2.1—2.3 分式的概念及基本性质 分式的加、减、乘、除法 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（湘教版2024）

2.1—2.3 分式的概念及基本性质 分式的加、减、乘、除法 一、分式的概念 分式是两个整式的商式，其中分子为被除式，分母为除式，分母中含有字母。分式有意义的条件是分母不等于0。 二、分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 三、分式的约分 根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。约分后，分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式称为最简分式。 四、分式的通分 和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。通分的关键是确定几个式子的最简公分母。 五、分式的加法与减法 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母分式相加减，要先通分，化为同分母的分式，再加减。 六、分式的乘法 分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母，分别作为积的分子、分母，然后约去分子与分母的公因式。 七、分式的除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 巩固课内例1:分式有、无意义、值为0 1．若分式值为0，则x的值是（   ） A．4 B． C．3 D． 2．（1）若要使有意义，则的取值范围是 ． （2）若要使无意义，则的值是 ． 3．（1）当x取什么值时，分式的值为0； （2）当x取什么值时，分式的值为正； （3）当x取什么值时，分式的值为负． 巩固课内例2:已知x的值，求分式的值 1．若，则的值是（ ） A．1 B．5 C．4 D．3 2．若，则 ． 3．若，求的值． 巩固课内例3:最简分式 1．下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 2．把下列分式化为最简分式： （1） ； （2） ． 3．化简下列各分式. （1）；            （2）. 巩固课内例4:已知字母的值，化简求值 1．当时，分式的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 2．若，则 ． 3．先约分，再求值，其中， 巩固课内例5:分式的加减法(同分母) 1．计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 2．计算：＝ ． 3．计算 (1) (2) 巩固课内例6:通分 1．把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 2．将分式和进行通分时，分母可因式分解为 ，分母可因式分解为 ，因此最简公分母是 ． 3．通分： (1)与 (2)与． 巩固课内例7:分式的加减法(异分母) 1．下列关于分式的计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 3．化简 (1) (2) 巩固课内例8:整式与分式加减法 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算：的结果是 ． 3．化简： (1) (2) 巩固课内例9:分式的乘法(单项式) 1．计算的结果是（   ） A．m B． C． D． 2．计算： ． 3．计算：． 巩固课内例10:分式的乘法(多项式) 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．化简： 的结果为 ． 3．计算： (1)； (2)． 巩固课内例11:分式的除法(单项式) 1．计算的结果为（　　） A． B． C． D． 2．计算： . 3．计算： (1)； (2)． 巩固课内例12:分式的除法(多项式) 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算 ． 3．化简： 巩固课内例13:分式的乘方运算 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2． ． 3．计算： (1)； (2)． 类型一、用分式表示数 1．某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 2．已知某体育用品厂要生产个篮球，原计划每天生产个篮球(，且是的因数)．若实际提前1天完成任务，则该体育用品厂实际每天生产篮球 个． 3．根据规划设计，某工程队准备修建一条长的公路，由于采取新的施工方式，实际每天修建公路的长度比原计划增加，从而缩短了工期.假设原计划每天修建公路，那么 (1)原计划修建这条公路需要______天．实际修建这条公路用了______天．（用含的代数式表示） (2)实际修建这条公路的工期比原计划缩短了几天？ 类型二、等式成立 1．下列等式从左到右的变形中，一定正确的是（　　） A． B． C． D． 2．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ① ；② ； ③ ；④ ． 3．下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 类型三、最简公分母 1．分式与分式的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 2．分式，的最简公分母为 ． 3．通分： (1)，，； (2)，，． 类型一、分式的基本性质 1．若，则分式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若分式的值为5，当，都扩大为原来的2倍时，所得分式的值为 ． 3．不改变分式的值，使分子和分母中的最高次项系数都为正数： (1)； (2)． 类型二、多个分式相加减 1．下面是一道化简求值题，其中括号内的部分丢失：（   ）已知该题化简的结果是，则括号内的式子为（   ） A． B． C． D．不能确定 2．若，则代数式的值为 ． 3．已知（是常数），求的值． 类型三、分式的混合应用 1．一辆汽车以千米每小时的速度行驶，从地到地需要小时，若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加千米每小时，那么提速后从地到地需要的时间比原来减少（    ） A． B． C． D． 2．已知，则 ． 3．甲、乙两码头相距千米，已知轮船在静水中航行的速度是千米/时，水流速度是千米/时（）．如果轮船从甲码头顺流航行到乙码头，又从乙码头逆流航行到甲码头，那么这样的航行过程中，轮船的平均速度是多少？ 类型一、分式恒成立 1．若，则A、B的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．若，则 ． 3．已知，求，的值． 类型二、规律问题 1．观察下列分式：，，，，，…，按此规律第10个式子是（） A． B． C． D． 2．已知即当 为大于1的奇数时，；当 为大于1的偶数时，．则 ． 3．观察一组算式： ，，，， (1)求出前四个算式的值①____________②____________③____________④____________； (2)第10个算式有____________项，它的值是____________， (3)第n个算式是____________． 类型三、分式裂项 1．观察下列等式： 第1个等式：；         第2个等式：； 第3个等式：； ……， 按这样的规律，第n个等式为（    ） A． B． C． D． 2．观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 根据以上规律，解决下列问题： （1）写出第个等式： ； （2）计算结果等于 ． 3．下列数是按一定顺序和规律排列的：第一个数是，第二个数是，第三个数是… (1)直接写出第n个数：_____和第个数：_____（n为正整数）； (2)计算第n个数与第个数的和； (3)计算：． 类型四、新定义问题 1．定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（   ） A． B．26 C． D．3 2．设m，n是实数，定义关于@的一种运算如下：，则下列结论： ①若，，则； ②； ③不存在非零实数m，n，满足； ④若设，n是长方形的长和宽，若该长方形的周长固定，则当时，的值最大． 其中正确的是 ． 3．定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） (2)分式的“可存异分式”是________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (4)若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1—2.3 分式的概念及基本性质 分式的加、减、乘、除法 一、分式的概念 分式是两个整式的商式，其中分子为被除式，分母为除式，分母中含有字母。分式有意义的条件是分母不等于0。 二、分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 三、分式的约分 根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。约分后，分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式称为最简分式。 四、分式的通分 和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。通分的关键是确定几个式子的最简公分母。 五、分式的加法与减法 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母分式相加减，要先通分，化为同分母的分式，再加减。 六、分式的乘法 分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母，分别作为积的分子、分母，然后约去分子与分母的公因式。 七、分式的除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 巩固课内例1:分式有、无意义、值为0 1．若分式值为0，则x的值是（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子为零且分母不为零是解题的关键．根据分式值为零的条件即可求解． 【详解】解：∵分式值为0， ∴且， 解得：． 故选：D． 2．（1）若要使有意义，则的取值范围是 ． （2）若要使无意义，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式有意义与无意义的条件； （1）根据分式有意义可得，再进一步求解即可； （2）根据分式无意义可得，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵有意义， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）∵无意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（1）当x取什么值时，分式的值为0； （2）当x取什么值时，分式的值为正； （3）当x取什么值时，分式的值为负． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件，熟练掌握分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义． （1）根据分式值为0的条件解答即可； （2）分式的值为正即分子分母同号，由，得，从而得出，解答即可； （3）分式的值为负即分子分母异号，由，得，从而得出，解答即可． 【详解】解：（1）由，得， 当时，； ∴当时，分式的值为0； （2）由分式的值为正，得与同号， ∵， ∴， ∴， 解得： （3）由分式的值为负，得与异号， ∵， ∴， ∴， 解得：， 巩固课内例2:已知x的值，求分式的值 1．若，则的值是（ ） A．1 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的求值，由比例关系设参数k，将x、y、z用k表示，代入分式化简即可. 【详解】解：设，则，，， 代入分式： 分子：， 分母：， ∴； 故选：B 2．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，将代入原式中进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：5． 3．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了求分式的值；由已知得，将此整体代入分式，即可求解． 【详解】解：， ∴， ， ． 巩固课内例3:最简分式 1．下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是最简分式的定义，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键； 最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，对各选项逐一分析，判断是否存在可约分的公因式． 【详解】A．，分子分母有公因式，不是最简分式，故本选项不符合题意； B．，分子分母有公因式，不是最简分式，故本选项不符合题意； C．，分子分母有公因式，不是最简分式，故本选项不符合题意； D．分子与分母没有公因式，是最简分式，故本选项符合题意； 故选：D． 2．把下列分式化为最简分式： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的约分，以及化为最简分式； （1）约去分子分母的公因式即可； （2）约去分子分母的公因式即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：． （2）； 故答案为：． 3．化简下列各分式. （1）；            （2）. 【答案】(1)   (2).   【详解】(1) =； (2) 原式=. 故答案为(1)   (2). 点睛：本题考查的是分式的化简，本题难度适中，注意当分式的分子或分母是多项式时，通常是先进行分解因式. 巩固课内例4:已知字母的值，化简求值 1．当时，分式的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求分式的值，将代入计算即可得出答案． 【详解】解：当时，， 故选：A． 2．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值．根据题意，化简得，把代入，即可． 【详解】解：∵， 把代入， 得． 故答案为：． 3．先约分，再求值，其中， 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据完全平方公式以及平方差公式进行因式分解，再进行约分，最后将数值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 将代入， 原式． 巩固课内例5:分式的加减法(同分母) 1．计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的加法运算，将分母化为同分母，再根据同分母分式的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 2．计算：＝ ． 【答案】 【分析】本题考查同分母分式的减法，分母不变，分子相减，再进行约分化简即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 3．计算 (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了同分母分式的加减，异分母分式的加减，解题关键是掌握同分母分式的加减法则，异分母分式的加减法则． （1）直接利用同分母分式的加减法则求解； （2）先化为同分母分式的加减，再计算． 【详解】（1）解： =1； （2） ． 巩固课内例6:通分 1．把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的知识点是分式的通分，根据分式找取最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母，再按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案即可，解题的关键是明确通分的概念：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，难点是掌握找取分式最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母． 【详解】解：A、最简公分母为，故A正确，不符合题意； B、根据分数的基本性质，，故B正确，不符合题意； C、根据分数的基本性质，，故C正确，不符合题意； D、根据分数的基本性质，，故D错误，符合题意， 故选：D． 2．将分式和进行通分时，分母可因式分解为 ，分母可因式分解为 ，因此最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，通分，熟练掌握通分的方法，是解题的关键，利用平方差公式法和提公因式法进行因式分解，再利用三定法确定最简公分母即可． 【详解】解：分母可因式分解为；分母可因式分解为，因此最简公分母是； 故答案为：，， 3．通分： (1)与 (2)与． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查通分，通分是将两个或多个分数的分母化为相同的数，这个相同的数就是它们的最简公分母．然后根据分式的基本性质，将分式化为以最简公分母为分母的分式． （1）先找出最简公分母，然后根据分式的基本性质进行通分即可； （2）先找出最简公分母，然后根据分式的基本性质进行通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母是， ，． （2）解：最简公分母是， ，． 【点睛】 巩固课内例7:分式的加减法(异分母) 1．下列关于分式的计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的运算，根据分式的加、减、乘法运算，分式的约分逐一排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、 ，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 2．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的加减运算； （1）先通分化为同分母，再计算即可； （2）先通分化为同分母，再计算即可； （3）先把第一个约分，化为同分母，再计算即可； （4）先通分化为同分母，再计算即可； （5）先通分化为同分母，再计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3） ； （4） ； （5） ． 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 3．化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的减法运算，掌握分式的运算法则是解题的关键； （1）根据同分母分式的减法进行计算即可求解； （2）先通分，然后根据分式的减法进行计算，最后化为最简分式，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 巩固课内例8:整式与分式加减法 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式与分式的加减法，先通分化为同分母分式加减法计算即可 ． 【详解】原式 故答案为：A． 2．计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算．根据分式的加减运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 3．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本运算法则和运算顺序． （1）先通分，然后加减约分化为最简分式即可； （2）先通分化为同分母的分式加减解题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 巩固课内例9:分式的乘法(单项式) 1．计算的结果是（   ） A．m B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的乘法运算．先计算乘方，再计算乘法，即可求解． 【详解】解： ， 故选：A． 2．计算： ． 【答案】 【分析】根据分式乘法的运算法则，将分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母，然后约分得到结果． 本题主要考查了分式的乘法运算，熟练掌握分式乘法的运算法则（分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母）是解题的关键． 【详解】解： 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，先根据分式的乘方计算，再计算分式的乘法即可． 【详解】解： 巩固课内例10:分式的乘法(多项式) 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的乘法运算，直接根据乘法法则运算即可． 【详解】解：， 故选：B 2．化简： 的结果为 ． 【答案】 【分析】此题是分式的乘法运算．先把分子分母能因式分解的进行因式分解，再进行约分化简． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的乘法． （1）根据分式乘法法则求解即可； （2）分子分母先因式分解，再根据分式的乘法法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 巩固课内例11:分式的除法(单项式) 1．计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的除法运算，将除法转化为乘法并约分求解即可． 【详解】解：． 故选：B． 2．计算： . 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法．根据分式的除法法则计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法法则是解题的关键． （1）根据分式的乘法法则计算，即可； （2）根据分式的除法法则计算，即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 巩固课内例12:分式的除法(多项式) 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式的除法运算，根据分式的除法法则计算即可． 【详解】解： 故选：D． 2．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．将除法化为乘法，然后约分即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．化简： 【答案】 【分析】本题考查分式的除法，掌握分式除法的运算法则是解题的关键．先把除法变成乘法，同时把分式的分子与分母分解因式，再根据分式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 巩固课内例13:分式的乘方运算 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘方运算，需应用分式乘方的法则：分子、分母分别乘方，并正确处理负号即可. 【详解】解： ， 故选：B． 2． ． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘方运算，根据分式的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（）先计算分式乘方运算，再计算分式乘法运算即可得到结果； （）先利用分式除法法则变形，约分后再计算分式乘法运算即可得到结果； 本题考查了分式的乘除运算，分式乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 类型一、用分式表示数 1．某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】B 【分析】根据题意，总人数为，但宋老师自己除外，因此实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 本题考查了列代数式，分式的应用，熟练掌握列代数式的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 故选：B． 2．已知某体育用品厂要生产个篮球，原计划每天生产个篮球(，且是的因数)．若实际提前1天完成任务，则该体育用品厂实际每天生产篮球 个． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的应用，先计算原计划的时间为天，可得实际的时间为天，进一步可得答案. 【详解】解：由题意可得， 实际每天生产篮球为：， 故答案为：． 3．根据规划设计，某工程队准备修建一条长的公路，由于采取新的施工方式，实际每天修建公路的长度比原计划增加，从而缩短了工期.假设原计划每天修建公路，那么 (1)原计划修建这条公路需要______天．实际修建这条公路用了______天．（用含的代数式表示） (2)实际修建这条公路的工期比原计划缩短了几天？ 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意可用代数式表示出原计划修建这条公路需要的天数和实际修建这条公路需要的天数； （2）根据（1）中的答案可以表示出实际修建这条公路的工期比原计划缩短的天数． 【详解】（1）解：根据题意得，公路长为，计划每天修建公路， ∴原计划修建这条公路需要天， 又∵每天修建公路的长度比原计划增加， ∴实际修建这条公路用了天； （2）解：根据（1）可知， 实际修建这条公路的工期比原计划缩短了天． 【点睛】本题考查了分式的加减法，解答此类问题的关键是明确题意，用相应的分式表示出题目中的所求问题． 类型二、等式成立 1．下列等式从左到右的变形中，一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、不一定成立，不符合分式的性质，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 2．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ① ；② ； ③ ；④ ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的三个符号（分子，分母，分式本身）任意改变其中两个不改变分式的值进行变形即可. 【详解】解：①； ②； ③； ④． 故答案为： ，，， 3．下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)分子、分母同乘 (2)分子、分母同除以 (3)分子、分母同除以 (4)分子、分母同乘 【分析】根据分式的基本性质逐一解答即可． 【详解】（1）解：分子、分母同乘， ； （2）解：分子、分母同除以， ； （3）解：分子、分母同除以， ； （4）解：分子、分母同乘， ． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子和分母同时乘或除一个不等于零的数，分式的值不变是解题的关键． 类型三、最简公分母 1．分式与分式的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了最简公分母，关键是掌握如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．首先把分母分解因式，然后再确定最简公分母即可． 【详解】解：， 分式与分式的最简公分母是， 故选：C． 2．分式，的最简公分母为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母的定义，确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 根据最简公分母的定义即可求解． 【详解】解：分式，的最简公分母为， 故答案为：． 3．通分： (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】（1）先找出最简公分母，然后通分即可； （2）先找出最简公分母，然后通分即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴，，的最简公分母为：， ∴三个分式通分为：，，． （2）解：∵， ， ， ∴分式，，的最简公分母为：， 三个分式通分为：，，． 【点睛】本题主要考查了通分，解题的关键是熟记最简公分母的定义，找出各个分母数字因数的最小公倍数，相同字母以及指数的最高次幂，即可写出各分式的最简公分母． 类型一、分式的基本性质 1．若，则分式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由已知条件，将分式的分子部分因式分解用该条件替换，化简后即可求解． 本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用因式分解法将分式化简． 【详解】∵ ∴ ． 故选：D． 2．若分式的值为5，当，都扩大为原来的2倍时，所得分式的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查判断分式的值的变化情况，根据分式的基本性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当，都扩大为原来的2倍时：； 故答案为：10 3．不改变分式的值，使分子和分母中的最高次项系数都为正数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用分式的基本性质在分子分母都乘以即可得出正确答案； （2）运用分式的基本性质在分子分母都乘以即可得出正确答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题关键． 类型二、多个分式相加减 1．下面是一道化简求值题，其中括号内的部分丢失：（   ）已知该题化简的结果是，则括号内的式子为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了分式混合运算，括号内的式子为，进行分式混合运算，即可求解；能熟练进行分式混合运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ； 故选：C． 2．若，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值、利用完全平方公式分解因式，首先根据分式的运算法则把分式整理，可得：原式，把代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 故答案为：. 3．已知（是常数），求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式运算，涉及解三元一次方程组，熟练掌握分式混合运算方法步骤及三元一次方程组的解法是解决问题的关键．先通分将化为，再由分式相等得到方程组，利用消元法解三元一次方程组即可得到答案． 【详解】解： ， ， 解得． 类型三、分式的混合应用 1．一辆汽车以千米每小时的速度行驶，从地到地需要小时，若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加千米每小时，那么提速后从地到地需要的时间比原来减少（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了代数式，分式的实际应用，根据题意求出全程，及提速后行驶的速度，相除即可得到提速后行驶的时间，原来行驶时间减去提速后行驶的时间，即得比原来减少的时间． 【详解】解：A地到B地的路程为千米，提速后的速度：千米每小时，提速后的时间：小时， ∴提速后从A地到B地比原来减少的时间：（小时）． 故选：B． 2．已知，则 ． 【答案】/0.8 【分析】先根据题意得出，再代入代数式进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解：， ， 原式 故答案为： 3．甲、乙两码头相距千米，已知轮船在静水中航行的速度是千米/时，水流速度是千米/时（）．如果轮船从甲码头顺流航行到乙码头，又从乙码头逆流航行到甲码头，那么这样的航行过程中，轮船的平均速度是多少？ 【答案】这样的航行过程中，轮船的平均速度是 【分析】本题主要考查分式混合运算，正确列出分式方程是本题解题关键．根据平均速度=总路程÷总时间，得出分式，再进行分式的混合运算，即可求解． 【详解】解：根据题意得 答：这样的航行过程中，轮船的平均速度是． 类型一、分式恒成立 1．若，则A、B的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，二元一次方程组的解法，利用通分将右边化成左边的相同形式，并让所得分子的对应系数相等是解题的关键． 右边较为复杂，可以从右边到左边，因此先将右边通分，使前后形式一致，然后让对应的系数相等，即可求出A，B． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴， 得：， ∴． 将代入①中，解得：， ∴方程组的解为：． 故选B． 2．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的加减运算，解二元一次方程组，对等式的右边进行通分相加，然后根据等式左右两边的分母相同，得到分子相同．根据两个多项式相等，则其同类项的系数应当相等，得到关于的方程，再解方程组即可． 【详解】解：∵ ， 而， ∴， ∴ ， 解得：， 故答案为： 3．已知，求，的值． 【答案】A的值为，的值2． 【分析】此题主要考查了异分母分式加减法的运算法则，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握通分的方法，把异分母分式的加减法转化为同分母分式的加减法．此题还考查了二元一次方程组的求解方法，要熟练掌握． 首先根据通分的方法，把异分母分式的加减法转化为同分母分式的加减法，然后根据等号左右两边分式的分子相同，列出关于A、B的二元一次方程组，再解方程组，求出A、B的值是多少即可． 【详解】解： ， ∵ ∴， ∴， 解得． 答：A的值为，的值2． 类型二、规律问题 1．观察下列分式：，，，，，…，按此规律第10个式子是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式中的规律探究，观察可知，奇数位的符号为正，偶数位的符号为负，第个式子的分母为，分子为，进行求解即可． 【详解】解：∵，，，，，… ∴奇数位的符号为正，偶数位的符号为负，第个式子的分母为，分子为， ∴第10个式子是； 故选：D． 2．已知即当 为大于1的奇数时，；当 为大于1的偶数时，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的规律性问题，根据定义求出至，可知从开始，的值每6个一循环，结合，可知，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意知：， ， ， ， ， ， ， …… 以此类推，可知从开始，的值每6个一循环， ， ， 故答案为：． 3．观察一组算式： ，，，， (1)求出前四个算式的值①____________②____________③____________④____________； (2)第10个算式有____________项，它的值是____________， (3)第n个算式是____________． 【答案】(1)，，， (2)21,11 (3) 【分析】此题考查数字的变化规律，有理数的计算，分式， （1）根据已知的式子计算，并找到规律，即可作答； （2）根据已知的式子，找到项数的规律即可作答； （3）按照已知的式子来书写即可作答． 【详解】（1）第1个式子，， 第2个式子，， 第3个式子，， 第4个式子，， 依次类推可知：第n个式子，和为； 故答案为：，，，． （2）第1个式子，项， 第2个式子，项， 第3个式子，项， 依次类推：第n个式子，项， 当时，项， 即：第10个式子有21项，根据（1）的结论可知：其和为11， 故答案为：21,11； （3）根据规律可知：第n个算式是， 故答案为：． 类型三、分式裂项 1．观察下列等式： 第1个等式：；         第2个等式：； 第3个等式：； ……， 按这样的规律，第n个等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给的等式，分析数字变化的规律，再进行总结即可． 【详解】解：∵第1个等式：；         第2个等式：； 第3个等式：； ……， 可以看出：等式的左边是两个连续整数的倒数和与它们积的倒数的差，等式右边分母与左边较大整数相同，分子是2， 按这样的规律，第n个等式为： 故选：B． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式分析清楚存在的规律． 2．观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 根据以上规律，解决下列问题： （1）写出第个等式： ； （2）计算结果等于 ． 【答案】 【分析】（1）观察等式，分母为连续两个偶数的乘积，分子为2，等式的右边等于这两个连续偶数的倒数的差； （2）根据（1）的规律即可求解． 【详解】（1）由题意得：， 故答案为：； （2）观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式为：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键． 3．下列数是按一定顺序和规律排列的：第一个数是，第二个数是，第三个数是… (1)直接写出第n个数：_____和第个数：_____（n为正整数）； (2)计算第n个数与第个数的和； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，分式加减运算，有理数四则混合运算，根据给出的数据得出一般规律，是解题的关键． （1）观察规律得出第n个数为：，第个数为即可； （2）根据分式加减运算法则计算即可； （3）根据进行变形，再化简即可得到答案． 【详解】（1）解：∵第一个数是， 第二个数是， 第三个数是…， ∴第n个数为：，第个数为； （2）解： ； （3）解： ． 类型四、新定义问题 1．定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（   ） A． B．26 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了新定义的运算． 根据“互助数”的定义，结合已知条件建立方程，通过代数变形和不等式求解确定p的取值范围，并验证选项中的可能值． 【详解】解：∵和为“互助数”， ∴， 整理得 ∵ ∴， 即， ∴， ∴ ∵， ∴ 解得或， ∴或 四个选项中只有3和26符合题意， 当时，，此时，，分母无意义，舍去． 当时，，满足，且， 故选：B． 2．设m，n是实数，定义关于@的一种运算如下：，则下列结论： ①若，，则； ②； ③不存在非零实数m，n，满足； ④若设，n是长方形的长和宽，若该长方形的周长固定，则当时，的值最大． 其中正确的是 ． 【答案】②③④ 【分析】根据所给新定义，可得，再分别判断． 【详解】解：∵， ①， ∴==8， ∴mn=2， ∴，故错误； ②=， ， ∴，故正确； ③， ∴， ∴， 当m-2n=0，n=0， ∴m=0， ∴不存在非零实数m，n，满足，故正确； ④∵m@n=（m+n）2-（m-n）2=4mn， （m-n）2≥0，则m2-2mn+n2≥0，即m2+n2≥2mn， ∴m2+n2+2mn≥4mn， ∴4mn的最大值是m2+n2+2mn，此时m2+n2+2mn=4mn， 解得m=n， ∴m@n最大时，m=n，故正确， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查因式分解的应用、整式的混合运算，分式的乘除，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 3．定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） (2)分式的“可存异分式”是________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (4)若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)①；②分式A的值是1，3，5； (4)520 【分析】（1）根据“可存异分式”的定义进行判断即可； （2）设的“可存异分式”为，根据定义得出，利用分式混合运算法则求出N即可； （3）①根据“可存异分式”的定义列式计算即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （4）设关于的分式的“可存异分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，得出，求出，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式不是分式的“可存异分式”； 故答案为：不是． （2）解：设的“可存异分式”为，则， ∴， ∴ ． 故答案为：． （3）①∵分式是分式A的“可存异分式”， ∴， ∴， ∴ ； ②∵整数使得分式A的值是正整数，， ∴时，， 时，， 时，， ∴分式A的值是1，3，5； （4）解：设关于的分式的“可存异分式”为M，则： ， ∴ ， ∵关于的分式是关于的分式的“可存异分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$