13.3,1三角形的内角　课件　　2025－2026学年人教版 数学八年级上册

三角形的内角 本源回溯 学习内容 几何元素 与三角形有关的线段 边 角 与三角形有关的角 三角形的内角 三角形的外角 为什么研究角？ 三角形的边 三角形的三线 2 1.会证明三角形内角和等于180°，学会规范的推理过程； 2.会应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题；(重点) 学习目标 3.通过探索证明三角形内角和定理的活动，增强论证能力，拓宽 解题思路. 3 探索三角形内角和 思考1 在下图中，∠B 和∠C 分别拼在∠A 的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点A的直线 l，直线 l 与边 BC 有什么位置关系？ 直线 l 与边 BC 平行． 4 探索三角形内角和 思考2 在操作过程中,我们发现了与边 BC 平行的直线 l，由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？ 通过添加与边平行的辅助线 ，利用平行线的性质和平角的 定义即可证明结论． 证明三角形内角和定理 思考3 结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？ 过点A 作直线l，使l∥BC． ∴∠2=∠4，∠3=∠5 . (两直线平行，内错角相等) ∵∠1+∠4+∠5=180° (平角定义) ∴∠BAC+∠B+∠C=180° (等量代换) 已知：△ ABC．求证∠A+∠B+∠C=180° 证明 证明三角形内角和定理 思考4 通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？ 基本图形 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D. 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 总结归纳 4 8 三角形的内角 三角形的内角和为180° 三角形内角和定理 如图,在△ABC中,BD为△ABC的角平分线,如果∠A=47°,∠ADB=116°,求∠ABC和∠C的度数. ∵∠A=47°,∠ADB=116°, ∴∠ABD=180°-47°-116°=17°, ∵BD为△ABC的角平分线, ∴∠ABC=2∠ABD=34°, ∴∠C=180°-47°-34°=99°. 如图,在△ABC中,∠BAC=56°,∠ABC=74°,BP,CP分别平分∠ABC和∠ACB,则∠BPC=(　　) A.102° B.112° C.115° D.118° D 典例分析 例1 如图，在△ABC中，∠BAC=40°, ∠B=75°,AD是△ABC的角平分线. 求∠ADB的度数. 解：∵∠BAC=40°, AD是△ABC的角平分线， 在△ABD中， ∠ADB=180°-∠B-∠BAD =180°-75°-20° =85°. 经验总结：在某一个三角形中进行求角. 12 例2 如图，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB呢？ 　　分析：A，B，C 三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB 是△ABC 的一个内角．如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB． 13 例2 如图，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB呢？ 解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=30° 由AD∥BE， ∴∠ABE=180°-∠BAD=100° ∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=60° 在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=90° 方法1：在三角形内求角的度数 你还有其他证法吗？ 14 例2 如图，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB呢？ 1 2 F 解：过点C画CF∥AD ∴ ∠1＝∠DAC＝50 °， ∵ CF∥AD， AD ∥BE， ∴ CF∥BE， ∴∠2＝∠CBE ＝40°. 方法2：利用平行线求角的度数 ∴ ∠ACB＝∠1＋∠2＝50 °＋40 °＝90 ° 又∵∠CAB=∠BAD -∠CAD=80°- 50°=30° ∴∠ABC=180°-∠ACB-∠CAB=180°-90°-30°=60° 15 问题：如下图所示是我们常用的三角板,两锐角的度数之和为多少度? 30°+60°=90° 45°+45°=90° 问题引导 直角三角形的两个锐角互余 问题：如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？ 在Rt△ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A +∠B+∠C=90°,即 ∠A +∠B=90°. 思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？ A B C 直角三角形的两个锐角互余．　　 应用格式： 在Rt△ABC 中， ∵∠C =90°， ∴∠A +∠B =90°．　 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ． 总结归纳 问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC是直角三角形吗？ 在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形. 有两个角互余的三角形是直角三角形 B C A A B C 应用格式： 在△ABC 中， ∵∠A +∠B =90°， ∴△ABC 是直角三角形． 有两个角互余的三角形是直角三角形.　　 总结归纳 课堂练习 如图，写出图中 x 的值 练习1 课堂练习 如图是一块三角形木板的残余部分，量得 ∠A=100°,∠B=30°，这块三角形木板另外一个角的度数为( ) 练习2 B A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 课堂练习 求出下面三角形各角的度数。 （1）我三边相等。 （2）我是等腰三角形，我的顶角是96°。 （3）我是直角三角形，有一个锐角是40°。 练习3 如果一个都不知道，或只知道1个角，你能知道三角形各角的度数吗？ 思考 课堂小结 三角形内角和定理：三角形内角和为 180°。 反之，有两个角互余的三角形是直角三角形。 推论 为了证明的需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 直角三角形的两个锐角互余。 基础练习 1. 求出下列各图中的 x 值. x = 70 x = 60 x = 30 x = 50 2.(大庆)如图，在△ABC 中，∠A = 40°，D 点是∠ABC 和 ∠ACB 角平分线的交点，则∠BDC = ______. 110° ∠ABC + ∠ACB = 140° 分析： D 点是角平分线的交点 3.如图，B 岛在 A 岛的南偏西 40° 方向，C 岛在 A 岛的南偏东 15° 方向，C 岛在 B 岛的北偏东 80° 方向，求从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 的度数. 解：如图，由题意得 BE∥AD，∠BAD = 40°， ∠CAD = 15°，∠EBC = 80°， ∴∠EBA =∠BAD = 40°， ∠BAC = 40° + 15° = 55°. ∴∠CBA =∠EBC -∠EBA = 80° - 40° = 40°. ∴∠ACB = 180° -∠BAC -∠ABC = 180° - 55° - 40° = 85°. $$