15.3.1等腰三角形　讲义　2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

15.3.1 等腰三角形 【学习目标】 1．理解等腰三角形的概念；探索并证明等腰三角形的两个性质． 2．能利用性质证明两个角相等或两条线段相等． 3．结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用． 【新知探究】 知识梳理1 等腰三角形的概念和性质 知识梳理2 等腰三角形的判定 知识梳理3 等腰三角形的性质与判定综合 知识梳理1 等腰三角形的概念和性质 1．等腰三角形的概念 有两边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边都叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角． 2．等腰三角形的性质 （1）性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． （2）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． （3）等腰三角形的其他性质： ①等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． ②等腰三角形两底角的平分线相等． ③等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． ④当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 【例1】　（2025•福建模拟）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，∠C的度数是（　　） A．20° B．40° C．70° D．140° 【例2】　（2025春•灵璧县期末）△ABC为等腰三角形，其中顶角为40°，则该三角形的底角为（　　） A．75° B．70° C．65° D．60° 【例3】　（2024秋•姜堰区期末）如果等腰三角形的两边长为2cm，4cm，那么它的周长为（　　） A．8cm B．10cm C．11cm D．8cm或10cm 【例4】　（2024秋•宿迁期末）已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为（　　） A．40° B．80° C．100° D．40°或100° 知识梳理2 等腰三角形的判定 1．判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 2．注意： （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 【例6】　（2024秋•双辽市期末）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，连接AD与CE且相交于点F，有∠BAD＝∠BCE．求证：△AFC为等腰三角形． 【例7】　（2024秋•曹县期中）已知：AD平分∠BAC，AD∥CE，AF⊥CE，求证：EF＝CF． 【例8】　（2024秋•岱岳区期中）如图，DC平分∠ACE，且AB∥CD，求证：△ABC为等腰三角形． 【例9】　（2023秋•仓山区校级期末）如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，且CE∥AB，求证：△ABC为等腰三角形． 【例10】　（2023秋•乌鲁木齐期末）如图，直线AB∥CD，若∠1＝60°，∠2＝30°，求证：△FCE是等腰三角形． 知识梳理3 等腰三角形的性质与判定综合 1．等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2．在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3．等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 【例11】　（2025春•青岛期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，E为CA的延长线上一点，过点E作EF∥AD，分别交AB，BC于点P，F． （1）求证：△AEP是等腰三角形． （2）若AD＝BD，求∠E的度数． 【例12】　（2025春•太原月考）如图，∠A＝90°，BE⊥CD于点E，BE平分∠CBD． （1）求证：△BCD是等腰三角形； （2），求AD的长． 【例13】　（2024•开福区校级三模）如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D． （1）求证AD＝ED； （2）若AC＝AB，DE＝3，求AC的长． 【例14】　（2024秋•白塔区校级期中）如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB和AC于点E和F． （1）求证：△BEO是等腰三角形． （2）若AB＝5，AC＝4，求△AEF的周长． 【例15】　（2022秋•天元区校级期末）如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC． （1）求证：△BDE是等腰三角形； （2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数． 【课后巩固】 一、选择题（共10小题） 1．（2025春•漳浦县校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．若AB＝5cm，BC＝3cm，则△PBC的周长为（　　） A．15 B．13 C．11 D．8 2．（2025春•泾阳县期末）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（　　） A．55° B．70° C．70°或55° D．70°或40° 3．（2025春•萍乡期末）下列长度的三段钢条，能组成一个等腰三角形框架的是（单位：cm）（　　） A．2，3，4 B．3，7，7 C．2，2，6 D．5，6，7 4．（2025春•锦州期末）等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，它的第三边是（　　） A．4cm B．5cm C．9cm D．12cm 5．（2024秋•玉林期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不一定正确的是（　　） A．∠B＝∠C B．AB＝2BD C．AD平分∠BAC D．AD⊥BC 6．（2025春•高碑店市期末）等腰三角形两边长分别为3，7，则它的周长为（　　） A．13 B．17 C．13或17 D．不能确定 7．（2025春•灵武市期末）如图，小刚荡秋千，秋千旋转了80°，小刚的位置从A点运动到了A′点，则∠OAA′的度数为（　　） A．40° B．50° C．55° D．65° 8．（2025春•崇明区期末）若等腰三角形的两条边的长分别为3cm和7cm，则它的周长是（　　） A．10cm B．13cm C．17cm D．13cm或17cm 9．（2024秋•莒县期末）已知等腰三角形的两边长分别为4cm、8cm，则该等腰三角形的周长是（　　） A．12cm B．16cm C．16cm或20cm D．20cm 10．（2025春•临渭区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，点D在AC边上，连接BD，AB＝10，CD＝2，则AD的长度等于（　　） A．7 B．8 C．10 D．6 二、填空题（共10小题） 11．（2025春•铁岭期中）如果等腰三角形的两边长为2cm，4cm，那么它的周长为 　 　 cm． 12． （2025春•徐汇区校级月考）已知等腰三角形的一个内角为140°，则等腰三角形的底角的度数为 　 　 度． 13． （2024秋•衡阳期末）已知等腰三角形的底边长为2，腰长为8，则它的周长为 　 　 ． 14．（2025春•罗湖区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D在BA延长线上，∠DAC＝140°，则∠B＝ 　 　 °． 14． （2025春•盐田区期中）已知实数x，y满足|x﹣3|0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是 　 　 ． 15． （2025春•山丹县校级期末）一个等腰三角形的一内角为40°，则这个等腰三角形的顶角度数为 　 　 ． 16． （2025春•茌平区期末）已知△ABC是等腰三角形，若AB＝5cm，AC＝2cm，则△ABC的周长是 　 　 ． 17． （2025春•吉州区期末）等腰三角形的两边分别长7cm和15cm，则它的周长是　 　 ． 19．（2025春•余江区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，已知AB＝10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于16，则BC的长为 　 　 ． 20． （2025春•鄄城县期末）等腰三角形的两边长分别为6和2，则该三角形的周长为　 　 ． 三、解答题（共6小题） 21．（2025春•城关区校级期末）已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，P是AD上任意一点．求证：∠ABP＝∠ACP． 22．（2025春•薛城区期末）如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数． 23． （2025春•紫金县期末）在△ABC中，AB＝5，AC＝2，若是△ABC是等腰三角形，求BC的长． 24．（2025春•城关区校级期末）如图，AD是等腰三角形底边BC的中线，BC＝10cm，∠B＝48°，求∠BAD的度数和BD的长度． 25．（2025春•浦东新区期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BP⊥AD于点P，AB＝5，BP＝2，AC＝9，说明∠ABP＝2∠ACB的理由． 26．（2024秋•巢湖市期末）如图，△ABC中，∠A＝36°，D在边AC上，AD＝BD＝BC，求∠DBC的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$