14.3 第2课时 角的平分线的判定-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件(人教版2024)安徽专版

第十四章 全等三角形 14.3 角的平分线 第2课时 角的平分线的判定 学习目标 1.理解角的平分线判定定理. 2.掌握角的平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题. 3.会判断一个点是否在一个角的平分线上. 学习重难点 角的平分线判定定理内容的证明及应用. 角的平分线判定定理的理解. 难点 重点 复习回顾 O D P P到OA的距离 P到OB的距离 角平分线上的点 几何语言描述： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD= PE. A C B 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 1.叙述角的平分线的性质定理 不必再证全等 E 3 新课导入 P A O B C D E 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？ 角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 猜想: 思考：这个结论正确吗？如何证明？ 4 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上. 证明： 作射线OP， ∴点P在∠AOB 角的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， B A D O P E ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP 证明猜想 讲授新课 5 判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用时所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边距离相等. 定理的作用：判断点是否在角的平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE， ∴点P 在∠AOB的平分线上. 知识点1 角的平分线的判定 1. 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部. 2. 角的平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等) 得到一个结论( 角平分线). 3. 角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据， 它比利用三角形全等证两角相等更快捷. 例1 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？ D C S 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ，D即为所求. O 知识点2 三角形的角平分线 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于一点. 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等. 如何证明这个结论？ 例2 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证： （1）点P到三边AB，BC，CA的距离相等. （2）△ABC的三条角平分线交于一点. A B C P N M D E F 证明：（1）过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. （2）由（1）得，点P到边AB，CA的距离相等， ∴点P在∠A的平分线上. ∴△ABC的三条角平分线交于一点. A B C P N M 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 这个交点叫作三角形的内心. M E N A B C P O D 变式1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4, (1)求点O到△ABC三边的距离和. 温馨提示：不存在垂线段———构造应用 12 解：如图，连接OC. M E N A B C P O D (2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积. 小 结 角平分线 的判定定理 内容 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 作用 判断一个点是否在角的平分线上 结论 三角形的角平分线相交于内部一点 1.如图，P是△ABC外部一点，PD⊥AB，交AB的延长线于点D，PE⊥AC，交AC的延长线于点E，PF⊥BC于点F，且PD=PE=PF.关于点P有下列三种说法： ①点P在∠DBC的平分线上； ②点P在∠BCE的平分线上； ③点P在∠BAC的平分线上. 其中说法正确的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 D C A E B D F P ┐ ┐ 随 堂 小 测 2．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等， 则点P是(　　) A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的垂线的交点 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上均不对 C 3．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40， 50，60，其三条角平分线交于点O，则 S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝ ______________. 4 ∶5 ∶6 4. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN，OA，OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA，OB的距离相等，请确定该超市的位置P. P A O B M N 5. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由． 解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF的距离相等， ∴点D在∠EPF的平分线上． ∴∠1＝∠2． 又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC． A B C E F D ( ( ( ( 3 4 1 2 P 6.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明： 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M. ∵点F在∠BCE的平分线上， 　　　　FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC， ∴FM＝FH， ∴FG＝FH. ∴点F在∠DAE的平分线上.　　　 G H M A B C F E D 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 23 绿卡图书—走向成功的通行证 24 $$