第十五章：轴对称--15.3.2等边三角形讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

15.3.2 等边三角形 【学习目标】 1．了解等边三角形是特殊的等腰三角形． 2．了解等边三角形的定义，掌握等边三角形的性质和判定方法，并能够运用性质和判定方法解决相关问题． 3．掌握直角三角形中30°角所对直角边与斜边的关系，能利用含30°角的直角三角形的性质解决简单的实际问题． 4．经历探究等边三角形的性质和判定方法的过程，并能进行简单的应用． 【新知探究】 知识梳理1 等边三角形及其性质 知识梳理2 含30°角的直角三角形的性质 知识梳理3 等边三角形性质与判定的综合应用 知识梳理1 等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° 【例1】　（2024秋•旬阳市期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝AC，若△ABC的周长为12，则BC的长为（　　） A．3 B．4 C．8 D．9 【例2】　（2025春•宝丰县期末）在△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠B＝60°，则BC＝ 　　 cm． 【例3】　（2024春•北林区校级期中）已知△ABC为等边三角形，则∠A的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【例4】　（2024秋•越秀区校级期中）如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝4，则△ABC的周长为（　　） A．9 B．8 C．6 D．12 【例5】　（2024秋•兴城市期中）在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD＝BF，则∠CDF的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 知识梳理2 含30°角的直角三角形的性质 1．内容：一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2．注意： （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 【例6】　（2025春•贵阳期末）如图，等腰△ABC中∠ACB＝120°，在底边上取点D，使得AC⊥CD，若AB＝6，则CD等于（　　） A．2 B．3 C．2.5 D．3.5 【例7】　（2025春•湘潭期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6，则AB的长为（　　） A．30 B．15 C．12 D．10 【例8】　（2025春•法库县期末）如图，AC＝BC＝6cm，∠B＝15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【例9】　（2025•昭通模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（　　） A．8 B．1 C．2 D．4 【例10】　（2025春•礼泉县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则下列结论正确的是（　　） A．∠A＝60° B．∠B＝90° C．AC＝2BC D．AB＝2BC 知识梳理3 等边三角形性质与判定的综合应用 1．判定等边三角形时常用的选择方法： （1）若已知三边关系，一般选用定义：三边都相等的三角形是等边三角形； （2）若已知三角关系，一般选用：三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）若已知该三角形是等腰三角形，一般选用：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； 3．等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 【例11】　（2024秋•长春月考）如图，已知△ABD是等边三角形，BC＝DC，E是AD上的点，CE∥AB，与BD交于点F．若∠CBD＝40°，则∠DCE的度数为（　　） A．40° B．20° C．2° D．25° 【例12】　（2025春•未央区校级月考）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E． 求证：（1）△ADE是等边三角形． （2）AB＝2AE． 【例13】　（2024秋•兰州期末）如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由． 【例14】　（2024秋•增城区期末）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，连接DE． （1）若BE＝6，求AB的长； （2）求证：△CDE是等边三角形． 【例15】　（2024秋•西湖区校级期中）如图，在△ABD与△BCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠DAB＝60°，过点C作CE∥BA，交AD于E，交BD于F，连结AC，交BD于H． （1）判断△DEF的形状，并说明理由． （2）求证：AC平分∠DAB． （3）若AD＝12，CE＝8，求CF的长． 【课后巩固】 一、选择题（共10小题） 1．（2025春•天河区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中点，若BD＝3，则AC的长是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（2025春•新宁县期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角为30°，最短边长为5cm，则最长边上的中线是（　　） A．5cm B．15cm C．10cm D．2.5cm 3．（2025春•横山区期末）在等腰三角形ABC中，∠A＝60°，BC＝4，则△ABC的周长为（　　） A．12 B．14 C．10 D．16 4．（2025春•榆中县期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若AB＝8，则BD的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 5．（2024秋•纳雍县期末）已知等腰三角形的一边长为6，一个内角为60°，则它的周长是（　　） A．12 B．15 C．18 D．20 6．（2024秋•大余县期末）如图，等边三角形纸片ABC的边长为8，点E，F是BC边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　） A．3 B． C．6 D．8 7．（2023秋•潮南区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB+BC＝12cm，则AB等于（　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 8．（2023秋•德庆县期末）△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，则AC等于（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 9．（2024春•武陟县期中）如图，等边三角形DEF的顶点分别在等边三角形ABC的各边上，且DE⊥BC于E，若AB＝1，则DB的长为（　　） A． B． C． D． 10．（2024春•洪江市校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，斜边AB的长为2cm，则AC长为（　　） A．4 cm B．2 cm C．1 cm D． cm 二、填空题（共10小题） 11．（2025春•岱岳区期末）如图，在△ABC中D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，则∠BAC＝　 　 ． 12．（2024秋•莒县期末）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3 …在射线ON上，点B1、B2、B3 …在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A4B4A5的边长是 　 　 ． 13． （2025春•新郑市月考）若等边△ABC的周长为12cm，则BC＝　 　 cm． 14．（2024秋•宁波校级期中）如图，已知△ABC中，AB＝AC，D，E分别为边BC，AC上一点，AD＝AE，∠ADE＝60°，若∠BAD＝20°，则∠CDE的度数为　 　 ． 15．（2023秋•宁江区期中）如图，已知OA＝5，P是射线ON上的一个动点，∠AON＝60°．当OP＝　 　 时，△AOP为等边三角形． 16． （2023秋•白云区校级期中）在△ABC中，∠A＝∠B，若添加一个条件使△ABC是等边三角形，则添加的条件可以是 　 　 ．（写出一个即可） 17． （2023秋•船营区校级期中）在△ABC中，AB＝AC＝1cm，当BC＝　 　 cm时，△ABC是等边三角形． 18． （2024秋•西湖区校级期中）△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝60°，则BC＝　 　 ． 19．（2022秋•景洪市校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AB＝6cm，则CD＝　 　 ． 20．（2025春•高州市期中）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A＝30°，BD＝4cm，则AB的长是　 　 ． 三、解答题（共6小题） 21．（2024秋•信丰县期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，腰AB的垂直平分线交底BC于点D，垂足为点E． （1）求∠BAD的度数； （2）若DB＝2cm，求CB的长． 22．（2024春•隆回县期中）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠BCD＝30°，DB＝2．求AB的长． 23．（2024春•榆阳区期中）如图所示，△ABC是等边三角形，AD是高，并且AB恰好是DE的垂直平分线，求证：△ADE是等边三角形． 24．（2024秋•乌兰浩特市校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°． （1）求∠ADB的度数； （2）判断△ABE的形状并加以证明． 25．（2023秋•余姚市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是△ABC内一点，F是BC上一点，∠EBF＝∠E＝60°，AH平分∠BAC分别交EF、BC于点D、H，求∠EDA的度数． 26．（2022秋•西湖区校级期末）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC． （1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由； （2）若BC＝10，求△ODE的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $$