18.5 第1课时 分式方程及其解法-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件(人教版2024)安徽专版

第十八章 分 式 18.5 分式方程 第1课时 分式方程及其解法 学习目标 1.了解分式方程的概念，能判断一个等式是不是分式方程. 2.掌握解分式方程的基本思路和一般步骤. 3.理解分式方程可能无解的原因. 难点 重点 掌握解分式方程的基本思路和一般步骤． 理解分式方程可能无解的原因. 学习重难点 2 回顾旧知 1.方程的概念 含有未知数的等式. 2.一元一次方程 只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式. 3.二元一次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程. 3 新课讲授 知识点1 分式方程的定义 一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h,它以最大航速沿江顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？ 情境引入 解：设江水的流速为v km/h. 4 定义： 此方程的分母中含有未知数v，像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程. 分式方程必须满足的条件： （1）是方程； （2）含有分母； （3）分母中含有未知数. 三者缺一不可. 例1 下列式子：① ；② ；③ ； ④ ；⑤ .其中，分式方程有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 例题解读 思考：如何解这个分式方程呢？ （2）怎样去分母？ 在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都去掉？ （3）这样做的依据是什么？ 解分式方程最关键的步骤是什么？ （1）如何把它化为整式方程呢？ “去分母” 去分母 分式方程 整式方程 转化 知识点2 分式方程的解法 方程各分母的最简公分母是：（30+v）(30-v) 解：方程①两边同乘（30+v)(30-v)，得 检验：将v=6代入原分式方程中，左边= =右边，因此v=6是原分式方程的解. 90（30-v)=60(30+v)， 解得 v=6. v=6是原分式方程的解吗？ 由上可知，江水的流速为6 km/h. 解分式方程①的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母” 即方程两边同乘最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法. 归纳 运用上述“去分母化为整式方程”的方法解分式方程 检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解，实际上，这个分式方程无解. 解：方程②两边同乘(x+5)(x-5)，得 x+5=10， 解得 x=5. x=5是原分式方程的解吗？ 思考： 上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解， 而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 真相揭秘： 分式两边乘了同一个不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同. 我们再来观察去分母的过程: 90(30-v)=60(30+v) 两边同乘(30+v)(30-v) 当v=6时,(30+v)(30-v)≠0 真相揭秘：分式两边乘了同一个等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解. x+5=10 两边同乘(x+5)(x-5) 当x=5时, (x+5)(x-5)=0 产生增根的原因 分式方程本身就隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程时，未知数的取值范围扩大了，因此就有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原分式方程，会使原分式方程的分母为0. 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能 使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验． 看这个整式方程的解是不是原分式的解 分式方程解的检验------必不可少的步骤 检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 例2 解方程 解： 方程两边乘x(x-3),得 2x=3x-9. 解得 x=9. 检验：当x=9时，x(x-3) ≠0. 所以，原分式方程的解为x=9. 例3 解方程 解： 方程两边乘(x-1)(x+2),得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3. 解得 x=1. 检验：当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 因此x=1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 解分式方程的一般步骤 分式方程 整式方程 去分母 解整式方程 x =m 检验 x =m是分式 方程的解 x =m不是分式 方程的解 最简公分母是 否为0？ 否 是 一化 二解 三检验 若关于x的分式方程 无解，求m的值． 例4 解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解： ①一元一次方程无解；②分式方程有增根． 解：方程两边都乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)， 即(m－1)x＝－10. ①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1. ②方程有增根，则x＝2或x＝－2， 当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4； 当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6. 综上，m的值是1，－4或6. 方法总结：分式方程无解与分式方程有增根的意义是不一样的． 分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数；分式方程无解不仅包括使最简公分母为0的数，还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数． 小结 分式 方程 定义 分母中含有未知数的方程叫作分式方程 注意 (1)去分母时，原方程的整式部分漏乘 解法 一化（分式方程转化为整式方程）； 二解（解整式方程）； 三检验（代入最简公分母看是否为零） (2)去分母后，分子是多项式时,没有添括号 (3)忘记检验 随堂小测 D 2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘（ ） A. 3y-6 B. 3y C. 3 (3y-6) D. 3y (y-2) 1. 下列方程： 分式方程有（ ） A.1个 B.2个 C. 3个 D.4个 B 3. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ ） A. 2（x-8)+5x=16(x-7) B. 2(x-8)+5x=8 C. 2(x-8)-5x=16(x-7) D. 2(x-8)-5x=8 A 4. 解分式方程 . 解：方程两边乘x(x+3)，得x+3=5x， 解得x= ， 检验：将x= 代入原方程，左边= =右边， 因此x= 是原分式方程的解. 5. 解分式方程： . 解：方程两边同乘(x+1)(x-1)，得4+x2-1=(x-1)2， 解得x=-1. 检验：当x=-1时，(x+1)(x-1)=0， 所以x=-1不是原分式方程的解. 所以原分式方程无解. 注意：“1”也要乘最简公分母(x+1)(x-1). 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 28 绿卡图书—走向成功的通行证 29 $$