意以下几点：
去分母时，不要漏乘整式项。
增根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。增根使最简公分母等于0。
若解出的根都是增根，则原方程无解。
在列分式方程解应用题时，不仅要检验所得解是否满足方程式，还要检验是否符合题意。
巩固课内例1:同底数幂相除计算
1．计算：的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
【详解】解：．
故选：C．
2．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】
【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是：
（1）根据同底数幂相除法则计算即可；
（2）根据同底数幂相除法则、积的乘方法则计算即可；
（3）先把变形为，根据同底数幂相除法则计算即可．
【详解】解:（1）原式，
故答案为：；
（2）原式
，
故答案为：；
（3）原式
，
故答案为：．
3．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘除运算，合并同类项，首先，利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则计算，然后，利用积的乘方运算法则得到，这里容易出错的是把计算符号搞错，其次，利用同底数幂的除法运算法则，底数不变，指数相减得到，最后，将以上各部分相加减，即可得到结果．
【详解】解：，
，
．
巩固课内例2:负次幂计算
1．与相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相反数，负整数指数幂，零指数幂，根据相反数，负整数指数幂，零指数幂的运算法则计算，再判断即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，故选项符合题意；
故选：D．
2．计算： ．
【答案】/
【分析】本题考查了负整数指数幂的计算，根据负整数指数幂，进行计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
3．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、同底数幂的乘除法、幂的乘方等知识．解题的关键是熟练掌握这些运算法则和公式，按照运算顺序逐步计算．
（1）运用负整数指数幂、零指数幂、同底数幂的除法进行运算即可；
（2）运用幂的乘方、同底数幂的乘除法法则运算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
巩固课内例3:把负次幂改写成分式
1．计算：（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了负整数指数幂的计算，熟练掌握公式是解题的关键．根据负整数指数幂的公式计算即可．
【详解】解：，
故选：C．
2．计算： ．
【答案】/0.125
【分析】本题考查了负整数指数幂，根据，且为正整数，进行计算，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：．
3．计算：
(1)，
(2)，
(3)，
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】直接利用负整数指数幂的性质计算得出答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
（4）解：．
【点睛】本题主要考查负整数指数幂，掌握负整数指数幂的运算性质是解题的关键．
巩固课内例4:科学记数法
1．“可燃冰”是一种新型能源，它的密度很小，可燃冰的质量仅为，用科学记数表示0.00092正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示形式为整数，即可求出．
【详解】解：，
故选：B．
2．某种细菌的直径是，将数据的相反数用科学记数法表示为
【答案】
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的形式，为整数，把原数变为时，当时，为正整数，的值为小数点移动的位数；当时，为负整数，的值为小数点移动位数的相反数；由此即可求解，掌握科学记数法的表示形式，、的取值方式是解题的关键．
【详解】解∶的相反数是，
用科学记数法表示为，
故答案为∶．
3．一个正方体盒子的棱长为．（答案均用科学记数法表示）
(1)这个集装箱的体积是多少？
(2)若有一个小立方块的棱长为，则需要多少个这样的小立方块才能将集装箱装满？
【答案】(1)
(2)个
【分析】本题考查正方体的体积、单项式的乘除法应用、科学记数法，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解答的关键．
（1）根据正方体的体积公式和单项式乘以单项式的运算法则求解，再利用科学记数法表示计算结果即可；
（2）用集装箱的体积除以一个立方块的体积即可求解．
【详解】（1）解：，
答：这个集装箱的体积是；
（2）解：小立方块的体积为，
（个），
答：需要个这样的小立方块才能将集装箱装满．
巩固课内例5:负整数幂的幂的运算
1．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了整数指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据整数指数幂的相关运算法则分别计算判断即可．
【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意；
B、，原写法错误，不符合题意；
C、，原写法错误，不符合题意；
D、，写法正确，符合题意，
故选：D．
2．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．先计算括号内同底数幂的乘法，再计算幂的乘方即可．
【详解】解：；
故答案为：．
3．计算：
【答案】
【分析】本题主要考查了负整数指数幂的计算，分解因式，先利用平方差公式把原式分解因式，再合并同类项并计算即可得到答案．
【详解】解：
．
巩固课内例6:解分式方程——有解
1．分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解法，同时注意检验.
先将分式方程化为整式方程，再求解即可.
【详解】解：
两边同时乘以得：
，
去括号得：，
移项合并得：，
经检验：是原方程的解，
故选：B
2．分式方程 的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查解分式方程．去分母，化分式方程为整式方程，求整式方程的解，验根，写出分式方程的解即可．
【详解】解：，
去分母，得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
故答案为：．
3．解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
（1）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：方程两边同乘，
得，
解得．
检验：当时，，
原方程的解为；
（2）解：方程两边同乘，
得，
解得．
检验：当时，
，
是原方程的解．
巩固课内例7:解分式方程——无解
1．已知，关于的方程无解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，掌握分式方程无解包括分整式方程无解或解为增根两种情况成为解题的关键
先将分式方程转化为整式方程求解，然后分整式方程无解或解为增根两种情况求解即可．
【详解】解：，
，
，
因，方程有解．
若原方程无解，则此解必为增根，代入得：，解得：．
所以此时使原方程分母为零，故原方程无解．因此．
故选C．
2．若关于的分式方程在实数范围内无解，则实数的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了分式方程无解的情况，分式方程无解的一种情况是，其化简后的整式方程的解是使原分式方程分母为0的增根，可以根据增根的意义列出方程，求出a的值，先把分式方程转化成整式方程，根据分式方程无解得出分母，求出x的值，把x的值代入整式方程求出即可．
【详解】解：，
去分母得：，
即，
关于x的分式方程的实数范围内无解，
，
，
．
故答案为：1．
3．解分式方程
(1)
(2)
【答案】(1)原方程无解
(2)
【分析】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程，同时要注意验根，避免增根．
（1）先整理方程消除分母符号差异，去分母化为整式方程求解，最后验根发现增根，确定方程无解．
（2）先对分母因式分解找到最简公分母，去分母转化为整式方程求解，验根后确定解的有效性．
【详解】（1）
通分：
去分母：
去括号：
移项合并同类项：
经检验， 是原方程的增根 ，
∴原方程无解
（2）
去分母：．
去括号：
移项合并同类项：
系数化为1：
经检验， 是原方程的根，
∴原方程的解是．
巩固课内例8:分式方程的应用——行程问题
1．某学校组织学生去离学校的红色基地开展研学活动，先遣队和大队同时出发，先遣队的速度是大队速度的倍，结果先遣队比大队早到．设大队的速度是，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式方程的应用．根据题意，大队和先遣队的路程均为，大队速度为，先遣队速度为，先遣队比大队早到小时，即大队的时间比先遣队多小时，据此列出方程，即可求解．
【详解】解：设大队速度为，先遣队速度为，
则．
故选：B．
2．《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？设规定的时间为x天，可列分式方程 ．
【答案】
【分析】本题考查列分式方程，设规定的时间为x天，根据“慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍”列方程即可．
【详解】解：设规定的时间为x天，列方程为：，
故答案为：．
3．某班级学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先出发，出发15分钟后，剩余学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度．
【答案】慢车的速度为
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，准确分析条件列方程是解题的关键．
设慢车的速度为，则快车的速度为，根据“慢车先出发，出发15分钟后，剩余学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区”列方程求解即可．
【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意，得，
解得：；
经检验：是原方程的解．
答：慢车的速度为．
类型一、分式方程的定义
1．下列方程是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此进行判断即可．
【详解】解：A．选项中的方程，分母不含未知数，不符合题意，
B．选项中的方程，分母不含未知数，不符合题意，
C．选项中的方程符合分式方程的定义，符合题意，
D．选项是代数式，不是等式，不符合题意，
故选：C．
2．下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号）
①；②；
③（a为常数）；④；
⑤．
【答案】①④
【分析】本题考查了分式方程的定义，熟记分式方程的定义是解题的关键．
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程，逐个判断即可．
【详解】①④的分母中含有未知数，是关于x的分式方程；
②不是方程，故不是关于x的分式方程；
③⑤的分母中不含有未知数，故不是关于x的分式方程；
关于x的分式方程是①④．
故答案为：①④．
3．下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程．
【分析】按照分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．逐一判断，去分母后再来判断是否能化成一元二次方程．
【详解】（1）是分式方程，去分母可转化为3x+3=2，不是一元二次方程，
（2）是分式方程，去分母可转化为3x=x-1，不是一元二次方程，
（3）是分式，不是分式方程，
（4）是分式方程，去分母可转化为x2+x=2，是可化为一元二次方程的分式方程，
∴（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程；熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．
类型二、零指数幂
1．若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂，有理数的大小比较，根据相关运算法则进行化简，再根据有理数的大小比较法则比较即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：，，，，
∵，
∴，
故选：D．
2．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，先根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加法法则计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
3．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）本题可根据乘方的意义、零指数幂的运算法则以及负整数指数幂的运算法则分别计算各项，再进行加减运算．
（2）根据幂的乘方、同底数幂的乘除法法则分别化简各项，再进行加减运算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了实数的运算以及整式的运算，涉及乘方的意义、零指数幂、负整数指数幂、幂的乘方、同底数幂的乘除法等知识点．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
类型三、列分式方程
1．汉十高铁全长约400千米，动车运行后的平均速度是原来火车的倍，这样由十堰到武汉的行驶时间缩短了3小时．设原来火车的平均速度为千米/时，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是根据路程、速度和时间的关系，分别表示出两种交通工具的行驶时间，再依据时间差列出方程．
根据路程除以速度等于时间，分别求出原来火车行驶全程的时间和动车行驶全程的时间；由于动车行驶时间比原来火车缩短了3小时，即原来火车的行驶时间减去3小时等于动车的行驶时间，据此列出方程．
【详解】解：设原来火车的平均速度为x千米/时，则动车运行后的平均速度为2.5x千米/时．原来火车行驶汉十高铁全长400千米所需的时间为小时．
动车行驶汉十高铁全长400千米所需的时间为小时．
因为动车行驶时间比原来火车缩短了3小时，所以原来火车的行驶时间减去3小时等于动车的行驶时间，即．
故选：D．
2．某校根据实际需要购置一批光学显微镜，已知在实体店购买这种显微镜比网上购买每台价格多81元，用21900元在网上购买的数量比在实体店购买的数量多27台．设在网上购买这种显微镜的价格为每台x元，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】此题考查了分式方程的应用，由解题的关键读懂题意列出分式方程，设在网上购买这种显微镜的价格为每台x元，则在实体店购买这种显微镜的价格为元，根据用21900元在网上购买的数量比在实体店购买的数量多27台列出方程即可．
【详解】解：设在网上购买这种显微镜的价格为每台x元，则在实体店购买这种显微镜的价格为元，
由题意得：，
故答案为：．
3．下面是学习《分式方程的应用》时，老师板书的应用题和两名同学所列的方程．
分式方程
某校为迎接市中学生田径运动会需240面彩旗．计划由八年级（1）班的3个小组完成此任务，3个小组的人数相等．后因1个小组另有任务，剩余2个小组的每名学生要比原计划多做4面彩旗才能完成任务．那么每个小组有多少名学生？原计划每名学生做多少面彩旗？
冰冰：，
庆庆：
根据以上信息，解答下列问题．
(1)冰冰同学所列方程中的表示________，庆庆同学所列方程中的表示________；
(2)请你选择其中的一个方程解决老师提出的问题．
【答案】(1)每个小组学生的人数；原计划每名学生做的彩旗数
(2)每个小组学生的人数为10人；原计划每名学生做8面彩旗
【分析】本题主要考查了利用分式方程解决实际问题，解题的关键是准确找出等量关系，列出方程．
（1）根据所列出方程结合题意和等量关系即可判定未知数所表示的量；
（2）选择一个方程进行求解即可．
【详解】（1）解：冰冰同学所列方程为，则表示每个小组学生的人数；
庆庆同学所列方程为，则原计划每名学生做的彩旗数；
故答案为：表示每个小组学生的人数；
表示原计划每名学生做的彩旗数；
（2）解：方法一：解方程得：，
经检验是原方程的根，
∴（个），
答：每个小组学生的人数为10人；原计划每名学生做8面彩旗；
方法二：解方程得：，
经检验是原方程的根，
∴（人），
答：每个小组学生的人数为10人；原计划每名学生做8面彩旗．
类型一、解分式方程
1．解分式方程时，去分母可得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．
【详解】解：去分母得：，
故选：B．
2．方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查解分式方程，先将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后检验计算结果可得答案．
【详解】解：去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
化系数为1，
经检验，
∴是分式方程的解．
故答案为：
3．解方程：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法是解决问题的关键．
（1）去分母化为整式方程求解即可，最后要检验是否有增根．
（2）去分母化为整式方程求解即可，最后要检验是否有增根．
【详解】（1）解：方程两边同乘得：
，
解得．
检验，当时，，
是原分式方程的根；
（2）方程两边同时乘以，
得，
解得，
检验：当时，分母为，无意义，
故此方程无解．
类型二、分式方程的应用——工程问题
1．某项工程，甲队单独做需要a天完成，甲、乙两队合作需要b天完成（其中），那么乙队单独完成需要做几天（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查分式方程，设乙队单独完成需要做x天，根据题意列出方程即可求出答案．
【详解】解：设乙队单独完成需要做x天，
∴
，
∴
故选：A．
2．某项工程，乙队单独完成的天数是甲队单独完成的天数的2倍．现由甲、乙两队合作10天后，余下的工程由乙队单独来做，还需6天完工．求甲队单独完成此项工程需要多少天？设甲队单独完成此项工程需要天．根据题意，列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设甲队单独完成此项工程需天，则乙队单独完成此项工程需天，利用甲队完成的工程量乙队完成的工程量，即可列出关于的分式方程．
【详解】解：设甲队单独完成此项工程需天，则乙队单独完成此项工程需天．
根据题意，得．
故答案为：．
3．甲、乙两工程队承接某段高铁隧道挖掘工程．已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，并且挖掘240米的高铁隧道甲工程队比乙工程队少用4天．求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘多少米的隧道？
【答案】甲工程队每天可挖掘30米的隧道，乙工程队每天可挖掘20米的隧道．
【分析】本题考查了分式方程的应用．设乙工程队每天可挖掘x米的隧道，则甲工程队每天可挖掘米的隧道，根据挖掘240米的高铁隧道甲工程队比乙工程队少用4天，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设乙工程队每天可挖掘x米的隧道，则甲工程队每天可挖掘米的隧道，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴．
答：甲工程队每天可挖掘30米的隧道，乙工程队每天可挖掘20米的隧道．
类型三、分式方程的应用——和差倍分问题
1．某公司运来一箱梨，共有80个，计划每名员工分若干个，结果多出5个；若每名员工多分1个，则差9个，有多少名员工？假设有x名员工，以下方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据计划每名员工分若干个，结果多出5个可知每人分个，根据每名员工多分1个，则差9个可知每人分个，据此列出方程即可．
【详解】解：设有x名员工，
由题意得，，
故选：C．
2．某种罐装凉茶一箱的价格为元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，每罐的价格比原来便宜元，设每箱中有凉茶罐，则可列方程： ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到等量关系是解题的关键．
利用每罐的价格优惠后每罐的价格元，列出方程即可．
【详解】解：根据题意可得：；
故答案为：
3．伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车主要有纯电动汽车和油电混合动力汽车两种．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多分钟，且花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？
【答案】该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是分钟和分钟．
【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设该车每次换电池服务的时间是分钟，根据“花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等”列分式方程求解即可．
【详解】解：设该车每次换电池服务的时间是分钟，则完成加油服务的时间是分钟，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解且符合题意，
（分钟），
答：该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是分钟和分钟．
类型四、分式方程的应用——顺逆问题
1．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，求江水的流速．设江水的流速为千米/时，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式方程的应用，熟知顺流速度为船静水速度加水流速度，逆流速度为船静水速度减水流速度，时间等于路程除以速度．根据轮船顺流和逆流航行的时间相等建立方程．
【详解】解：设江水的流速为千米/时，轮船在静水中的最大航速为30千米/时，
∴顺流航行90千米的时间为小时，逆流航行60千米的时间为小时，
根据时间相等，列方程，
故选：C．
2．一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间与最大航速逆流航行所用时间相等，则江水的流速为 ．
【答案】6
【分析】此题主要考查了分式方程的应用，根据题意可得顺水速度为，逆水速度为，根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行所用时间＝以最大航速逆流航行所用时间，根据等量关系列出方程求解即可．
【详解】解：设江水的流速为，
根据题意得：，
，
解得．
经检验，是原方程的解．
答：江水的流速为．
故答案为：6．
3．周口港是沙颍河上的重要港口，是河南第一大港，被誉为“长江以北内河第一大港”．年月开通了至连云港的国内集装箱航线，已知该航线上，两港之间的距离为千米，河水流速为千米/时．
(1)有一货船从港顺流航行到港所用的时间是从港逆流航行到港所用时间的，求该货船在静水中的航行速度；
(2)记某船在静水中的航行速度是千米/时，从港顺流航行到港，再从港逆流航行返回到港所用的时间________，若该船从港航行到港再返回到港均为静水航行，所用时间为_________．判断与的大小关系为，______（填“”，“”，“”）．
【答案】(1)千米/时
(2)；；
【分析】本题考查分式方程的应用，列代数式：分式的加减运算，
（1）设轮船在静水中的航行速度为千米/时，则顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时，根据“货船从港顺流航行到港所用的时间是从港逆流航行到港所用时间的”列出分式方程求解即可；
（2）设轮船在静水中的速度为千米/时，由题意知，，比较与的大小即可；
解题的关键是表示轮船顺水和逆水中的速度．
【详解】（1）解：设该货船在静水中的航行速度为千米/时，
由题意可得：，
解得：，
经检验是原方程的解且符合题意．
答：该货船在静水中的航行速度千米/时；
（2）设轮船在静水中的速度为千米/时，
则，，
∵
，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：；；．
类型五、分式方程的应用——销售问题
1．数学家斐波那契编写的《算盘书》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了利用分式方程解决实际问题，解题的关键是准确找出等量关系．
设第一次分钱的人数为x人，根据两次分钱的钱数相等列出方程即可．
【详解】解：设第一次分钱的人数为x人，根据题意得，
，
故选：C．
2．某网店用5000元购进一批新品种草莓进行试销，由于销售状况良好，网店又用11000元再次购进该品种草莓，但第二次的进货价比试销时的进货价每千克多了0.5元，第二次购进的草莓数量是试销时的2倍，则试销时该品种草莓的进货价是每千克 元．
【答案】5
【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．设试销时该品种草莓的进货价是每千克元，则第二次进货价为元，根据题意列出分式方程求解．
【详解】解：设试销时该品种草莓的进货价是每千克元，则第二次的进货价为元，
由题意得，，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
答：试销时该品种草莓的进货价是每千克5元．
故答案为：5．
3．在陶行知先生生活教育理念的影响下，某校在校园内开垦校园农场，培养学生的劳动意识．去年农场种植芥蓝和土豆共收获，由于劳动技能的提高，今年土豆的产量比去年提高，芥蓝产量比去年提高，总产量比去年提高．
(1)去年农场分别收获芥蓝和土豆多少千克？
(2)今年收获蔬菜时，学校利用劳动课，安排两组同学分别采摘芥蓝和土豆，每小时采摘芥蓝的质量是土豆的2.4倍，两组同学同时开始劳动，结果采摘芥蓝的小组比采摘土豆小组提前10分钟完成采摘任务．问采摘土豆小组每小时可以收获多少千克？
【答案】(1)去年农场收获芥蓝80千克，收获土豆60千克
(2)采摘土豆小组每小时可以收获166千克
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
（1）设去年农场收获芥蓝千克，土豆千克，则今年农场收获芥蓝千克，土豆千克，根据去年农场种植芥蓝和土豆共收获，今年总产量比去年提高，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设采摘土豆小组每小时可以收获千克，则采摘芥蓝小组每小时采摘芥蓝千克，根据采摘芥蓝的小组比采摘土豆小组提前10分钟完成采摘任务，列出分式方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设去年农场收获芥蓝千克，土豆千克，则今年农场收获芥蓝千克，土豆千克，
根据题意得：，
解得：，
答：去年农场收获芥监80千克，土豆60千克；
（2）解：设采摘土豆小组每小时可以收获千克，则采摘芥蓝小组每小时采摘芥蓝千克，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：采摘土豆小组每小时可以收获166千克．
类型一、整数指数幂的混合运算
1．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．（，n为正整数）
【答案】D
【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，熟记是解题的关键；根据，再计算即可；
【详解】解：，故原选项计算错误，不合题意；
B、，故原选项计算错误，不合题意；
C、，故原选项计算错误，不合题意；
D、（，，n为正整数），故原选项计算正确，符合题意．
故选：D．
2．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了单项式乘单项式，整数指数幂的运算，负指数幂，解二元一次方程组等，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据单项式乘法法则及整数指数幂的法则分别计算等式左右两边，即可求得m、n的值，再代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵，，
，
解得：
，
故答案为：．
3．计算：
(1)
(2)；
(3)
(4)
【答案】(1)1；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】本题考查了整式的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
（1）根据有理数的乘方，负整数指数幂、零指数幂运算即可；
（2）根据同底数幂的乘除法，积的乘方运算即可；
（3）根据单项式乘多项式和多项式乘多项式的运算法则运算即可；
（4）利用积的乘方的逆用进行运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
类型二、规律问题
1．根据等式：，，，，…的规律，则可以推算得出（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题目给出的规律即可得出的答案，即可求解．
【详解】由题目中等式的规律可得：
故选：C．
2．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．
…
则展开式中所有项的系数和是 ．
【答案】256
【分析】本题主要考查了与多项式乘法有关的规律探索，观察可知的展开式中所有项的系数和为，据此规律求解即可．
【详解】解：的展开式中所有项的系数和为，
的展开式中所有项的系数和为，
的展开式中所有项的系数和为，
的展开式中所有项的系数和为，
……，
以此类推，可得的展开式中所有项的系数和为，
∴展开式中所有项的系数和是，
故答案为：．
3．下面是一些方程和它们的解．
的解为，；
的解为，；
的解为，；
……
根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题：
(1)的解为______；
(2)关于的方程的解为______；
(3)试求：关于的方程的解．
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)或
【分析】本题考查了解分式方程．
（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；
（2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；
（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可；
【详解】（1）解：猜想关于x的方程的解是；
故答案为：；
（2）解：猜想关于x的方程的解是，；
故答案为：，；
（3）解：，
方程变形得：，
即
∴或，
解得：或．
类型三、新定义问题
1．对于a、b两数定义的一种运算：（其中等式右边中的和是通常意义下的乘法与加法），则下列结论：
若，，则；若，则；；当a、b互为相反数时，的值总是等于1．
其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将，时，代入运算即可求值，进而可判断①的正误；根据当时，，可判断②的正误；分别运算，然后比较，可判断③的正误；当a、b互为相反数且都为0时，运算可得，无意义进而可判断④的正误
【详解】解：由题意知，，时，
，故①正确；
∵
当时，，故②不正确；
∵，，
∴，故③正确；
当a、b互为相反数且都为0时，，
∵无意义，任何不为零的数的0次方等于1，故④错误；
故选C．
【点睛】本题考查了新定义运算，负整数指数幂，零指数幂，解题的关键在于熟练掌握新定义的运算法则．
2．新定义：如果，那么我们规定．例如：因为，所以．则 ．
【答案】2
【分析】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及负整数指数幂．根据定义解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：2．
3．新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”
(1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母）
A．； B．
(2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值．
【答案】(1)B
(2)．
【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键．
（1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案；
（2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：当，时，
分式方程，解得，
，
不是“关联数对”；
当，时，
分式方程，解得，
，
是“关联数对”；
故答案为：B；
（2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”，
，，
，
解得，
，
，
解得．
类型四、真假分式
1．我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比真分数、假分数，我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．假分式也可以化为带分式．如：；．则下列说法中正确的个数是（ ）
①分式是真分式；②分式是假分式；③把分式化为带分式的形式为；④将假分式化为带分式的形式为．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】①根据新定义即可判定；②根据新定义即可判定；③把分式化为带分式的形式，即可判定；④将假分式化为带分式的形式，即可判定
【详解】解：①分式是真分式，故①正确；
②分式是假分式，故②正确；
③把分式化为带分式的形式为：
，故③正确；
④将假分式化为带分式的形式为为：
，故④正确，
故正确的有4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查分式的概念，分式的混合运算，分解因式，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及新定义的理解和运用．
2．阅读下列材料：
我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是“假分式”；再如，这样的分式就是“真分式”．“假分式”也可以化为“带分式”．如：．
解决问题：分式是 （填“真分式”“假分式”），“假分式”化为“带分式”为 ．
【答案】 真分式
【分析】本题考查分式的加减运算，掌握计算法则是正确计算的前提，理解“假分式”“带分式”的意义和转化方法是解决问题的关键．根据“真分式”的意义判断即可，根据“假分式”化成“带分式”的方法转化即可
【详解】解：分式的分子的次数是0，分母的次数是1，故是真分式；
．
故答案为：真分式；．
3．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，，，这样的分式就是假分式；，，，这样的分式就是真分式．
类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：；，
再如：．
解决下列问题：
(1)分式是______分式（填“真”或“假”）；
(2)先将假分式化为带分式______，当的值为整数，求x的整数值．（写出过程）
(3)将假分式化为带分式．
【答案】(1)真
(2)，或或或
(3)
【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算．
（1）根据定义即可求出答案；
（2）先化为带分式，然后根据题意列出方程即可求出x的值；
（3）根据定义进行化简即可．
【详解】（1）解：根据题意得，分式是真分式，
故答案为：真；
（2）解：；
当的值为整数时，为整数，即为的整数倍，
∴当时，解得；
当时，解得；
当时，解得；
当时，解得；
故答案为：，或或或；
（3）解：．
1
学科网（北京）股份有限公司
$$
2.4—2.5 整数指数幂 可化为一元一次方程的分式方程
一、整数指数幂
整数指数幂是数学中的基本概念，表示一个数被自身重复相乘的次数。其中，正整数指数幂表示重复相乘，负整数指数幂则表示倒数后再重复相乘。例如，a^3表示a乘以a再乘以a，而a^-3则表示1除以(a乘以a再乘以a)。
二、可化为一元一次方程的分式方程
1、分式方程的概念
分式方程是分母中含有未知数的有理方程。其核心特征是方程形式含分母且分母含未知数，通过去分母可转化为整式方程求解。
2、分式方程的解法
解分式方程的一般步骤是“一化二解三检验”：
一化：去分母，将分式方程化为整式方程。这通常是通过方程两边同时乘以最简公分母来实现的。
二解：解整式方程，求出整式方程的解。
三检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解；若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解。检验的目的是排除增根，即由于去分母过程中未知数取值范围扩大而导致的无效解。
3、注意事项
在解分式方程时，需要注意以下几点：
去分母时，不要漏乘整式项。
增根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。增根使最简公分母等于0。
若解出的根都是增根，则原方程无解。
在列分式方程解应用题时，不仅要检验所得解是否满足方程式，还要检验是否符合题意。
巩固课内例1:同底数幂相除计算
1．计算：的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
3．计算：．
巩固课内例2:负次幂计算
1．与相等的是（ ）
A． B． C． D．
2．计算： ．
3．计算：
(1)；
(2)．
巩固课内例3:把负次幂改写成分式
1．计算：（ ）
A．4 B． C． D．
2．计算： ．
3．计算：
(1)，
(2)，
(3)，
(4)
巩固课内例4:科学记数法
1．“可燃冰”是一种新型能源，它的密度很小，可燃冰的质量仅为，用科学记数表示0.00092正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．某种细菌的直径是，将数据的相反数用科学记数法表示为
3．一个正方体盒子的棱长为．（答案均用科学记数法表示）
(1)这个集装箱的体积是多少？
(2)若有一个小立方块的棱长为，则需要多少个这样的小立方块才能将集装箱装满？
巩固课内例5:负整数幂的幂的运算
1．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．计算： ．
3．计算：
巩固课内例6:解分式方程——有解
1．分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．分式方程 的解为 ．
3．解下列方程：
(1)；
(2)．
巩固课内例7:解分式方程——无解
1．已知，关于的方程无解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于的分式方程在实数范围内无解，则实数的值为 ．
3．解分式方程
(1)
(2)
巩固课内例8:分式方程的应用——行程问题
1．某学校组织学生去离学校的红色基地开展研学活动，先遣队和大队同时出发，先遣队的速度是大队速度的倍，结果先遣队比大队早到．设大队的速度是，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？设规定的时间为x天，可列分式方程 ．
3．某班级学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先出发，出发15分钟后，剩余学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度．
类型一、分式方程的定义
1．下列方程是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号）
①；②；
③（a为常数）；④；
⑤．
3．下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？
（1）
（2）
（3）
（4）
类型二、零指数幂
1．若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．计算： ．
3．计算：
(1)；
(2)．
类型三、列分式方程
1．汉十高铁全长约400千米，动车运行后的平均速度是原来火车的倍，这样由十堰到武汉的行驶时间缩短了3小时．设原来火车的平均速度为千米/时，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．某校根据实际需要购置一批光学显微镜，已知在实体店购买这种显微镜比网上购买每台价格多81元，用21900元在网上购买的数量比在实体店购买的数量多27台．设在网上购买这种显微镜的价格为每台x元，则可列方程为 ．
3．下面是学习《分式方程的应用》时，老师板书的应用题和两名同学所列的方程．
分式方程
某校为迎接市中学生田径运动会需240面彩旗．计划由八年级（1）班的3个小组完成此任务，3个小组的人数相等．后因1个小组另有任务，剩余2个小组的每名学生要比原计划多做4面彩旗才能完成任务．那么每个小组有多少名学生？原计划每名学生做多少面彩旗？
冰冰：，
庆庆：
根据以上信息，解答下列问题．
(1)冰冰同学所列方程中的表示________，庆庆同学所列方程中的表示________；
(2)请你选择其中的一个方程解决老师提出的问题．
类型一、解分式方程
1．解分式方程时，去分母可得（ ）
A． B．
C． D．
2．方程的解为 ．
3．解方程：
(1)；
(2)
类型二、分式方程的应用——工程问题
1．某项工程，甲队单独做需要a天完成，甲、乙两队合作需要b天完成（其中），那么乙队单独完成需要做几天（ ）
A． B． C． D．
2．某项工程，乙队单独完成的天数是甲队单独完成的天数的2倍．现由甲、乙两队合作10天后，余下的工程由乙队单独来做，还需6天完工．求甲队单独完成此项工程需要多少天？设甲队单独完成此项工程需要天．根据题意，列方程为 ．
3．甲、乙两工程队承接某段高铁隧道挖掘工程．已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，并且挖掘240米的高铁隧道甲工程队比乙工程队少用4天．求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘多少米的隧道？
类型三、分式方程的应用——和差倍分问题
1．某公司运来一箱梨，共有80个，计划每名员工分若干个，结果多出5个；若每名员工多分1个，则差9个，有多少名员工？假设有x名员工，以下方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．某种罐装凉茶一箱的价格为元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，每罐的价格比原来便宜元，设每箱中有凉茶罐，则可列方程： ．
3．伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车主要有纯电动汽车和油电混合动力汽车两种．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多分钟，且花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？
类型四、分式方程的应用——顺逆问题
1．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，求江水的流速．设江水的流速为千米/时，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
2．一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间与最大航速逆流航行所用时间相等，则江水的流速为 ．
3．周口港是沙颍河上的重要港口，是河南第一大港，被誉为“长江以北内河第一大港”．年月开通了至连云港的国内集装箱航线，已知该航线上，两港之间的距离为千米，河水流速为千米/时．
(1)有一货船从港顺流航行到港所用的时间是从港逆流航行到港所用时间的，求该货船在静水中的航行速度；
(2)记某船在静水中的航行速度是千米/时，从港顺流航行到港，再从港逆流航行返回到港所用的时间________，若该船从港航行到港再返回到港均为静水航行，所用时间为_________．判断与的大小关系为，______（填“”，“”，“”）．
类型五、分式方程的应用——销售问题
1．数学家斐波那契编写的《算盘书》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．某网店用5000元购进一批新品种草莓进行试销，由于销售状况良好，网店又用11000元再次购进该品种草莓，但第二次的进货价比试销时的进货价每千克多了0.5元，第二次购进的草莓数量是试销时的2倍，则试销时该品种草莓的进货价是每千克 元．
3．在陶行知先生生活教育理念的影响下，某校在校园内开垦校园农场，培养学生的劳动意识．去年农场种植芥蓝和土豆共收获，由于劳动技能的提高，今年土豆的产量比去年提高，芥蓝产量比去年提高，总产量比去年提高．
(1)去年农场分别收获芥蓝和土豆多少千克？
(2)今年收获蔬菜时，学校利用劳动课，安排两组同学分别采摘芥蓝和土豆，每小时采摘芥蓝的质量是土豆的2.4倍，两组同学同时开始劳动，结果采摘芥蓝的小组比采摘土豆小组提前10分钟完成采摘任务．问采摘土豆小组每小时可以收获多少千克？
类型一、整数指数幂的混合运算
1．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．（，n为正整数）
2．若，则的值为 ．
3．计算：
(1)
(2)；
(3)
(4)
类型二、规律问题
1．根据等式：，，，，…的规律，则可以推算得出（ ）
A． B． C． D．
2．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．
…
则展开式中所有项的系数和是 ．
3．下面是一些方程和它们的解．
的解为，；
的解为，；
的解为，；
……
根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题：
(1)的解为______；
(2)关于的方程的解为______；
(3)试求：关于的方程的解．
类型三、新定义问题
1．对于a、b两数定义的一种运算：（其中等式右边中的和是通常意义下的乘法与加法），则下列结论：
若，，则；若，则；；当a、b互为相反数时，的值总是等于1．
其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．新定义：如果，那么我们规定．例如：因为，所以．则 ．
3．新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”
(1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母）
A．； B．
(2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值．
类型四、真假分式
1．我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比真分数、假分数，我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．假分式也可以化为带分式．如：；．则下列说法中正确的个数是（ ）
①分式是真分式；②分式是假分式；③把分式化为带分式的形式为；④将假分式化为带分式的形式为．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．阅读下列材料：
我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是“假分式”；再如，这样的分式就是“真分式”．“假分式”也可以化为“带分式”．如：．
解决问题：分式是 （填“真分式”“假分式”），“假分式”化为“带分式”为 ．
3．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，，，这样的分式就是假分式；，，，这样的分式就是真分式．
类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：；，
再如：．
解决下列问题：
(1)分式是______分式（填“真”或“假”）；
(2)先将假分式化为带分式______，当的值为整数，求x的整数值．（写出过程）
(3)将假分式化为带分式．
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