1.1—1.3 多项式的因式分解 提公因式法 公式法 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（湘教版2024新教材）

1.1—1.3 多项式的因式分解 提公因式法 公式法 一、多项式的因式分解 把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解。因式分解的对象是多项式，结果是整式的积。因式分解是恒等变形，形式改变但值不变。因式分解必须分解到每个因式不能再分解为止。 二、提公因式法 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 找公因式的方法： 1. 公因式的系数：取各项系数的最大公因数。如果原来多项式的第一项系数为负，则把负号提出，此时括号内的各项要变号。 2. 公因式含的字母是各项中相同的字母，字母的指数取各项中次数最低的。 提公因式法分解因式的步骤： 第一步，找出公因式；第二步，提公因式。 三、公式法 利用分解因式与整式乘法的互逆关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。 常见的公式法包括： 1. 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)。如果一个多项式是二项式，且这两项都可以写成平方的形式，并且符号相反，那么这个多项式就可以利用平方差公式进行因式分解。 2. 完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2。如果一个多项式是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的完全平方，这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，那么这个多项式就可以利用完全平方公式进行因式分解。 巩固课内例1:因式分解与多项式乘积关系 1．多项式可分解因式为，那么等于（　　） A． B． C． D． 2．多项式的一个因式为，则m的值为 ． 3．已知多项式因式分解的结果为，求a，b的值． 巩固课内例2:因式分解的定义 1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是 ． 3．下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)； (2)； (3)． 巩固课内例3:提公因式法——单项式乘多项式(两项) 1．如图是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A．甲、乙的结果都正确 B．甲、乙的结果都不正确 C．只有甲的结果正确 D．只有乙的结果正确 2．因式分解： ． 3．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固课内例4:提公因式法——单项式乘多项式(三项) 1．下列分解因式错误的是（    ） A． B． C． D． 2．用提公因式法分解因式时，提取的公因式是 3．分解因式： (1)； (2)． 巩固课内例5:提公因式法——多项式乘多项式 1．分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 2．因式分解： ． 3．因式分解：； 巩固课内例6:平方差法——二次 1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．分解因式： 3．分解因式： (1)； (2)． 巩固课内例7:平方差法——高次 1．在多项式①，②，③，④，⑤中，能用平方差公式分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在实数范围内分解因式： ． 3．分解因式： (1)； (2)． 巩固课内例8:完全平方公式法——二次 1．下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．因式分解： ． 3．分解因式： (1)； (2)． 巩固课内例9:完全平方公式法——高次 1．在多项式中添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，嘉嘉和琪琪的做法如下： 嘉嘉：添加，得到； 琪琪：添加，得到． 则下列判断正确的是（   ） A．只有嘉嘉的做法正确 B．只有琪琪的做法正确 C．嘉嘉和琪琪的做法都正确 D．嘉琪和琪琪的做法都不正确 2．已知：，则的值为 ． 3．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 类型一、公因式 1．用提公因式法分解因式时，提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 2．多项式的公因式是 ． 3．下面为李老师在黑板上布置的因式分解的作业题目： ①； ②； ③． 一位同学完成了题目③． (1)题目①的公因式为__________． (2)完成李老师布置的题目②． (3)该同学完成的题目③是否正确？若正确，请说明II处应用的因式分解的方法；若不正确，请直接写出错误的位置（直接回答“I”或“II”）． 类型二、完全平方式 1．下列式子中是完全平方式的是（　　） A． B． C． D． 2．如果关于的二次三项式是完全平方式，则的值是 ． 3．在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．杨老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宋的解题步骤如下： 的最小值为 小宋的解法及结果得到了杨老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式中；；是完全平方式的有______．（请填写序号） (2)若是一个完全平方式，则的值等于______为常数）． (3)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 类型三、不含某项 1．已知，，下列说法正确的个数是（   ） ①若不含二次项，则； ②若不含二次项，则； ③若的值与x的取值无关，则； ④若，恒成立． A．1 B．2 C．3 D．4 2．如果两个多项式有公因式，则称这两个多项式为关联多项式，若x2﹣25与（x＋b）2为关联多项式，则b＝ ；若（x＋1）（x＋2）与A为关联多项式，且A为一次多项式，当A＋x2﹣6x＋2不含常数项时，则A为 ． 3．已知的展开式中不含的二次项， ，求： (1)的值； (2)的值． 类型一、已知代数式的值，化简求值 1．已知，则代数式的值是（    ） A．6 B．2 C．8 D．4 2．已知，，则 ． 3．已知，求． 类型二、简便计算 1．利用因式分解简便计算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．运用因式分解简便计算： ． 3．用乘法公式简便计算： (1) (2) 类型三、提公因式法与公式法结合 1．分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 2．因式分解： ． 3．分解因式： (1)； (2)． 类型一、整除问题 1．对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（    ） A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除 2．对于任意一个各数位均不为零的四位数，满足千位与百位的数字之差等于个位与十位的数字之差，则称为“差数”，将这个“差数”的个位与千位数字交换，十位与百位数字交换得到一个新的四位数，记，则 ；若都为“差数”，记的千位数字与个位数字分别为，记的千位数字与个位数字分别为．当能被9整除时，有成立，则满足条件的的最小值为 ． 3．观察下列各式：；；，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的__________倍； (2)设偶数为，请证明：比大5的数与的平方差能被5整除． 类型二、十字相乘法 1．多项式因式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 2．因式分解： ． 3．多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”分解因式的公式． 示例：分解因式． 尝试分解因式： (1)________； (2)________； (3)________． 类型三、分组分解法 1．已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 2．因式分解 ． 3．第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有 ．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________； 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：； 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1—1.3 多项式的因式分解 提公因式法 公式法 一、多项式的因式分解 把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解。因式分解的对象是多项式，结果是整式的积。因式分解是恒等变形，形式改变但值不变。因式分解必须分解到每个因式不能再分解为止。 二、提公因式法 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 找公因式的方法： 1. 公因式的系数：取各项系数的最大公因数。如果原来多项式的第一项系数为负，则把负号提出，此时括号内的各项要变号。 2. 公因式含的字母是各项中相同的字母，字母的指数取各项中次数最低的。 提公因式法分解因式的步骤： 第一步，找出公因式；第二步，提公因式。 三、公式法 利用分解因式与整式乘法的互逆关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。 常见的公式法包括： 1. 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)。如果一个多项式是二项式，且这两项都可以写成平方的形式，并且符号相反，那么这个多项式就可以利用平方差公式进行因式分解。 2. 完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2。如果一个多项式是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的完全平方，这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，那么这个多项式就可以利用完全平方公式进行因式分解。 巩固课内例1:因式分解与多项式乘积关系 1．多项式可分解因式为，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，利用单项式乘以多项式，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ∴M为：， 故选：D． 2．多项式的一个因式为，则m的值为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．设分解后的另一个因式为，利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可． 【详解】解：设分解后的另一个因式为， 根据题意得：， 可得，， 解得：，， 故答案为：． 3．已知多项式因式分解的结果为，求a，b的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查因式分解的定义以及多项式乘多项式； 把展开后的多项式各项系数与的各项系数进行对比，即可得到答案． 【详解】解：因为，多项式因式分解的结果为， 所以， 所以，． 巩固课内例2:因式分解的定义 1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义； 因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A.是整式乘法，不是因式分解； B.等式右边不是整式乘积的形式，不是因式分解； C.是因式分解； D.等式右边不是整式乘积的形式，不是因式分解； 故选：C． 2．下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是 ． 【答案】④ 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：①中不是整式，它不是因式分解； ②是乘法运算，它不是因式分解； ③中等号左边是单项式，它不是因式分解； ④符合因式分解的定义，它是因式分解． 故答案为：④． 3．下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是因式分解；不是整式乘积的形式 (2)是因式分解；是两个整式乘积的形式 (3)不是因式分解；不是整式乘积的形式 【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式表示为几个整式的积的形式；熟悉因式分解的定义是关键； （1）根据因式分解的定义判断即可； （2）根据因式分解的定义判断即可； （3）根据因式分解的定义判断即可； 【详解】（1）解：，左边是整式的乘积形式，右边是多项式，是整式的乘法，故不是因式分解； （2）解：，左边是多项式，右边是两个多项式的乘积形式，故是因式分解； （3）解：，右边不是整式乘积的形式，故不是因式分解． 巩固课内例3:提公因式法——单项式乘多项式(两项) 1．如图是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A．甲、乙的结果都正确 B．甲、乙的结果都不正确 C．只有甲的结果正确 D．只有乙的结果正确 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解，进行判断即可． 【详解】解：；； 故甲、乙的结果都正确． 故选A． 2．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，解题关键是掌握提公因式法分解因式． （1）、（2）、（3）、（4）利用提公因式法分解因式． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 巩固课内例4:提公因式法——单项式乘多项式(三项) 1．下列分解因式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 根据提公因式法因式分解的方法逐项求解判断即可． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，原计算错误，符合题意； D、，正确，不符合题意． 故选：C． 2．用提公因式法分解因式时，提取的公因式是 【答案】 【分析】此题考查了提公因式法分解因式，正确找到最大公因式是解题的关键．利用提公因式法分解因式即可得到答案． 【详解】解：． ∴提取的公因式是． 故答案为：． 3．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，找到公因式是解题的关键； （1）提取公因式m，即可分解因式； （2）提取公因式x，即可分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固课内例5:提公因式法——多项式乘多项式 1．分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，直接提公因式，即可求解． 【详解】解： ， 故选：D． 2．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握用提取公因式法分解因式． 对原式变形，提取公因式即可． 【详解】解： 故答案为： 3．因式分解：； 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，直接提公因式，即可求解． 【详解】解： ． 巩固课内例6:平方差法——二次 1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用平方差公式分解因式，熟知是解题的关键．根据平方差公式进行判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； B、，能用平方差公式分解因式，符合题意； C、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； D、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； 故选：B． 2．分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为： 3．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，熟练掌握公式法因式分解是解题的关键． （）利用平方差公式分解即可； （）利用平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固课内例7:平方差法——高次 1．在多项式①，②，③，④，⑤中，能用平方差公式分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟知平方差公式是解题的关键．根据平方差公式的特征，即可求解． 【详解】解：①，不能应用平方差公式分解； ②，是平方和，不能应用平方差分解； ③，符合平方差的特征，可以应用平方差分解； ④，符合平方差的特征，可以应用平方差分解； ⑤，符合平方差的特征，可以应用平方差分解； 综上所述：题中能用平方差公式分解的有③④⑤，共3个． 故选：C． 2．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解即可． 本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了提公因式法，平方差公式分解因式，熟练掌握提公因式法及公式法因式分解是解题的关键． （1）利用平方差公式分解即可； （2）先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固课内例8:完全平方公式法——二次 1．下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式的结构特点：两数的平方和，加上或减去这两数乘积的2倍，是解题的关键；逐项判断是否符合完全平方公式即可． 【详解】解：A、，常数项为负数，不符合完全平方公式的特点，故不能用完全平方公式进行分解因式； B、，符合完全平方公式的特点，故能用完全平方公式进行分解因式； C、，有两数的平方和，一次项不等于这两个数乘积的2倍，故不能用完全平方公式进行分解因式； D、，只有两项，一个完全平方公式必须有三项，故不能用完全平方公式进行分解因式； 故选：B． 2．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了用公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键；由完全平方公式即可分解因式． 【详解】解：， 故答案为：． 3．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． （2）运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解：． 巩固课内例9:完全平方公式法——高次 1．在多项式中添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，嘉嘉和琪琪的做法如下： 嘉嘉：添加，得到； 琪琪：添加，得到． 则下列判断正确的是（   ） A．只有嘉嘉的做法正确 B．只有琪琪的做法正确 C．嘉嘉和琪琪的做法都正确 D．嘉琪和琪琪的做法都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了利用公式法因式分解，利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：添加，，故嘉嘉的做法正确； 添加，，故琪琪的做法正确， 故选：C． 2．已知：，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，求代数式的值，将化为，再整体代入计算即可．利用整体代入思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴的值为． 故答案为：． 3．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，能灵活运用各种方法分解因式是解此题的关键． （1）原式先运用平方差公式分解，再运用完全平方公式分解即可； （2）原式先提取公因式分解，再运用平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型一、公因式 1．用提公因式法分解因式时，提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查公因式，掌握公因式的定义是解题的关键．根据公因式的定义可求解． 【详解】解：用提公因式法分解因式时，提取的公因式是． 故选C． 2．多项式的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的确定，能熟记多项式的公因式的定义是解此题的关键． 根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式． 【详解】解：多项式的公因式是， 故答案为：． 3．下面为李老师在黑板上布置的因式分解的作业题目： ①； ②； ③． 一位同学完成了题目③． (1)题目①的公因式为__________． (2)完成李老师布置的题目②． (3)该同学完成的题目③是否正确？若正确，请说明II处应用的因式分解的方法；若不正确，请直接写出错误的位置（直接回答“I”或“II”）． 【答案】(1) (2) (3)不正确，错误的位置是II 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解此题的关键． （1）根据公因式是各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积即可得解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （3）根据解答过程分析即可得解． 【详解】（1）解：题目①的公因式为； （2）解：； （3）解：根据解答过程可得，该同学完成的题目③不正确，错误的位置是II，再利用完全平方公式分解时分解错误，正确应为． 类型二、完全平方式 1．下列式子中是完全平方式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方式，熟记公式结构：两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，是解题的关键． 根据完全平方公式结构对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A.，故本选项正确； B.应为，故本选项错误； C.应为，故本选项错误； D.应为，故本选项错误． 故选：A． 2．如果关于的二次三项式是完全平方式，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方式，解一元一次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．原式利用完全平方公式的结构特征得出关于的方程，再求解即可． 【详解】解：∵关于的二次三项式是完全平方式， ∴， 当时，无解； 当时， 解得：， 故答案为：． 3．在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．杨老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宋的解题步骤如下： 的最小值为 小宋的解法及结果得到了杨老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式中；；是完全平方式的有______．（请填写序号） (2)若是一个完全平方式，则的值等于______为常数）． (3)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【答案】(1)； (2)； (3)有最小值，值为． 【分析】本题考查的是利用完全平方式的特点及其非负性求解代数式的最值，解决本题的关键是利用完全平方式的特点把代数式变形． （1）如果代数式可以写成，这个代数式是完全平方式，否则不是完全平方式； （2）因为是一个完全平方式，所以可以写成的形式，又因为，所以； （3）把代数式整理，可得：原式，根据平方的非负性质可知有最小值，最小值是. 【详解】（1）解：不符合完全平方式的形式， 不是完全平方式； 符合完全平方式的形式， 是完全平方式； 不符合完全平方式的形式， 不是完全平方式； 符合完全平方式的形式， 是完全平方式； 是完全平方式， 故答案为：； （2）解：是一个完全平方式， ， ， 故答案为：； （3）解： ， ， ， 有最小值，最小值是. 类型三、不含某项 1．已知，，下列说法正确的个数是（   ） ①若不含二次项，则； ②若不含二次项，则； ③若的值与x的取值无关，则； ④若，恒成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，多项式乘以多项式不含某一项问题，完全平方公式，根据整式的加减运算法则，多项式乘以多项式的法则，完全平方公式分解因式，逐一进行计算后，判断即可． 【详解】解：①：， 不含二次项， 则二次项系数 ． 解得 ． 结论正确． ②： 不含二次项时，系数 ， 解得 ，而非 ． 结论错误． ③：． 与 无关时，二次项系数 ． 解得，而非． 结论错误． ④：当，． 恒成立． 结论正确． 综上，正确的说法为①和④，共2个． 故选：B． 2．如果两个多项式有公因式，则称这两个多项式为关联多项式，若x2﹣25与（x＋b）2为关联多项式，则b＝ ；若（x＋1）（x＋2）与A为关联多项式，且A为一次多项式，当A＋x2﹣6x＋2不含常数项时，则A为 ． 【答案】 ±5 -2x-2或-x-2 【分析】先将x2-25因式分解，再根据关联多项式的定义分情况求出b；再分A=k（x+1）=kx+k或A=k（x+2）=kx+2k两种情况，根据不含常数项． 【详解】解：①∵x2-25=（x+5）（x-5）， ∴x2-25的公因式为x+5、x-5． ∴若x2-25与（x+b）2为关联多形式，则x+b=x+5或x+b=x-5． 当x+b=x+5时，b=5． 当x+b=x-5时，b=-5． 综上：b=±5． ②∵（x+1）（x+2）与A为关联多项式，且A为一次多项式， ∴A=k（x+1）=kx+k或A=k（x+2）=kx+2k，k为整数． 当A=k（x+1）=kx+k（k为整数）时，若A+x2-6x+2不含常数项，则k+2=0，即k=-2． ∴A=-2（x+1）=-2x-2． 当A=k（x+2）=kx+2k（k为整数）时，若A+x2-6x+2不含常数项，则2k+2=0，即k=-1． ∴A=-x-2． 综上，A=-2x-2或A=-x-2． 故答案为：±5，-2x-2或-x-2． 【点睛】本题主要考查多项式、公因式，熟练掌握多项式、公因式的意义是解决本题的关键． 3．已知的展开式中不含的二次项， ，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式不含某一项，因式分解，以及非负性． （1）根据多项式乘多项式的法则，进行化简后，根据展开式中不含的二次项，得到的二次项的系数为0，求出的值，即可； （2）将等式的左边进行因式分解后，利用非负性求出的值，再将的值代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：， ∵展开式不含的二次项， ∴， ∴； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型一、已知代数式的值，化简求值 1．已知，则代数式的值是（    ） A．6 B．2 C．8 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，因式分解．利用平方差公式变形进行求解即可． 【详解】解：当时， ， 故选：D． 2．已知，，则 ． 【答案】66 【分析】本题考查了代数式求值，先利用因式分解得，进而求得，再利用完全平方公式将所求式子变形为，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 故答案为：66． 3．已知，求． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键． 将所求的代数式利用提公因式法和公式法进行因式分解，然后代入求值即可． 【详解】解： ． 类型二、简便计算 1．利用因式分解简便计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用提取公因式法进行计算即可判断． 【详解】解： 故答案选B． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解． 2．运用因式分解简便计算： ． 【答案】25 【分析】此题考查了运用因式分解简便计算，将分母中的变形为，再利用平方差公式计算，然后去括号求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：25． 3．用乘法公式简便计算： (1) (2) 【答案】(1)1600 (2)9 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）运用完全平方公式进行计算即可； （2）运用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型三、提公因式法与公式法结合 1．分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用平方差公式分解，再提取公因式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先套用公式，再提取公因式分解是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：A． 2．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，注意分解要彻底．根据提公因式法，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了因式分解，熟知各因式分解技巧是解题的关键． （1）先提公因式，再用公式法因式分解即可； （2）先去括号，再利用分组分解法即可解答． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 类型一、整除问题 1．对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（    ） A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方公式，提取公因式进行因式分解．多项式利用完全平方公式计算，合并同类项进行化简，然后提取公因式进行因式分解，即可做出判断． 【详解】解： ， 无论为奇数或偶数，与必为一奇一偶，其乘积为偶数， 故． 该式恒为8的倍数，因此对任意整数，原式必被8整除． 故选：B． 2．对于任意一个各数位均不为零的四位数，满足千位与百位的数字之差等于个位与十位的数字之差，则称为“差数”，将这个“差数”的个位与千位数字交换，十位与百位数字交换得到一个新的四位数，记，则 ；若都为“差数”，记的千位数字与个位数字分别为，记的千位数字与个位数字分别为．当能被9整除时，有成立，则满足条件的的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减应用，根据定义得到，，进一步求出，由此即可求出；由“差数”的特征得出，，当能被9整除时，得到，得出的最小值为，由进一步得到，根据当取最小值时，取最小值，而且是的约数，可得，，进而得出的最小值为．由此求出的最小值. 【详解】解：，， ∴ 若都为“差数”，记的千位数字与个位数字分别为、，记的千位数字与个位数字分别为、． 记的千位数字与个位数字分别为，千位与百位的数字之差为，则 ， ∴ 同理可得：， 当能被9整除时，即 可被 9 整除，而且、均为 1 到 9 的整数， ∴，即， ∴的最小值为， ∵， ∴，即： ∴， ∵当取最小值时，取最小值，而且是的约数， ∴，，当百位最小时，最小， ∴ ∴的最小值为． 故答案为：；． 3．观察下列各式：；；，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的__________倍； (2)设偶数为，请证明：比大5的数与的平方差能被5整除． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了规律探究，找出规律是解题的关键． （1）由已知式子得，即可求解； （2）由题意得，即可得证． 【详解】（1）解：由题意得 ， 故答案为：； （2）证明： ， 能被5整除， 能被5整除， 故：比大5的数与的平方差能被5整除． 类型二、十字相乘法 1．多项式因式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将二次三项式因式分解，需找到两个数使其积为常数项，和为一次项系数，逐项验证即可． 【详解】解：分解条件：设分解形式为， 需满足：，， 寻找整数解：可能的因数组合为：和（和为，积为）， 验证选项：选项B：，展开得，与原式一致， 其他选项均不符合条件， 故选：B． 2．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，直接利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”分解因式的公式． 示例：分解因式． 尝试分解因式： (1)________； (2)________； (3)________． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了用十字相乘法因式分解，理解因式分解——十字相乘法的运算方法是解题的关键． （）仿照例题方法分解因式即可； （）仿照例题方法分解因式即可； （）把看成整体，然后仿照例题方法分解因式即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：． 类型三、分组分解法 1．已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解和代数式求值，解题的关键是对进行因式分解． 由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可． 【详解】解：因为，， ∴ ， 将，代入得： ， 故选：C． 2．因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解．先分组，再根据完全平方公式和平方差公式分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有 ．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）________； 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：； 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）这个三角形为等边三角形，见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用、等边三角形的定义，解决本题的关键是利用正确方法将式子进行因式分解． （1）将式子分成两组，分别提取公因式，然后出现一个新的公因式，再提取公因式即可； （2）将式子分成两组，分别提取公因式，然后出现一个新的公因式，再提取公因式即可； （3）由可得，求出，因为三角形的三边长分别是a、b、c，所以这个三角形是等边三角形． 【详解】解：（1）， 故答案为： （2） ； （3）这个三角形为等边三角形． 理由：， ， ， 即， ，， ，， 这个三角形是等边三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$