18.5 第1课时 分式方程及其解法-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(人教版2024)安徽专版

18.5 分式方程 第1课时 分式方程及其解法 课题 分式方程及其解法 课型 新授课 教学内容 教材第164-166页的内容 教学目标 1. 了解分式方程的概念. 2. 会用去分母的方法解可化为一元二次方程的简单分式方程. 3. 了解需要对分式方程的解进行检验的原因. 教学重难点 教学重点：分式方程的概念，解简单分式方程. 教学难点：对分式方程“无解”的理解. 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，引入新课 一艘轮船在静水中的最大航速是30 km/h,它以最大航速沿江顺流航行90 km所用时间,与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等.江水的流速是多少? 如果设江水的流速为v km/h. 则轮船顺流航行90 km所用时间为 h，逆流航行60 km所用的时间为h.可得方程 =.① 2.发现探究，学习新知 【问题1】仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？ 学生独立思考并作答：未知数在分母中. 追问:方程，，与上面的方程有什么共同特征？ 学生观察并独立思考，尝试着进行概括，发现这几个方程的特征是分母中含有未知数. 师生共同概括出分式方程的概念——分母中含未知数的方程叫作分式方程. 教师指出我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中. 追问:你能再写出几个分式方程吗? 学生思考并作答. 【问题2】你能试着解分式方程=吗？ 教师提出问题，学生独立思考，并尝试解这个方程，学生代表将不同的解法展示在黑板上，学生相互交流. 追问：这些解法有什么共同特点? 学生讨论之后，教师总结，这些解法的共同特点是先去分母将分式方程转化为整式方程，再解整式方程. 追问：思考以下几个问题，明确解分式方程的方法和依据. (1)如何把它转化为整式方程? (2)怎样去分母? (3)在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去? (4)这样做的依据是什么? 学生思考后得出结论:分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程.利用等式的性质2可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母. 分式方程=各分母的最简公分母是(30+v)(30-v)，方程的解法如下： 解：方程两边乘(30+v)(30-v)，得 90(30-v)=60(30+v). 解得v=6. 追问:你得到的解v=6是分式方程=的解吗? 学生回答问题，相互补充学生进行检验：将v=6代入原方程中，左边==右边，因此v=6就是分式方程=的解.说明上述解分式方程的方法是有效的，进而得知：将分式方程去分母化为整式方程是解分式方程必要和有效的步骤. 【问题3】解分式方程. 教师提出问题，学生在独立思考后解此方程：在方程两边乘最简公分母（x+5）(x-5)去分母后,得整式方程x+5=10，解得x=5. 有的学生认为x=5是原分式方程的解，有的学生发现当x=5时，分式都没有意义，但不能解释其原因. 追问:整式方程的解x=5是分式方程的解吗？如何验证呢？ 学生先独立思考问题，然后相互交流.最后达成共识:x=5是原分式方程变形后整式方程的解，但不是原分式方程的解. 追问:上面两个分式方程的求解过程中，同样是去分母将分式方程化为整式方程，为什么整式方程90(30-v)=60(30+v)的解v=6是分式方程=的解，而整式方程x+5=10的解x=5却不是分式方程的解呢? 学生独立思考，然后小组交流，教师适时点拨.最后达成共识:在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0；对解进行检验时，主要有两种方式，其一是将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；其二是将整式方程的解代人最简公分母，看是否为0. 【问题4】回顾解分式方程=与的过程，你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么? 学生回答，并相互补充，最后达成共识: 解分式方程的关键是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”即方程两边乘最简公分母.得到整式方程的解后，要对其进行检验. 3.学以致用，应用新知 考点1 解分式方程 【例1】解方程. 解：方程两边乘x(x-3)，得2x=3x-9. 解得x=9. 检验：当x=9时，x(x-3)≠0. 所以，原分式方程的解为x=9. 【例2】解方程. 解：方程两边乘(x-1)(x+2)，得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3. 解得x=1. 检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0,因此x=1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 4.随堂训练，巩固新知 教材P166练习. 【教材变式1】 若关于x的方程＝的解为x＝1，则a等于（ ） A.1 B.－1 C.3 D.－3 答案：D 【教材变式2】解分式方程： （1）＝－2； （2）＋1＝； （3）＝1＋. 答案：（1）x＝ （2）x=1 （3）无解 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.什么是分式方程？ 3.解分式方程的基本思路和步骤是什么？解分式方程时应注意什么？ 6.布置作业 1.教材P169习题18.5第1,2题； 2.教材P172复习题18第4题； 3.学霸创新题P128-P129. 由实际问题引出分母中含有未知数的方程，让学生了解研究分式方程的必要性. 让学生在观察和思考的过程中，发现并概括出分式方程的本质特征，了解分式方程的概念，认识其本质属性——分母中含有未知数，同时为后续探索解分式方程的基本思路(转化为整式方程)和关键步骤(去分母)做好铺垫. 让学生在已有知识经验基础上，尝试解分式方程. 通过探究活动，学生探索出解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，并知道解决问题的关键是去分母. 让学生知道检验分式方程的解的方法将未知数的值代入原分式方程的两边，看左右两边的值是否相等. (1)让学生积累去分母的经验，去分母的通法是分式两边同乘最简公分母;(2)让生感受到在去分母解分式方程的过程中已经对原分式方程进行了变形，这种变形可能会使方程的解发生变化。 让学生了解分式方程产生增根的原因——当整式方程的解使得所乘最简公分母等于0时，相当于方程两边同时乘0，方程的解发生变化，此时出现了分母为0的情况. 让学生在解具体的分式方程后，反思解题思路和步骤，体会化归思想和程序化思想，积累解题经验. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，解分式方程应注意检验，例题包含方程有解和无解两种情况. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 18.5 分式方程 第1课时 分式方程及其解法 1.分式方程： 例题 2.分式方程的解法： 练习 教学反思 这节课主要是通过将分式方程化为整式方程，在探索过程中归纳出分式方程的基本解题步骤．在教学过程中要着重讲解分式方程为什么要检验，要让学生理解增根的由来，从而牢记分式方程在解题后要进行检验，避免解题出错．在完成解题步骤归纳之后，通过例题与练习让学生在出错中找到正确的解法，让学生自己归纳理解解题时容易出错的地方，防止犯错． 学科网（北京）股份有限公司 $$