16.3.2 第1课时 完全平方公式-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(人教版2024)安徽专版

16.3.2 完全平方公式 第1课时 完全平方公式 课题 完全平方公式 课型 新授课 教学内容 教材第114-116页的内容 教学目标 1.掌握完全平方公式的结构特征，理解完全平方公式的意义. 2.能正确地运用完全平方公式. 教学重难点 教学重点：完全平方公式的推导及应用. 教学难点：灵活运用完全平方公式进行乘法运算. 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，引入新课 【问题1】根据乘方的定义可知a2＝a·a，那么(a＋b)2 应该写成什么样的形式呢？怎样进一步运算呢？计算下列各式，(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)=________； (2)(m＋2)2＝( )( )=________； (3)(p－1)2＝( )( )=________； (4)(m－2)2＝( )( )=________. 学生依据多项式的乘法运算律独立完成计算． 2.发现探究，学习新知 追问：通过上面的计算你能发现什么规律？ 学生分成小组，讨论、观察、探讨，发现规律如下： (1)右边第一项是左边括号中第一项的平方，右边最后一项是左边括号中第二项的平方，右边中间一项是左边括号中第一项和第二项乘积的2倍． (2)左边如果为“＋”号，右边全是“＋”号，左边如果为“－”号，右边中间一项的符号就为“－”号，其余都为“＋”号． 追问：问题1中左边的平方式我们可以用(a＋b)2与(a－b)2统一表示，你能利用多项式乘法以及幂的意义对这两个平方式进行计算，验证上面的规律是否正确吗？ 教师请学生板书进行计算： (a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2. (a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2. 教师带领学生观察两式，并与问题1中的计算结果进行对比，验证前面发现的规律的正确性. 所以，对于具有此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. (a－b)2＝a2－2ab＋b2. 追问：这两个公式叫作（乘法的）完全平方公式.你能用文字语言描述这两个公式吗？ 学生用自己语言叙述，教师知道总结：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍． 【问题2】如图，一块边长为a m的正方形实验田，现将其边长增加b m，求扩大后的实验田的面积. 学生回答问题：实验田扩大后是边长为(a＋b)m的大正方形，所以面积为S＝(a＋b)2 m2. 追问：请同学们思考一下还有别的计算方法吗?能不能将实验田按图中所示分成四小块分别计算再求和？ 学生思考、计算、讨论：四块面积分别为：a2、ab、ab、b2；四块面积的和S＝a2＋2ab＋b2． 追问：上述两种计算方法得到的结果之间有什么关系呢？你能得到什么结论？ (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. 追问：如果将该正方形田地的边长缩减b m，则其面积又是多少？类比问题2的探究方法进行探究，你能得到什么结论？ 学生通过计算、探讨后回答：(a－b)2＝a2－2ab＋b2. 追问：通过前面两个问题的研究，你们发现了什么？ 师生共同探讨：通过几何方法验证了完全平方公式的正确性. 【问题3】请同学们思考下面的问题：(a＋b)2与(-a-b)2相等吗？(a-b)2与(b-a)2相等吗？(a-b)2与a2-b2相等吗？ 学生根据完全平方公式进行计算推导，得出结论：(a＋b)2与(-a-b)2相等，(a-b)2与(b-a)2相等，(a-b)2与a2-b2不相等. 3.学以致用，应用新知 考点1 运用完全平方公式进行计算 【例1】运用完全平方公式计算： (1)(4m＋n)2；(2)(y－)2. 解：(1)(4m＋n)2＝(4m)2＋2·(4m)·n＋n2＝16m2＋8mn＋n2. (2)(y－)2＝y2－2·y·＋()2＝y2－y＋. 考点2 运用完全平方公式求值 【例2】运用完全平方公式计算： (1)1022；(2)992. 解：(1)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22＝10 000＋400＋4＝10 404. (2)992＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋12＝10 000－200＋1＝9 801. 4.随堂训练，巩固新知 教材P115练习1,2,3. 【教材变式1】运用完全平方公式计算: (1) (6a+5b)2；(2) (4x-3y)2 ；(3) (2m-1)2 ；(4)(-2m-1)2 . 解：（1）原式=36a2+60ab+25b2 . （2）原式==16x2-24xy+9y2. （3）原式=4m2-4m+1. （4）原式=4m2+4m+1. 【教材变式2】已知x－y＝6，xy＝－8.求: (1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值. 解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，(x－y)2＝x2＋y2－2xy， ∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝36－16＝20. (2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8，∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy＝20－16＝4. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.完全平方公式的结构特征是什么？ 3.应用完全平方公式时要注意什么？. 6.布置作业 1.教材P117习题16.3第2,4,6,7,8题； 2.教材P121复习题第5,7，8,12题； 3.学霸创新题P88-P89. 通过计算四个平方式，让同学们观察总结计算结果的规律，得到规律性结果. 通过小组讨论发现规律，锻炼学生的观察能力，归纳总结能力，小组合作能力. 前面通过几个特例总结规律，这里对于一般化的(a＋b)2与(a－b)2进行计算，验证上述规律的正确性，完成从特殊到一般的研究过程. 进一步通过对几何图形的研究验证完全平方公式，从几何的角度进行解释，让学生从不同的角度理解这一公式. 通过讨论该问题，让学生发现不同代数式之间的关系，加深对公式的理解，规避在公式使用过程中的常见错误. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括运用完全平方公式进行计算、运用完全平方公式求值. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 16.3.2 完全平方公式 第1课时 完全平方公式 完全平方公式： 例题 练习 教学反思 本节的探讨方式和上节类似，都是通过特殊的乘法运算总结规律，再让学生在代数和几何两方面理解完全平方公式．完全平方公式分为两数和的平方和两数差的平方两种形式，教学中可以将两个公式写作一个公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2，有助于学生的记忆．在探究两数差的平方公式时，因为学生通过前面的学习已经掌握了几何的说明方法，因此可以让学生自己画图证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$